Schwere, Elektricität und Magnetismus/Erster Theil

Editionsrichtlinien, Quellenangaben und Zusammenstellung siehe: Schwere, Elektricität und Magnetismus.

Erster Theil.

Schwere. Allgemeine Sätze über die Potential-

function und das Potential.

Erster Abschnitt.

Die Potentialfunction.

§. 1. Newton’s Gravitationsgesetz.

 Die Theorie der Schwere beschäftigt sich mit der Untersuchung der gegenseitigen Anziehung ponderabler Körper. Dieser Untersuchung liegt als Hypothese das allgemeine Gravitationsgesetz von Newton zu Grunde. Dasselbe lautet:

 Zwei mit ponderabler Masse erfüllte Punkte üben eine Anziehungskraft auf einander aus. Die Richtung dieser Kraft wird durch die gerade Verbindungslinie der beiden Punkte angegeben. Die Grösse der Kraft ist direct proportional dem Producte der beiden Massen und umgekehrt proportional dem Quadrate ihrer Entfernung.

 Es sei $k\,$ die Grösse der Kraft, mit welcher zwei Masseneinheiten einander anziehen, wenn ihre Entfernung gleich der Längeneinheit ist.

Fig. 1.

Dann üben nach Newton’s Gesetze zwei Massen $\mu \,$ und $m\,$, die in zwei Punkten von der Entfernung $r\,$ concentrirt sind, eine Anziehungskraft auf einander aus, deren Grösse

(1)	$=k\cdot {\frac {\mu m}{r^{2}}}$

ist. Es seien (Fig. 1) $x,\,y,\,z$ die rechtwinkligen Coordinaten des Punktes von der Masse $\mu \,$ und $a,\,b,\,c$ die rechtwinkligen Coordinaten des Punktes von der Masse $m\,$. Die Entfernung $r\,$ dieser beiden Punkte ist

(2)	$r={\sqrt {(a-x)^{2}+(b-y)^{2}+(c-z)^{2}}},\,$

und die von dem Punkte $(x,\,y,\,z)$ nach dem Punkte $(a,\,b,\,c)$ gerichtete gerade Linie von der Länge $r\,$ schliesst mit den positiven Coordinatenaxen Winkel ein, deren Cosinus die Werthe haben

(3)	$\cos(rx)={\frac {a-x}{r}},\,$ $\cos(ry)={\frac {b-y}{r}},\,$ $\cos(rz)={\frac {c-z}{r}}.\,$

 Die Kraft, mit welcher die Masse $\mu \,$ von der Masse $m\,$ angezogen wird, ist von dem Punkte $(x,\,y,\,z)$ nach dem Punkte $(a,\,b,\,c)$ hin gerichtet. Die Componenten dieser Kraft parallel den Coordinatenaxen sind demnach resp.

(4)	$k\mu \cdot {\frac {m}{r^{2}}}\cdot {\frac {a-x}{r}},\,$ $k\mu \cdot {\frac {m}{r^{2}}}\cdot {\frac {b-y}{r}},\,$ $k\mu \cdot {\frac {m}{r^{2}}}\cdot {\frac {c-z}{r}}.\,$

 Es werde ferner die Masse $\mu \,$ von mehreren Massen $m_{1},\,m_{2},\,m_{3},\,\ldots \,m_{n}$ angezogen. Irgend eine dieser anziehenden Massen werde mit $m_{i}\,$ bezeichnet. Sie sei im Punkte $(a_{i},\,b_{i},\,c_{i})$ concentrirt. Der Abstand $r_{i}\,$ dieses Punktes von dem Punkte $(x,\,y,\,z)$ findet sich, indem man in (2) an die Stelle von $a,\,b,\,c$ resp. $a_{i},\,b_{i},\,c_{i}$ setzt. Die Masse $m_{i}\,$ übt auf die Masse $\mu \,$ eine Anziehung aus, deren Componenten aus (4) hervorgehen, wenn man dort den Grössen $m,\,a,\,b,\,c,\,r$ den Index $i\,$ gibt. Wird dann für $i\,$ der Reihe nach $1,\,2,\,3,\,\ldots \,n$ gesetzt, so ergeben sich die Componenten der einzelnen Kräfte, mit welchen die Masse $\mu \,$ resp. von den Massen $m_{1},\,m_{2},\,m_{3},\,\ldots \,m_{n}$ angezogen wird. Alle diese Componenten greifen im Punkte $(x,\,y,\,z)$ an. Handelt es sich um die Gesammtwirkung, so hat man nur die gleichnamigen Componenten zu summiren. Die Masse $\mu \,$ wird also durch eine Gesammtkraft $\,P$ in Anspruch genommen, deren Componenten parallel den Coordinatenaxen sich berechnen:

