Schwere, Elektricität und Magnetismus:054

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 40
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Erster Absclmitt. §. 11.

(7)	$\int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)\,d\sigma =0,$

wenn der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ ausserhalb des Raumes $T\,$ liegt.

Wenn drittens der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ in der Oberfläche des Raumes $T\,$ genommen wird, und zwar an einer stetig gekrümmten Stelle, so zerschneidet die Tangentialebene dieses Punktes die Kugelfläche vom Radius 1 in zwei Halbkugeln. Die eine Halbkugel wird von allen den Elementarkegeln getroffen, deren Erzeugende anfänglich innerhalb des Raumes $T\,$ verlaufen. Die andere Halbkugel wird von allen den Elementarkegeln getroffen, deren Erzeugende anfänglich ausserhalb des Raumes $T\,$ liegen. Rücksichtlich der ersteren ist der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ anzusehen als innerhalb des Raumes $T\,$ liegend, rücksichtlich der letzteren als ausserhalb liegend. Folglich erhält man

(8)	$\int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)\,d\sigma =2\pi ,$

wenn der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ an einer stetig gekrümmten Stelle der Oberfläche des Raumes $T\,$ sich befindet.

Liegt endlich der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ in einer Kante oder einer Spitze der Oberfläche von $T\,$ , so sieht man leicht, dass das Integral (3) gleich demjenigen Theil der Kugelfläche vom Radius 1 ist, für welchen die schneidenden Elementarkegel anfänglich innerhalb des Raumes $T\,$ liegen. Um die Begrenzung dieses Flächentheils zu finden, braucht man nur im Punkte $(a,\,b,\,c)\,$ den Tangentenkegel der Oberfläche von $T\,$ zu construiren. Diese Kegelfläche schneidet die Kugel in der gesuchten Begrenzungslinie.

Der Satz dieses Paragraphen rührt von Gauss her. Soweit er sich in den Gleichungen (6), (7), (8) ausspricht, bildet er das Theorema 4 der Abhandlung: Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata.*)^[1] Den letzten Zusatz hat Gauss später gemacht im 22. Artikel der Abhandlung: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstossungskräfte.**)^[2]

↑ *) Commentationes Societ. reg. Gotting, recent. Vol. 2. Gottingae 1813. – Carl Friedrich Gauss’ Werke. Bd. 5. Göttingen 1867.
↑ **) Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins im Jahre 1839. Herausgegeben von Gauss und Weber. Leipzig 1840. – Gauss’ Werke. Bd. 5. Göttingen 1867.

[1] *) Commentationes Societ. reg. Gotting, recent. Vol. 2. Gottingae 1813. – Carl Friedrich Gauss’ Werke. Bd. 5. Göttingen 1867.

[2] **) Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins im Jahre 1839. Herausgegeben von Gauss und Weber. Leipzig 1840. – Gauss’ Werke. Bd. 5. Göttingen 1867.

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