Schwere, Elektricität und Magnetismus:047

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Stetigkeit der Function etc.


ersten Derivirten stetige Functionen von . Es ist also jedenfalls


(2)


 Die Derivirte wird ausgedrückt durch das Integral



wenn man die Integration über den Raum ausdehnt. Dieses Integral kann - wie bewiesen - nicht unendlich gross werden, wohin man auch den Punkt im Innern der Kugel vom Radius verlegen möge. Es hat vielmehr einen endlichen Werth, der um so kleiner ist, je kleiner genommen wird. Man kann demnach so klein wählen, dass für jede Lage des angezogenen Punktes im Innern jener Kugel der Werth von kleiner bleibt als eine beliebig kleine Grösse . Verschiebt man also den Punkt beliebig im Innern der Kugel vom Radius , so wird die Aenderung, welche dadurch erfährt, ebenfalls kleiner sein als . Man kann aber kleiner werden lassen als irgend eine angebbare Zahl. Es ist damit nur eine unendliche Abnahme des Radius verbunden.

 Folglich ist


(3)


Aus (3) und (2) ergibt sich ohne weiteres


(4)


d. h. ist eine überall stetig variable Function.

 Auf demselben Wege wird der Beweis für und geführt. Die Function und ihre ersten Derivirten sind also überall endliche und stetige Functionen. Sie erleiden unendlich kleine Aenderungen bei einer unendlich kleinen Verschiebung des Punktes , mag diese Verschiebung innerhalb oder ausserhalb oder in der Oberfläche der anziehenden Masse vorgenommen werden oder durch die Oberfläche hindurchführen.