Beschreibung einer Maschine zum experimentellen Beweise des Theorems vom Parallelogramm der Kräfte

XI. Beschreibung einer Maschine zum experimentellen Beweise des Theorems vom Parallelogramm der Kräfte;

von J. G. Crahay,

Mitglied der K. Academie zu Brüssel.

(Mitgetheilt vom Hrn. Verf. aus dem Bullet. de l’acad. roy. de Bruxelles, T. VII.)

Die Nützlichkeit, das wichtige Theorem vom Parallelogramm der Kräfte durch Versuche zu bestätigen, hat verschiedene Apparate hervorgerufen, unter denen der von S’Gravesande erdachte der genügendste ist. Er besteht bekanntlich aus einem horizontal befestigten Brette, parallel welchem drei Schnüre laufen, die in einem und demselben Knoten endigen, und an den anderen Enden, über Rollen hinweggehend, mit Gewichten belastet sind, welche die Stelle von Kräften vertreten, die um den Knoten im Gleichgewicht sind. Ein auf dem Brette gezogenes Parallelogramm von zweckmäßigen Dimensionen, zeigt durch die Coincidenz seiner Seiten und der Verlängerung seiner Diagonale mit den drei Schnüren, und durch die Gleichheit des Verhältnisses zwischen den Längen dieser Linien und zwischen den an den Schnüren befestigten Gewichts-Einheiten, daß die angegebenen Beziehungen zwischen der geometrischen Figur und den Kräften wirklich vorhanden sind.

Diese Maschine besitzt einige Unvollkommenheiten, unter welchen als die größte die genannt werden kann, daß sie den Beweis nur für die besonderen auf dem Brett verzeichneten Fälle liefert. In der Absicht ihre Anwendung zu verallgemeinern, habe ich sie nach einem neuen Plan ausführen lassen, in welchem der wesentliche Theil ein Parallelogramm mit veränderlichen Dimensionen ist, damit man Kräfte von einer großen Zahl verschiedener Verhältnisse vorstellen könne. Auch die Winkel können verändert werden, um den Einfluß ihrer Größe auf die Intensität der Resultante zu zeigen; endlich erlaubt ihre aufrechte Stellung, daß alle Zuhörer eines großen Auditoriums mit gleicher Leichtigkeit die Richtigkeit ihrer Beweisführungen beurtheilen können. Da die Ausführung dieses Plans meiner Erwartung vollkommen entsprochen hat, so glaube ich, daß die Veröffentlichung für den Unterricht von Nutzen seyn werde.

Die beifolgende Zeichnung (Taf. II Fig. 7) stellt im Zehntel der natürlichen Größe ein Exemplar vor, welches Hr. Bernaert für das physikalische Kabinet der katholischen Universität zu Gent vortrefflich ausgeführt hat.

Taf. II Fig. 7

Das Parallelogramm ist gebildet aus vier Holzleisten $CB$, $CD$, $AE$, $AF$, von 6 Millimet. Dicke, versehen mit drei runden Löchern, die, auf der mittleren Längslinie der Leisten liegend, von $A$ und $C$ aus gleich abständig vertheilt sind. In $A$ und $C$ sind die Leisten unveränderlich durch Zapfen verbunden, um welche sie sich drehen, und somit verschiedene Winkel bilden können. Ueberdieß sind sie in $G$ und $H$ durch fortnehmbare Stifte verbunden, welche in entsprechende Löcher zweier zusammenliegenden Leisten gesteckt werden. Vermöge dieser Einrichtung kann man zwei anliegende Seiten des Parallelogramms in so viele Längenverhältnisse bringen, als sich Combinationen zwischen den Löchern der Leisten machen lassen. Die Componenten treffen in der Mitte des Zapfens $C$ zusammen, und ihre Richtungen sind parallel den auf der Mitte der Leisten gezogenen Geraden. Der Winkel, den sie mit einander bilden, wird gemessen an einem in Grade getheilten Halbkreise, der so an der Leiste $CD$ befestigt ist, daß sein Nullpunkt mit der Mitte dieser Leiste zusammenfällt; eine in der Leiste $CD$ angebrachte rechteckige Oeffnung erlaubt das Sehen des Theilpunkts, welcher der Mittellinie dieser entspricht.

