MKL1888:Zahlensystem

Zahlensystem, das Verfahren, alle Zahlen mit Hilfe einiger weniger auszudrücken in der Form $\mathrm {a+bX+cX^{2}+dX^{3}+\ldots }$ Dabei sind $\mathrm {a}$, $\mathrm {b}$, $\mathrm {c}$ etc. Einer, d. h. Zahlen von 1 bis $\mathrm {X-1}$, auch kann darunter die Null vorkommen; $\mathrm {X}$ ist die Grundzahl des Zahlensystems, und deren Potenzen $\mathrm {X}$, $\mathrm {X^{2}}$, $\mathrm {X^{3}}$ etc. nennt man Stufenzahlen der ersten, zweiten, dritten Ordnung etc. Die Grundzahl ist zwar willkürlich; der Gebrauch der zehn Finger, als des natürlichsten Hilfsmittels beim Rechnen, hat aber fast alle Kulturvölker auf das dekadische Z. (Dezimalsystem, Dekadik) mit der Grundzahl $\mathrm {X=10}$ geführt. Doch findet man daneben auch noch das vigesimale ($\mathrm {X=20}$) und das quinäre Z. ($\mathrm {X=5}$, Pentadik). Ersteres findet sich in systematischer Ausbildung bei den Azteken in Mexiko, die für 20, $20^{2}=400$ und $20^{3}=8000$ eigne Wörter haben, und bei den Mayaindianern in Yucatan, deren Sprache auch noch für $20^{4}=160{,}000$ ein besonderes Wort besitzt. In einzelnen Ausdrücken findet sich das vigesimale System auch in europäischen Sprachen, namentlich im keltischen Basbreton, aus welchem die vigesimale Zählweise von 70 an bis 100 ins Französische übergegangen ist (soixante-dix, soixante-douze etc., dann quatre-vingt $=4\cdot 20$ u. s. f.), sowie auch in der dänischen Volkssprache (halvtresindstyve, dritthalbmal 20, für 50 und ähnlich für 70 und 90, ferner tresindstyve $=3\cdot 20$ für 60 und firsindstyve $=4\cdot 20$ für 80). Das quinäre System findet sich öfters, aber nur neben dem dekadischen; es wird z. B. 6 aus 5 und 1, 7 aus 5 und 2 gebildet (z. B. bei den Römern in der Schrift VI = 6, VII = 7 und VIII = 8, aber nicht in der Sprache), während für 10 ein besonderes Wort, nicht aus $5\cdot 2$ gebildet, vorhanden ist. Ausnahmen von der oben angegebenen schematischen Darstellung der Zahlen, die sich auf Addition und Multiplikation gründet, bilden Formen wie die lateinischen undeviginti, duodeviginti (1 von 20, 2 von 20 für 19 und 18) und ähnliche im Griechischen, bei denen Subtraktionen vorkommen. Charakteristisch ist es, daß in den verschiedenen indogermanischen Sprachen die Wörter für 2 bis 9, 10 und 100 deutliche Verwandtschaft zeigen, während die für 1000 keine Ähnlichkeit erkennen lassen, also wohl erst nach der Trennung der verschiedenen Zweige dieses Sprachstammes entstanden sind. Für höhere Stufen als die dritte sind in den europäischen Sprachen erst spät Namen gebildet worden; nur im Griechischen hat man Myrioi = 10,000, wofür der deutschen und andern Sprachen ebenso wie für $10^{5}=100{,}000$ ein eignes Wort fehlt. Million (s. d.) kommt zwar schon in der „Summa de aritmetica“ des Luca Pacioli (1494) als Zahlwort vor, ist aber erst später gebräuchlich geworden; Billion, Trillion etc. treten Anfang des 17. Jahrh. auf, werden aber erst im vorigen Jahrhundert häufiger angewandt; Milliarde für $10^{9}=1{,}000{,}000{,}000$ stammt aus diesem Jahrhundert. Für die übrigen Stufen, wie $10^{7}$, $10^{8}$, $10^{10}$ etc., fehlen uns eigne Wörter, wogegen im Sanskrit Zahlwörter für alle Stufen bis $10^{17}=$ 100,000 Billionen seit den ältesten Zeiten existieren. Um Zahlen, die mit viel Ziffern geschrieben werden, leichter lesen zu können, teilt man sie durch Kommas, gewöhnlich in Abteilungen zu je drei Ziffern; da dies bei sehr großen Zahlen auch wieder unübersichtlich ist, so setzt man häufig erst nach sechs Ziffern, von rechts nach links gezählt, ein Komma oder auch einen Zwischenraum, also $18{,}446744{,}073709{,}551615$ oder $18\;446744\;073709\;551615$ = 18 Trillionen 446744 Billionen 73709 Millionen und 551615; auch hat man vorgeschlagen, die Millionen mit einem Komma, die Billionen mit zwei, die Trillionen mit drei zu bezeichnen, also $18{,}{,}{,}446744{,}{,}073709{,}551615$. Da aber so große, bis auf die Einheiten bekannte Zahlen nur selten vorkommen, so ist die Sache ohne Belang; man hat sich nur zu hüten, das Abteilungskomma als Dezimalzeichen zu betrachten.