(5)	$X=k\mu \sum _{i=1}^{n}{\frac {m_{i}(a_{i}-x)}{r_{i}^{3}}},$ $Y=k\mu \sum _{i=1}^{n}{\frac {m_{i}(b_{i}-y)}{r_{i}^{3}}},$ $Z=k\mu \sum _{i=1}^{n}{\frac {m_{i}(c_{i}-z)}{r_{i}^{3}}}.$

 Die Gesammtkraft $P\,$ selbst ist

(6)	$P={\sqrt {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}.$

 Sie greift im Punkte $(x,\,y,\,z)$ an, und ihre Richtung schliesst mit den positiven Coordinatenaxen Winkel ein, deren Cosinus die Werthe haben

(7)	${\frac {X}{P}},\ {\frac {Y}{P}},\ {\frac {Z}{P}}.$

 Von besonderer Wichtigkeit ist der Fall, dass die Anziehung nicht von einzelnen getrennt liegenden Massenpunkten ausgeübt wird, sondern von den sämmtlichen Molekülen eines physischen Körpers. Dann ist ein Raum von endlichem Volumen mit einer Masse von endlicher Grösse erfüllt, ein unendlich kleines Raumelement mit einer unendlich kleinen Masse. Dagegen enthalten Punkte, Linien und Flächen keine anziehende Masse. In diesem Falle treten in den Ausdrücken (5) Integrale an die Stelle der Summen. Wir betrachten im Innern des Raumes, welchen die anziehende Masse

Fig. 2.

erfüllt, ein unendlich kleines Parallelepipedon (Fig. 2), dessen Kanten den Coordinatenaxen parallel laufen. Der dem Anfangspunkte der Coordinaten zunächst gelegene Eckpunkt habe die Coordinaten $a,\,b,\,c$. Die Länge der von ihm ausgehenden Kanten sei resp. $da,\,db,\,dc$. Die Masse dieses Parallelepipedon ist unendlich klein. Wir bezeichnen sie mit $dm\,$. Da alle drei Dimensionen des Parallelepipedon unendlich klein sind, so darf man seine Masse als in einem Punkte desselben concentrirt ansehen, z. B. in dem Eckpunkte $(a,\,b,\,c)$. Der Factor $\rho \,$, mit welchem man das Volumen

des Parallelepipedon $da\,db\,dc\,$ multipliciren muss, um seine Masse $dm\,$ zu erhalten, wird die Dichtigkeit genannt, und zwar die Dichtigkeit im Punkte $(a,\,b,\,c)$. Im allgemeinen ändert sich die Dichtigkeit, wenn der Punkt $(a,\,b,\,c)$ an eine andere Stelle rückt. Es ist also $\rho \,$ eine Function des Ortes

(8)	$\rho =f(a,\,b,\,c).$

Wenn nichts anderes ausdrücklich festgesetzt wird, soll diese Function im Innern des anziehenden Körpers überall endlich und stetig variabel sein. Ausserhalb des anziehenden Körpers ist sie Null. Die Masse des betrachteten Parallelepipedon ist

$dm=\rho \;da\;db\;dc.$

Sie übt auf die im Punkte $(x,\,y,\,z)$ befindliche Masse $\mu \,$ eine Anziehung aus

