Elektrische Kraft Hertz:267

 

Heinrich Hertz: Untersuchungen über die Ausbreitung der elektrischen Kraft
Seite 267
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14. Grundgleichungen für bewegte Körper.

$(3_{\text{a}})\,$

$\left\lbrace {\begin{aligned}{\bigg \lbrace }{\frac {d}{dt}}&\left({\frac {d{\mathfrak {L}}}{dx}}+{\frac {d{\mathfrak {M}}}{dy}}+{\frac {d{\mathfrak {N}}}{dz}}\right)\\&+\alpha {\frac {d}{dx}}\left({\frac {d{\mathfrak {L}}}{dx}}+{\frac {d{\mathfrak {M}}}{dy}}+{\frac {d{\mathfrak {N}}}{dz}}\right)+\beta {\frac {d}{dy}}\left({\frac {d{\mathfrak {L}}}{dx}}+{\frac {d{\mathfrak {M}}}{dy}}+{\frac {d{\mathfrak {N}}}{dz}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\gamma {\frac {d}{dz}}\left({\frac {d{\mathfrak {L}}}{dx}}+{\frac {d{\mathfrak {M}}}{dy}}+{\frac {d{\mathfrak {N}}}{dz}}\right)\\&+\left({\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}+{\frac {d\gamma }{dz}}\right)\left({\frac {d{\mathfrak {L}}}{dx}}+{\frac {d{\mathfrak {M}}}{dy}}+{\frac {d{\mathfrak {N}}}{dz}}\right){\bigg \rbrace }d\tau \\&={\frac {d}{dt}}{\bigg \lbrace }\left({\frac {d{\mathfrak {L'}}}{dx}}+{\frac {d{\mathfrak {M'}}}{dy}}+{\frac {d{\mathfrak {N'}}}{dz}}\right)d\tau '{\bigg \rbrace }=4\pi {\frac {dm'}{dt}}=0,\end{aligned}}\right.$

$(3_{\text{b}})\,$

$\left\lbrace {\begin{aligned}{\bigg \lbrace }{\frac {d}{dt}}&\left({\frac {d{\mathfrak {X}}}{dx}}+{\frac {d{\mathfrak {Y}}}{dy}}+{\frac {d{\mathfrak {Z}}}{dz}}\right)\\&+\alpha {\frac {d}{dx}}\left({\frac {d{\mathfrak {X}}}{dx}}+{\frac {d{\mathfrak {Y}}}{dy}}+{\frac {d{\mathfrak {Z}}}{dz}}\right)+\beta {\frac {d}{dy}}\left({\frac {d{\mathfrak {X}}}{dx}}+{\frac {d{\mathfrak {Y}}}{dy}}+{\frac {d{\mathfrak {Z}}}{dz}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\gamma {\frac {d}{dz}}\left({\frac {d{\mathfrak {X}}}{dx}}+{\frac {d{\mathfrak {Y}}}{dy}}+{\frac {d{\mathfrak {Z}}}{dz}}\right)\\&+\left({\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}+{\frac {d\gamma }{dz}}\right)\left({\frac {d{\mathfrak {X}}}{dx}}+{\frac {d{\mathfrak {Y}}}{dy}}+{\frac {d{\mathfrak {Z}}}{dz}}\right){\bigg \rbrace }d\tau \\&={\frac {d}{dt}}{\bigg \lbrace }\left({\frac {d{\mathfrak {X'}}}{dx}}+{\frac {d{\mathfrak {Y'}}}{dy}}+{\frac {d{\mathfrak {Z'}}}{dz}}\right)d\tau '{\bigg \rbrace }=4\pi {\frac {de}{dt}}\\&=4\pi \left({\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}+{\frac {dw}{dz}}\right).\end{aligned}}\right.$

     Diese Gleichungen enthalten unsere Aussage und ergänzen dieselbe hinsichtlich der Leiter. Sind die Geschwindigkeiten $\alpha \ \beta \ \gamma \,$ so klein, dass die elektrischen und magnetischen Zustände in jedem Augenblicke statischen Zuständen unendlich nahe bleiben können und beschränken wir uns auf die Betrachtung solcher quasistatischen Zustände, so ist der gewonnene Lehrsatz hinreichend, aber auch nothwendig, um die Abhängigkeit der ineinander überführbaren Zustände voneinander zu bestimmen. Die Hinzufügung dieses Satzes erlaubt in derartigen Problemen die vollständigen, aber sehr complicirten Gleichungen (1_a) und (1_b) gleichwerthig zu ersetzen durch die sehr einfachen Gleichungen, welche für statische Probleme in ruhenden Körpern gelten und welche aus den Gleichungen (1_a) und (1_b) durch Nullsetzen der Geschwindigkeiten und der zeitlichen Aenderungen in allen Punkten des Raumes hervorgehen. Ohne den Begriff der Elektricität und des Magnetismus einzuführen, ist eine gleiche Vereinfachung der Aussagen nicht möglich, und hierin vor Allem scheint mir die Unentbehrlichkeit begründet, welche diese Be-