Der Zapfen $A$ sitzt auf einer Metallhülse, welche den prismatischen, 18 Millimet. dicken, Holzstab $IK$ umfaßt, verschiebbar ist und durch eine Feder drang anschließt. Dieser Stab ist senkrecht befestigt oben auf der Säule, die dem Apparat als Träger dient, und zwar so, daß die verlängerte Mitte seiner Breite durch das Centrum des Zapfens $C$ geht. Vermöge dieser Einrichtung ist die Diagonale des aus den vier Leisten $CB$, $CD$, $AE$, $AF$ gebildeten Parallelogramms, und folglich auch die Resultante der Kräfte, welche durch die im Scheitel $C$ zusammehstoßenden Seiten vorgestellt werden, immer senkrecht. Auf dem Stabe $IK$ sind von $C$ aus Theilstriche gezogen in gleichen Abständen wie die, welche die Löcher auf $CB$, $CD$, $AE$, $AF$ trennen. Sie dienen zur Messung der Länge der Diagonale bei den verschiedenen Abänderungen sowohl der Winkel als der Seiten des Parallelogramms. Da das Centrum $A$${\displaystyle }$ nicht licht durchbohrt ist, und man also nicht geradezu sehen kann, welchem Theilpunkte des Stabes $IK$ dasselbe entspricht, so könnte man in der Hinterseite der Hülse eine Oeffnung in der Höhe des Centrums $A$ machen, und durch diese Oeffnung die Theilstriche ablesen, die man auf der Rückseite des Stabes gemacht hätte. Allein ich hielt es für vorzüglicher, alle Theilungen an der Vorderseite der Maschine anzubringen, und deshalb habe ich den Stab $IK$ so graduirt, daß alle seine Theilstriche erhöht sind, um eine constante Größe, die gleich ist der welche das Centrum $A$ vom oberen Band der Hülse $M$ trennt, wodurch der mit diesem Rand zusammenfallende Theilstrich die Länge der Diagonale $CA$ ausdrückt.

Massen $P,$ $O$, bestehend aus Messingscheiben von gleichem Gewicht, dienen als componirende Kräfte. Diese Scheiben sind in der Mitte durchbohrt; sie werden auf Stäbchen gesteckt, an denen unten ähnliche Scheiben befestigt sind, um die übrigen zutragen; überdieß sind die Scheiben längs einem ihrer Radien aufgeschlitzt, um von den Stiften abgenommen werden zu können, ohne die Stäbchen von den Fäden, an denen sie hängen, ablösen zu dürfen. Zu dem Ende sind die Schlitze schmäler als die Stäbchen, aber hinlänglich breit, um die Fäden durchzulassen. Diese Aufhängefäden, dünn und biegsam, gehen über die Rollen $B$ und $D$, deren Ebene der des Parallelogramms parallel sind; sie vereinigen sich in einem kleinen Kupferring, dessen Mitte der Durchschnittspunkt der Componenten ist, und mit dem Centrum des Zapfens $C$ zusammenfallen muß. Eine dritte Masse $R$, gebildet aus ähnlichen Scheiben wie $P$ und $Q$, ist mittelst eines dünnen Fadens gleichfalls an dem kleinen Ringe befestigt. Diese senkrecht herabwirkende Kraft muß das Gleichgewicht halten der Resultante der Kräfte $P$ und $Q$, welche ebenfalls senkrecht gerichtet ist, aber den Ring von unten nach oben zu bringen sucht. Der ganze Apparat ruht auf einer massiven Säule, getragen von einem Dreifuß, versehen mit drei Stellschrauben.

