Schwere, Elektricität und Magnetismus:065

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 51
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Die Masse ist über eine Fläche ausgebreitet.

 Die Componente der Anziehung in der Richtung der positiven Normale nimmt also sprungweise um $2\pi \rho _{0}\,$ ab, wenn der angezogene Punkt von der Seite der negativen Normale in die Fläche eintritt, und aufs neue um $2\pi \rho _{0}\,$, wenn er aus der Fläche nach der Seite der positiven Normale austritt.

 Was nun den Differentialquotienten ${\frac {\partial V}{\partial p}}\,$ betrifft, so hat man

(5)	$\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+\varepsilon }=P_{+\varepsilon },\ \left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-\varepsilon }=P_{-\varepsilon }.$

Denn so lange der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb der Fläche liegt, haben die ersten Differentialquotienten von $V\,$ einerseits und die Componenten der Anziehung andererseits bestimmte, endliche Werthe, und wo dies der Fall ist, gelten die Gleichungen (5). Fällt aber der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in die Fläche hinein, so hat der Differentialquotient ${\frac {\partial V}{\partial p}}$ keinen bestimmten Werth mehr. Er ist gleich $P_{+\varepsilon }\,$ oder gleich $P_{-\varepsilon }\,$, je nachdem man den Punkt auf der positiven oder auf der negativen Normale in deren Fusspunkt hineinrücken lässt, d. h. eben: sein Werth ist unbestimmt.

 Aus den Gleichungen (3), (4), (5) folgt noch

(6)	$\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+\varepsilon }-\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-\varepsilon }=-4\pi \rho _{0}.$

Der Differentialquotient ${\frac {\partial V}{\partial p}}$ nimmt also sprungweise um $4\pi \rho _{0}\,$ ab, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ von der Seite der negativen Normale nach der Seite der positiven Normale durch die Fläche hindurchgeht.

§. 15. Fortsetzung: Die Componente der Anziehung normal zur Fläche.

 Wir haben den Anfangspunkt der Coordinaten an die Stelle der anziehenden Fläche gelegt, in welche der angezogene Punkt hineinrücken soll, die Axe der positiven $x\,$ in die positive Normale, die $\,yz$Ebene in die Tangentialebene. Die Componente der Anziehung in der Richtung der positiven Normale, die wir im vorigen Paragraphen mit $P\,$ bezeichnet haben, ist fur dieses Coordinatensystem dasselbe wie $X\,$ und wird ausgedriickt durch das Integral

(1)	$X=\int \rho {\frac {a-x}{r^{3}}}d\sigma ,$