MKL1888:Kettenbruch

Kettenbruch (kontinuierlicher Bruch), ein Bruch, dessen Zähler eine ganze Zahl und dessen Nenner die Summe aus einer ganzen Zahl und einem Bruch von derselben Bildungsweise ist; z. B.:

${\frac {3}{4+{\dfrac {7}{8+{\dfrac {5}{4+{\dfrac {1}{2}}}}}}}}$

oder:

${\frac {1}{2+{\dfrac {1}{13+{\dfrac {1}{7+{\dfrac {1}{3}}.}}}}}}$

Diese beiden Kettenbrüche sind endlich und haben rationale Werte; hört aber der K. nicht auf, so heißt er unendlich und hat einen irrationalen Wert. Die Brüche 3/4, 7/8, 5/4, 1/2 im ersten und 1/2, 1/13, 1/7, 1/3 im zweiten Beispiel nennt man die Glieder des Kettenbruchs; haben alle Glieder den Zähler 1, wie im zweiten Beispiel, so heißt der K. ein einfacher. Die einfachen Kettenbrüche finden hauptsächlich zur Berechnung von Näherungswerten für Brüche, deren Zähler und Nenner sehr große Zahlen sind, Anwendung. Nimmt man nämlich statt des ganzen Kettenbruchs bloß das erste Glied, dann die zwei ersten Glieder, hierauf die drei ersten Glieder, so bekommt man Näherungswerte, die abwechselnd zu groß und zu klein sind, sich aber dem wahren Wert immer mehr nähern, indem die Näherungswerte ungerader Ordnung, also der erste, dritte, fünfte etc., abnehmen, diejenigen gerader Ordnung dagegen, also der zweite, vierte etc., wachsen. Diese Näherungswerte (Partialbrüche) lassen sich leicht berechnen. Sind nämlich $\mathrm {a_{1}}$, $\mathrm {a_{2}}$, $\mathrm {a_{3}}$ etc. die Nenner der aufeinander folgenden Glieder eines einfachen Kettenbruchs, so sind die Näherungswerte

1) $\mathrm {{\frac {z_{1}}{n_{1}}}={\frac {1}{a_{1}}}}$	2) $\mathrm {{\frac {z_{2}}{n_{2}}}={\frac {a_{2}}{a_{1}a_{2}+1}}}$
3) $\mathrm {{\frac {z_{3}}{n_{3}}}={\frac {z_{2}a_{3}+z_{1}}{n_{2}a_{3}+n_{1}}}}$	4) $\mathrm {{\frac {z_{4}}{n_{4}}}={\frac {z_{3}a_{4}+z_{2}}{n_{3}a_{4}+n_{2}}}}$
5) $\mathrm {{\frac {z_{5}}{n_{5}}}={\frac {z_{4}a_{5}+z_{3}}{n_{4}a_{5}+n_{3}}}}$ u. s. f.

Es hat also beispielsweise der zweite der obenstehenden Kettenbrüche die Näherungswerte

${\frac {1}{2}}$, ${\frac {13}{2\operatorname {.} 13+1}}={\frac {13}{27}}$, ${\frac {13\operatorname {.} 7+1}{27\operatorname {.} 7+2}}={\frac {92}{191}}$, ${\frac {92\operatorname {.} 3+13}{191\operatorname {.} 3+27}}={\frac {289}{600}}$,

deren letzter den richtigen Wert angibt. Der Wert eines einfachen Kettenbruchs ist stets kleiner als 1; um daher eine Zahl in einen solchen K. zu verwandeln, sondere man erst die Ganzen ab und verwandle den übrigbleibenden echten Bruch. Zu dem Ende dividiere man mit dem Zähler in den Nenner, dann mit dem Rest in den vorigen Divisor (den Zähler des zu verwandelnden Bruches) und fahre so fort, indem man immer mit dem Rest in den vorigen Divisor dividiert, bis die Rechnung aufgeht. Die Quotienten, welche sich hierbei ergeben, sind die Nenner der Glieder des Kettenbruchs. Bei der Verwandlung eines Dezimalbruchs in einen K. hat man denselben zunächst als gemeinen Bruch zu schreiben. Die Umwandlung von ${\tfrac {289}{600}}$ in einen K. gibt z. B. folgende Rechnung:

${\begin{alignedat}{2}&\quad \quad \quad \,\,\,600:289=2\\&\quad \quad \quad \,\,\,{\underline {578}}\\&\quad \,\,\,\,289:22=13\\&\quad \,\,\,\,{\underline {22}}\\&\quad \,\,\,\,\,\,\,69\\&\quad \,\,\,\,\,\,\,{\underline {66}}\\&\,\,\,\,\,22:3=7\\&\,\,\,\,\,{\underline {21}}\\&3:1=3.\\\end{alignedat}}$

und man erhält so die Nenner der Glieder des oben angegebenen einfachen Kettenbruchs. Außer zur Ermittelung von Näherungswerten finden die Kettenbrüche auch in der unbestimmten Analytik zur Lösung diophantischer Gleichungen, ferner in der Algebra zur Auflösung quadratischer Gleichungen etc. sowie in der Analysis Anwendung. Die Kenntnis der Kettenbrüche datiert aus dem 17. Jahrh. Lord Brounker (1620–84) hat bereits die Ludolfsche Zahl durch einen K. dargestellt. Huygens zeigte die Verwendung zur Ermittelung von Näherungswerten, ausführlicher hat sie dann Leonhard Euler behandelt. Eingehendere Darstellungen findet man bei Schlömilch, Handbuch der algebraischen Analysis (6. Aufl., Jena 1881); Serret, Handbuch der höhern Algebra, Bd. 1 (deutsch, 2. Aufl., Leipz. 1878); Stern, Lehrbuch der algebraischen Analysis (das. 1860).