Eindeutige Existenz der Function . Dirichlet's Princip.
Folglich ist
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und danach findet sich
(4)
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Wird nun für die Bedingung (3) befriedigt, so ist der Coefficient von auf der rechten Seite der Gleichung (4) nothwendigeweise gleich Null. Denn sonst könnte man das Vorzeichen von so wählen, dass das Product
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negativ ausfiele, und den Zahlwerth von so klein, dass das positive Glied kleiner würde als der absolute Werth des vorhergehenden negativen Gliedes. Dann hätte man
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was mit (3) im Widerspruch steht. Also ist
(5)
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die nothwendige und, wie man leicht sieht, auch die ausreichende Bedingung für das Zustandekommen des Minimum Die linke Seite der Gleichung (5) transformiren wir nach §. 20 und erhalten
(6)
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Das erste Integral auf der rechten Seite ist über die Oberfläche des Raumes zu erstrecken. Sein Werth ist null, da nach der Voraussetzung in jedem Punkte der Oberfläche ist. Die Bedingung (5) für das Minimum geht also über in