Schwere, Elektricität und Magnetismus:090
| Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus | ||
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Für bleibt nur das Integral und wenn man
den Werth von im Punkte mit bezeichnet, so ergibt sich
Aus der Gleichung (4) des vorigen Paragraphen erhalten wir also
| (3) |
und hier ist das dreifache Integral über den Raum das Oberfächen-Integral über seine Begrenzung zu erstrecken.
Dabei ist vorausgesetzt, dass die Function und ihre ersten Derivirten innerhalb des Raumes überall endlich und stetig bleiben.
Es fragt sich noch, welche Modificationen eintreten, wenn der Raum sich ins Unendliche erstreckt. In diesem Falle hat man zu der schon vorhandenen Begrenzung noch eine solche hinzuzufügen, welche alle aus dem endlichen Gebiete austretenden Bestandtheile von ausschliesst. Es fragt sich dann, was aus den Integralen auf der rechten Seite der Gleichung (3) wird, wenn man die neu hinzugefügten Begrenzungstheile so ins Unendliche rücken lässt, dass der gegebene Raum wieder zu Stande kommt. Behalten die Integrale in diesem Falle bestimmte, endliche Werthe, so bleibt die Gleichung (3) in Gültigkeit.
Sind Unstetigkeitsstellen der Function oder der ersten Derivirten vorhanden, so kommen zu dem Oberflächen-Integral noch Beiträge hinzu. Wir unterscheiden die drei Falle, dass die Unstetigkeit in einer Fläche, oder in einer Linie oder in einem Punkte stattfindet.
Erstens. Wenn die Unstetigkeit in einer Fläche auftritt, so legen wir ihr unendlich nahe zwei Flächen, welche auf der positiven und auf der negativen Normale der Unstetigkeitsfläche überall die constante Strecke und resp. abschneiden. Wir wollen dann unendlich klein werden lassen. Diese beiden Flächen und ein Cylinder von der unendlich kleinen Höhe welcher dem Rande der Unstetigkeitsfläche unendlich nahe liegt,