$=k\mu \,{\frac {\rho \;da\;db\;dc}{r^{2}}},\,$

deren Componenten parallel den Coordinatenaxen die Werthe haben

$k\mu \,{\frac {(a-x)\;\rho \;da\;db\;dc}{r^{3}}},\,$ $k\mu \,{\frac {(b-y)\;\rho \;da\;db\;dc}{r^{3}}},\,$ $k\mu \,{\frac {(c-z)\;\rho \;da\;db\;dc}{r^{3}}}.\,$

 Die Oberfläche des anziehenden Körpers werde ausgedrückt durch die Gleichung

(9)

$W=0,\,$

wobei $W\,$ eine Function von $a,\,b,\,c$ bezeichnet. Diese Function habe negative oder positive Werthe, je nachdem der Punkt $(a,\,b,\,c)$ im Innern oder ausserhalb des anziehenden Körpers liegt. Die Componenten der Gesammtanziehung, welche auf die Masse $\mu \,$ ausgeübt wird, sind

(10)	${\begin{aligned}X&=k\mu \iiint {\frac {(a-x)\;\rho \;da\;db\;dc}{r^{3}}},\\Y&=k\mu \iiint {\frac {(b-y)\;\rho \;da\;db\;dc}{r^{3}}},\\Z&=k\mu \iiint {\frac {(c-z)\;\rho \;da\;db\;dc}{r^{3}}}.\end{aligned}}$

 Die dreifache Integration erstreckt sich auf alle Werthen-Combinationen $a,\,b,\,c$, für welche

$W\leq 0\,$

ist.

§. 2. Die Potentialfunction.

 Wir wollen der Einfachheit wegen $\mu =1\,$ und $k=1\,$ setzen. In dem angezogenen Punkte $(x,\,y,\,z)$ soll also die Masseneinheit sich befinden, und das Maass der Kraft ist so gewählt, dass zwei Masseneinheiten in der Einheit der Entfernung sich mit der Einheit der Kraft anziehen.

 Sind die anziehenden Massen in einzelnen getrennt liegenden Punkten concentrirt, so hat man für die Componenten der auf den Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausgeübten Kraft die Ausdrücke:

(1)	$X=\sum {\frac {m(a-x)}{r^{3}}},\,$ $Y=\sum {\frac {m(b-y)}{r^{3}}},\,$ $Z=\sum {\frac {m(c-z)}{r^{3}}}.\,$

Das Zeichen $\sum \,$ ist so zu verstehen, dass der dahinter stehende Ausdruck der Reihe nach für jeden einzelnen anziehenden Massenpunkt gebildet und dann die Summirung der sämmtlichen entstehenden Werthe vorgenommen werden soll. Die Gleichungen (1) zeigen, dass $X,\,Y,\,Z$ Functionen von den Coordinaten $x,\,y,\,z$ des Punktes sind, in welchem die angezogene Masse sich befindet. Lagrange hat bemerkt, dass diese Functionen $X,\,Y,\,Z$ sich ausdrücken lassen als die partiellen Derivirten einer einzigen Function von $x,\,y,\,z$. Es ist nemlich

${\frac {\partial r}{\partial x}}=-{\frac {a-x}{r}},\qquad {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x}}={\frac {a-x}{r^{3}}},\,$ ${\frac {\partial r}{\partial y}}=-{\frac {b-y}{r}},\qquad {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial y}}={\frac {b-y}{r^{3}}},\,$ ${\frac {\partial r}{\partial z}}=-{\frac {c-z}{r}},\qquad {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial z}}={\frac {c-z}{r^{3}}}.\,$

Wenn also die anziehenden Massen in einzelnen getrennt liegenden Punkten concentrirt sind, so hat man

$X=\sum m\,{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x}},\,$ $Y=\sum m\,{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial y}},\,$ $Z=\sum m\,{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial z}}.\,$

Wir bezeichnen mit $V\,$ die Function

(2)	$V=\sum {\frac {m}{r}}.\,$

Dann zeigt sich, dass $X,\,Y,\,Z$ die partiellen Derivirten von $V\,$ sind:

