Schwere, Elektricität und Magnetismus:131

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 117
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Integration durch complexe Werthe der Variablen.

Schnitt auf der linken (oberen) Seite liegt. Wir lassen dann die Variable $s\,$ von dem Rande des Schnittes aus im Innern des begrenzten Flächenstückes eine Linie stetig durchlaufen, die im Innern oder auf der Begrenzung $L\,$ endigt. Dabei soll, wie wir ferner festsetzen, von den beiden Werthen der Function $f(s)\,$ nur die stetige Fortsetzung des Anfangswerthes in Betracht kommen. Dadurch wird erreicht, dass auf der Linie $L\,$ und im Innern des von ihr begrenzten und von $\sigma \,$ bis $\infty \,$ zerschnittenen Flächenstückes die Function $f(s)\,$ überall einwerthig, endlich und stetig variabel ist. Nur wenn $\sigma =0\,$ ist, wird die Function an einer Stelle des Flächenstückes unendlich, nemlich an der Stelles $s=0\,$. In diesem besonderen Falle legen wir um den Unstetigkeitspunkt einen Kreis von beliebig kleinem Radius $\delta \,$, schliessen das Innere desselben von dem betrachteten Flächenstück aus und lassen schliesslich $\lim \delta =0\,$ werden.

 Wir setzen nun einen Fundamentalsatz aus der Theorie der Functionen einer complexen Variablen als bekannt voraus. Derselbe lautet:

 Wenn für alle Werthe von $s\,$ innerhalb eines vollständig begrenzten Gebietes der Zahlenebene und auf der Begrenzung die Function $f(s)\,$ überall einwerthig, endlich und stetig variabel ist, so hat das Integral

$\int f(s)\,ds,$

ausgedehnt durch die ganze Begrenzung, den Werth Null.

 Ist $\sigma >\sigma ',\,$ also $x\,$ von Null verschieden, so hat man folgenden Integrationsweg (Fig. 19):

Fig. 19.

Von $\infty \,$ bis $\sigma \,$ unendlich nahe an dem Schnitt auf der rechten (unteren) Seite, von $\sigma \,$ bis $\infty \,$ ebenso auf der linken (oberen) Seite, dann von $\infty \,$ durch die Linie $L\,$ um $\sigma \,$ herum bis $\infty \,$ in der Richtung der Pfeile.

 Das Integral auf dem reellen Wege von $\infty \,$ bis $\sigma \,$ und von $\sigma \,$ bis $\infty \,$ hat den Werth