Will man nun mittelst dieser Maschine die Eigenschaften des Parallelogramms der Kräfte erweisen, so fängt man damit an, die Diagonale $IK$ senkrecht zu stellen. Dieß geschieht mittelst eines Senkbleis, dessen Faden, im Mittelpunkt $A$ angebracht, auch durch den von $C$ gehen muß. Gesetzt die Intensitäten der gegebenen Componenten seyen ausgedrückt durch $p$ und $q$ Einheiten, so stellt man zunächst die Leisten $CB$, $CD$, $AE$, $AF$ mittelst der beweglichen Stifte $G$, $H$ solchergestalt, daß sie ein Parallelogramm bilden, dessen Seiten $CG$, $CH$ respective $p$ und $q$ von den durch die Löcher der Leisten angegebenen Abtheilungen umfassen. Hierauf faßt man die Hülse $M$ und verschiebt sie an dem senkrechten Stab, bis der am getheilten Halbkreise abgelesene Winkel $GCH$ gleich ist dem gegebenen Winkel $\alpha$, und ist dieß geschehen, so hängt man respective in $P$ und $Q$ die $p$ und $q$ Gewichtseinheiten an, so wie in $R$ eine Anzahl $r$ (mit Unterabtheilungen wenn’s deren giebt), gleich derjenigen, welche die Länge der Diagonale $CA$ ausdrückt und an dem senkrechten Stabe $IK$ angezeigt wird durch den oberen Rand der Hülse $M$. Wird nun der Apparat sich selbst überlassen, so nimmt der Ring, der Vereinigungspunkt der Kräfte, eine solche Stellung an, daß seine Mitte mit dem Centrum des Zapfens $C$ zusammenfällt. Lenkt man ihn davon ab, so kommt er nach einigen Hin- und Hergängen darauf zurück; dieß beweist, daß die Kraft $r$ gleich und entgegengesetzt ist der Resultante von $p$ und $q$. Die Fig. 7 Taf. II stellt den Fall vor, wo $p=12$, $q=8$, $r=17$, alsdann ist $\alpha =65^{\circ }\ 3'$.

Um zu zeigen, welchen Einfluß die Größe des Winkels $\alpha$ auf die Intensität der Resultante ausübe, braucht man nur die Hülse $M$ an dem Ständer zu verschieben, um den Winkel $GCH$ zu vergrößern oder zu verringern. Im ersten Fall überwiegt das Gewicht $r$ und der Ring sinkt, im zweiten Fall steigt er über das Centrum $C$. Für jeden neuen Winkel endlich braucht man nur $R$ zu belasten mit einer Anzahl Gewichtseinheiten, die gleich ist der Zahl von Abtheilungen der Diagonale, und der Ring kehrt auf den Punkt $C$ zurück.

Läßt man den Winkel unverändert, und verändert dagegen den Werth einer der Kräfte $p$ und $q$, so sieht man sogleich den Ring seine centrale Stellung verlassen und sich derjenigen der beiden Kräfte nähern; die einen relativen Zuwachs erhalten hat.

Will man die Winkel messen, welche, beim Gleichgewicht, die Resultante mit den Componenten macht, so bindet man an den Ring einen dünnen Faden, faßt dessen anderes Ende mit der Hand und spannt ihn sanft über das Centrum des Stiftes $A$. Die Projection dieses Fadens auf den getheilten Kreis giebt den Werth des gesuchten Winkels.

Der Kopf der Säule hat quer durch, und durch den Zapfen $C$ einen cylindrischen Kanal, dessen Axe mit der des Zapfens zusammenfällt. Man steckt darin von der Hinterseite einen cylindrischen Bolzen mit Knopf. Wenn derselbe ganz bis zum Knopf hinein gesteckt ist, ragt das Ende diesseits ein bis zwei Centimeter aus dem Zapfen $C$ hervor, und auf dieses hervorragende Ende schiebt man den Ring, wenn man die Scheiben-Gewichte ändert, damit die Fäden sich dabei nicht verwickeln. Sind die Gewichte aufgelegt, so zieht man den Bolzen an seinem Knopf zurück und der Ring ist frei.