Schwere, Elektricität und Magnetismus:196

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 182
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Vierter Abschnitt. §. 45.

erstreckt wird. Bei stetiger Vertheilung der Elektricität geht die Summe in ein Integral über und man hat

(2)	$V=-\int {\frac {d\varepsilon }{r}}.$

Im Innern eines Leiters kann die Elektricität sich völlig frei bewegen. Es kann daher in einem Punkte $(x,\,y,\,z)$ im Innern eines Leiters nicht anders Gleichgewicht stattfinden, als wenn die Componenten der bewegenden Kraft in diesem Punkte gleich Null sind. Also haben wir für jeden Punkt im Innern eines Leiters:

(3)	${\frac {\partial V}{\partial x}}=0,\quad {\frac {\partial V}{\partial y}}=0,\quad {\frac {\partial V}{\partial z}}=0.\,$

Daraus folgt unmittelbar, dass im Innern jedes Leiters

(4)	$V={\text{const.}}\!$

und

(5)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0$

ist. Nun lässt sich aber der Ausdruck (2), den wir hier für $V\!$ gefunden haben, vergleichen mit dem Ausdruck des §. 18, welcher die Potentialfunction einer anziehenden ponderablen Masse gibt. Dort ist $dm\!$ das Element der ponderablen Masse, hier $d\varepsilon \!$ das Element der elektrischen Ladung. Wenn man das eine durch das andere ersetzt, so ist hier $-V\!$ dasselbe wie dort $V\!$. Der Grund ist leicht einzusehen. Dort findet Anziehung statt, wenn $dm\!$ positiv, hier Abstossung, wenn $d\varepsilon \!$ positiv ist. Demnach gilt die Gleichung (2) des §. 18 auch hier, nur muss man, was dort $V\!$ war, ersetzen durch $-V\!$. Also gilt überall da, wo man die Elektricität über einen Raum von drei Dimensionen vertheilt findet, die folgende partielle Differentialgleichung

(6)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=4\pi \rho .$

 Hier bedeutet $\rho \!$ die elektrische Dichtigkeit im Punkte $(x,\,y,\,z)$, oder mit anderen Worten: es ist in einem Raumelemente $dx\,dy\,dz$, welches an den Punkt $(x,\,y,\,z)$ anstösst, die Elektricitätsmenge $\rho \,dx\,dy\,dz$ enthalten.

 Dies gilt auch für den Fall, dass der Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern eines Leiters liegt.

 Aus der Vergleichung von (5) und (6) ergibt sich demnach, dass im Gleichgewichtszustande die Dichtigkeit im Innern