Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 35.

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§. 35. Eine Function $V\!$, die der Gleichung von Laplace genügt, hat weder Maximum noch Minimum.

 Wir wollen noch zeigen, dass eine endliche und stetige Function $V\!$ in keinem Theile des Raumes, wo sie die Gleichung von Laplace erfüllt, ein Maximum oder ein Minimum haben kann.

 Die Function $V\!$ und die Function $\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)$ genügen beide der Gleichung von Laplace. Nach dem Satze von Green ist also

(1)	$\int \left\lbrace \left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}\right){\frac {\partial V}{\partial n}}-V{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial n}}\right\rbrace d\sigma =0,$

wenn man das Integral über die Oberfläche eines Raumes erstreckt, in welchem $V\!$ und $\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)$ nebst ihren ersten Derivirten endlich und stetig variabel sind. Einen solchen Raum erhalten wir zwischen zwei concentrischen Kugelflächen von den Radien $a\!$ und $a'\!$,

Fig. 27.

deren Centrum in dem Punkte liegt, von welchem aus $r\!$ gezählt wird. Wir nehmen $a'<a\!$ und lassen schliesslich $\lim a'=0\!$ werden. Die äussere Oberfläche (Fig. 27) gibt als Beitrag zu dem Integral (1)

$\int \left\lbrace -\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}\right){\frac {\partial V}{\partial r}}-V{\frac {1}{r^{2}}}\right\rbrace r^{2}\;d\omega$

für $r=a\!$, d. h.

$-\int V_{a}d\omega .$

Die innere Oberfläche liefert dagegen den Beitrag

$\int \left\lbrace \left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}\right){\frac {\partial V}{\partial r}}+V{\frac {1}{r^{2}}}\right\rbrace r^{2}\;d\omega$

für $r=a'\!$, d. h.

$\int \left\lbrace \left(a'-{\frac {a'^{2}}{a}}\right)\left({\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{a'}+V_{a'}\right\rbrace d\omega .$

Lässt man $a'\!$ in Null übergehen, so nimmt dieser Beitrag den Grenzwerth an

$\int V_{0}\;d\omega .$

Folglich erhalten wir aus Gleichung (1)

$\int (V_{0}-V_{a})d\omega =0,$

d. h. es kann $V_{0}-V_{a}\!$ nicht in allen Punkten der Kugeloberfläche vom Radius $a\!$ dasselbe Vorzeichen haben, und deshalb ist $V_{0}\!$ weder ein Maximum noch ein Minimum.

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