MKL1888:Trägheitsmoment

Trägheitsmoment, in der Mechanik diejenige ideale Masse, welche, in der Entfernungseinheit von der Drehungsachse eines rotierenden Körpers konzentriert gedacht, bei gleicher Winkelgeschwindigkeit dieselbe lebendige Kraft (s. Kraft, S. 132) besitzt wie der rotierende Körper. Bezeichnet man die Winkelgeschwindigkeit, d. h. die Geschwindigkeit in der Entfernung 1 von der Drehungsachse, mit $\mathrm {w}$, so würde demnach das T. $\mathrm {(T)}$ diejenige Größe sein, welche, mit ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {w} ^{2}$ multipliziert, die gesamte lebendige Kraft des rotierenden Körpers ergibt. Diese letztere aber ist gleich der Summe der lebendigen Kräfte aller seiner Massenteilchen. Sind $\mathrm {m,m',m''} \ldots$ solche einzelne Massenteilchen, welche bez. um $\mathrm {r,r',r''} \ldots$ von der Drehungsachse abstehen, so bewegen sich dieselben bez. mit den Geschwindigkeiten $\mathrm {rw,r'w,r''w} \ldots$ und besitzen die lebendigen Kräfte $\mathrm {{\tfrac {1}{2}}mr^{2}w^{2},{\tfrac {1}{2}}m'{r'}^{2}w^{2},{\tfrac {1}{2}}m''{r''}^{2}w^{2}} \ldots$; die gesamte lebendige Kraft des rotierenden Körpers ist demnach $=\mathrm {{\tfrac {1}{2}}w^{2}(mr^{2}+m'{r'}^{2}+m''{r''}^{2}+\ldots )}$, wenn die eingeklammerte Summe über sämtliche Massenteilchen des Körpers erstreckt gedacht wird. Mit dieser Summe, welche kurz durch $\textstyle {\sum }\mathrm {mr^{2}}$ ausgedrückt wird, muß also, wie man sieht, $\mathrm {{\tfrac {1}{2}}w^{2}}$ multipliziert werden, um die lebendige Kraft des rotierenden Körpers zu erhalten, d. h. diese Summe ist dem T. gleich oder $\mathrm {T} =\textstyle {\sum }\mathrm {mr^{2}}$. Man findet demnach das T. eines Körpers, indem man die Summe bildet aus den Produkten aller Massenteilchen mit den Quadraten ihrer Abstände von der Drehungsachse.