Schwere, Elektricität und Magnetismus:232

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 218
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Fünfter Abschnitt. §. 54.

als algebraische Summe der Elektricitätsmengen, die von der positiven auf die negative Seite von $\omega \,$ übergehen. Die Summirung in (4) bezieht sich auf alle in $dS\,$ enthaltenen Theilchen, deren Geschwindigkeits-Componente ${\frac {dx}{dt}}$ negativ ist. Um daher der Definition gemäss die specifische Stromintensität in der Richtung der $x$ zu berechnen, hat man die Summe (4) von (3) zu subtrahiren und die Differenz durch $\omega \;dt$ zu dividiren. In entsprechender Weise verfahren wir für die Richtungen der beiden anderen Axen.

 Bezeichnen wir also mit $i_{1},i_{2},i_{3}\,$ die specifischen Stromintensitäten in den Richtungen der drei Coordinatenaxen, so ergeben sich für sie die Gleichungen:

(5)	$i_{1}\;dS=\sum \varepsilon {\frac {dx}{dt}},$ $i_{2}\;dS=\sum \varepsilon {\frac {dy}{dt}},$ $i_{3}\;dS=\sum \varepsilon {\frac {dz}{dt}}.$

Die Summirungen beziehen sich auf alle elektrischen Theilchen, welche zur Zeit t in dem an den Punkt $(x,y,z)\,$ angrenzenden Raumelement $dS\,$ vorhanden sind. Für jedes Theilchen ist seine Elektricitätsmenge mit der zugehörigen Geschwindigkeits-Componente zu multipliciren und alle so gebildeten Producte sind zu summiren.

 Aus den drei Grössen $i_{1},i_{2},i_{3}\,$ lässt sich die specifische Stromintensität in irgend einer Richtung ableiten. Es sei ${\frac {dp}{dt}}$ die Geschwindigkeits-Componente eines einzelnen elektrischen Theilchens in der Richtung, welche mit den positiven Coordinatenaxen die Winkel $\alpha ,\beta ,\gamma \,$ einschliesst. Dann haben wir

(6)	${\frac {dp}{pt}}={\frac {dx}{dt}}\cos \alpha +{\frac {dy}{dt}}\cos \beta +{\frac {dz}{dt}}\cos \gamma .$

Bezeichnen wir mit $i_{\alpha \beta \gamma }\,$ die specifische Stromintensität in derselben Richtung, so erhalten wir entsprechend den drei Gleichungen (5):

$i_{\alpha \beta \gamma }={\frac {\sum \varepsilon {\frac {dp}{dt}}}{dS}}$

und hieraus unter Benutzung der Gleichungen (6) und (5):

(7)	$i_{\alpha \beta \gamma }=i_{1}\cos \alpha +i_{2}\cos \beta +i_{3}\cos \gamma .\,$