Schwere, Elektricität und Magnetismus:047

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Stetigkeit der Function $V\,$ etc.

ersten Derivirten ${\frac {\partial V_{2}}{\partial x}},\,{\frac {\partial V_{2}}{\partial y}},\,{\frac {\partial V_{2}}{\partial z}}$ stetige Functionen von $(x,\,y,\,z)$. Es ist also jedenfalls

(2)	$\lim d\left({\frac {\partial V_{2}}{\partial x}}\right)=0.$

 Die Derivirte ${\frac {\partial V_{1}}{\partial x}}$ wird ausgedrückt durch das Integral

$\iiint {\frac {a-x}{r^{3}}}\rho \;da\;db\;dc,$

wenn man die Integration über den Raum $T_{1}\,$ ausdehnt. Dieses Integral kann - wie bewiesen - nicht unendlich gross werden, wohin man auch den Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern der Kugel vom Radius $\varepsilon \,$ verlegen möge. Es hat vielmehr einen endlichen Werth, der um so kleiner ist, je kleiner $\varepsilon \,$ genommen wird. Man kann demnach $\varepsilon \,$ so klein wählen, dass für jede Lage des angezogenen Punktes im Innern jener Kugel der Werth von ${\frac {\partial V_{1}}{\partial x}}$ kleiner bleibt als eine beliebig kleine Grösse $\delta \,$. Verschiebt man also den Punkt $(x,\,y,\,z)$ beliebig im Innern der Kugel vom Radius $\varepsilon \,$, so wird die Aenderung, welche ${\frac {\partial V_{1}}{\partial x}}$ dadurch erfährt, ebenfalls kleiner sein als $\delta \!$. Man kann aber $\delta \,$ kleiner werden lassen als irgend eine angebbare Zahl. Es ist damit nur eine unendliche Abnahme des Radius $\varepsilon \,$ verbunden.

 Folglich ist

(3)	$\lim d\left({\frac {\partial V_{1}}{\partial x}}\right)=0.$

Aus (3) und (2) ergibt sich ohne weiteres

(4)	$\lim d\left({\frac {\partial V}{\partial x}}\right)=\lim d\left({\frac {\partial V_{1}}{\partial x}}\right)+\lim d\left({\frac {\partial V_{2}}{\partial x}}\right)=0,$

d. h. ${\frac {\partial V}{\partial x}}$ ist eine überall stetig variable Function.

 Auf demselben Wege wird der Beweis für ${\frac {\partial V}{\partial y}}$ und ${\frac {\partial V}{\partial z\,}}$ geführt. Die Function $V\,$ und ihre ersten Derivirten sind also überall endliche und stetige Functionen. Sie erleiden unendlich kleine Aenderungen bei einer unendlich kleinen Verschiebung des Punktes $(x,\,y,\,z)$, mag diese Verschiebung innerhalb oder ausserhalb oder in der Oberfläche der anziehenden Masse vorgenommen werden oder durch die Oberfläche hindurchführen.