Schwere, Elektricität und Magnetismus:083

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Zweiter Abschnitt.


Der Satz von Green.


§. 19.
Hülfssatz aus der Analysis.


 Wir schalten einen Hülfssatz ein, der häufig in Anwendung kommt.

 Es sei ein vollständig begrenzter Raum und eine Function von , die im Innern des Raumes an jeder Stelle einen endlichen, bestimmten Werth hat und bei einer stetigen Verschiebung des Punktes sich stetig ändert. Wir wollen das Integral


(1)


über den ganzen Raum erstrecken. Die Coordinaten-Ebenen mögen so gelegt sein, dass jedem Punkte im Innern und in der Oberfläche von positive Coordinaten angehören, In der Ebene zeichnen wir ein Rechteck, dessen einer Eckpunkt, dem Anfangspunkte zunächst gelegen, die Coordinaten hat, und dessen Seiten von der Länge parallel den Axen liegen. (Fig. 11.) Ueber diesem Rechteck als Grundfläche errichten wir ein Prisma, dessen Kanten zu der Axe der parallel laufen. Der Punkt sei so gewählt, dass das Prisma den Raum durchschneide. Es sind dann ebenso viele Austritts- wie Eintrittsstellen vorhanden, und zwar findet abwechselnd Ein- und Austritt statt. Wir bezeichen mit Werthe von an den Stellen, wo die im Punkte errichtete Kante des Prisma in den Raum eintritt, und mit die Werthe von an den Stellen, wo sie austritt. Diese Abscissen sind nach ihrer Grösse geordnet: