Schwere, Elektricität und Magnetismus:092

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 78
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Zweiter Abschnitt. §. 21.

(4)	$\int d\sigma \left\{{\frac {\partial U}{\partial p}}\,(V_{+0}-V_{-0}-U\left[\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}-\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0}\right]\right\}$

und dieses Integral ist über die Unstetigkeitsfläche zu erstrecken.

 Wenn zweitens die Unstetigkeit in einer Linie auftritt, so machen wir diese zur Axe einer cylindrischen Fläche. Die Querschnitte rechtwinklig zur Axe seien Kreise vom Radius $t\!$, deren Mittelpunkt auf der Axe liegt. (Fig. 13.) Ein solcher Querschnitt

Fig. 13.

wird dadurch festgelegt, dass man den Bogen $s\!$ angibt, der auf der Unstetigkeitslinie zwischen ihrem Anfangspunkte und dem Mittelpunkte des Querschnittes liegt. In dem Querschnitte selbst nehmen wir für einen Punkt seiner Begrenzung Polar-Coordinaten $t,\;\varphi \!$. Die cylindrische Fläche und die beiden Endflächen (der erste und der

letzte Querschnitt: $s=0,\;s=s_{1}$) bilden dann die Begrenzung des Raumes $T_{2}\!$, der bei Anwendung des Satzes von Green zunächst aus dem Integrationsgebiete auszuschliessen ist. Wir nehmen das Verhältniss $t:s_{1}\!$ unendlich klein, so dass der Inhalt der Endflächen gegen die cylindrische Mantelfläche vernachlässigt werden kann. Das Oberflächen-Integral ist dann nur über die letztere zu erstrecken. Für sie fällt die nach dem Innern des Raumes $T_{1}\!$ gerichtete Normale mit der Richtung der wachsenden $t\!$ zusammen. Es ist also hier

${\frac {\partial V}{\partial n}}={\frac {\partial V}{\partial t}},\quad {\frac {\partial U}{\partial n}}={\frac {\partial U}{\partial t}}.\,$

 Auf der rechten Seite der Gleichung (3) ist demnach zu dem Oberflächen-Integral der Beitrag

$\lim \int \limits _{0}^{s_{1}}ds\int \limits _{0}^{2\pi }t\left(V\,{\frac {\partial U}{\partial t}}-U\,{\frac {\partial V}{\partial t}}\right)\,d\varphi$ für $t=0\!$

hinzuzufügen. Wir haben im §. 17. gesehen, dass die Function $V\!$ in einer Linie unstetig wird, wenn über diese Linie eine endliche Masse vertheilt ist. Es ist dann

$V=-2\rho \lg t+V_{1},\,$ ${\frac {\partial V}{\partial t}}=-{\frac {2\rho }{t}}+{\frac {\partial V_{1}}{\partial t}},\,$