(3)	$X=\,{\frac {\partial V}{\partial x}},\,$ $Y=\,{\frac {\partial V}{\partial y}},\,$ $Z=\,{\frac {\partial V}{\partial z}}.\,$

Die Function $V\,$ und ihre ersten Derivirten sind endlich und stetig variabel, so lange der angezogene Punkt $(x,\,y,\,z)$ in endlicher, wenn auch noch so kleiner, Entfernung von jedem der anziehenden Massenpunkte sich befindet. Fällt er in einen dieser Punkte hinein, so wird in (1) und in (2) einer der Summanden unendlich gross. Die Function $V\,$ wird dann also unendlich wie ${\frac {1}{r}}$, und ihre ersten Derivirten werden unendlich wie ${\frac {1}{r^{3}}}$.

 Wenn die anziehende Masse einen körperlichen Raum stetig ausfüllt, so lauten die Ausdrücke für die Componenten der Anziehung:

(4)	$X=\iiint {\frac {a-x}{r^{3}}}\rho \;da\;db\;dc,\,$ $Y=\iiint {\frac {b-y}{r^{3}}}\rho \;da\;db\;dc,\,$ $Z=\iiint {\frac {c-z}{r^{3}}}\rho \;da\;db\;dc.\,$

Auch hier sind $\,X,\,Y,\,Z$ die partiellen Derivirten einer Function $V\,$, und es gelten die Gleichungen (3). Die Function $V\,$ ist aber in diesem Falle

(5)	$V=\iiint {\frac {\rho \;da\;db\;dc}{r}}.\,$

Die Grenzen der Integration in (4) und (5) sind dieselben wie in den Ausdrücken (10) des vorigen Paragraphen.

 Die Function $V\,$, welche durch die Gleichung (2), resp. durch die Gleichung (5) definirt wird, nennt man die Potentialfunction des anziehenden Massensystems auf den angezogenen Punkt.

 Es ist nun leicht, den Satz in Worte zu fassen, der sich in den Gleichungen (3) ausspricht. Er lautet:

 Soll die Componente der Anziehung in der Richtung einer der Coordinatenaxen berechnet werden, so hat man den angezogenen Punkt in dieser Richtung um eine unendlich kleine Strecke zu verschieben und die daraus hervorgehende Aenderung der Potentialfunction durch die Grösse der Verschiebung zu dividiren. Der Quotient ist die gesuchte Componente.

 Bisher ist über die Lage des Coordinatensystems keine besondere Voraussetzung gemacht. Man kann die Axen legen, wie man will. Handelt es sich also um die Componente der Anziehung in irgend einer Richtung, so braucht man nur ein Coordinatensystem zu Hülfe zu nehmen, von welchem eine Axe dieser Richtung parallel gelegt ist. Auf diese Weise gelangt man zu dem erweiterten Satze:

 Soll die Componente der Anziehung in irgend einer Richtung berechnet werden, so hat man den angezogenen Punkt in dieser Richtung um eine unendlich kleine Strecke zu verschieben und die daraus hervor- gehende Aenderung der Potentialfunction durch die Grösse der Verschiebung zu dividiren. Der Quotient ist die gesuchte Componente.

 Der Fall, dass die anziehende Masse in einzelnen getrennt liegenden Punkten concentrirt ist, wird in der Folge nur ausnahmsweise vorkommen. Bis auf weiteres halten wir die Voraussetzung fest, dass sie einen körperlichen Raum stetig ausfüllt.

§. 3. Die Gleichung von Laplace.

 Wir bilden die zweiten partiellen Derivirten der Function $V\,$:

(1)

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=\iiint {\rho }\ da\ db\ dc\ \left(-{\frac {1}{r^{3}}}+3\,{\frac {(a-x)^{2}}{r^{5}}}\right),$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}=\iiint {\rho }\ da\ db\ dc\ \left(-{\frac {1}{r^{3}}}+3\,{\frac {(b-y)^{2}}{r^{5}}}\right),$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=\iiint {\rho }\ da\ db\ dc\ \left(-{\frac {1}{r^{3}}}+3\,{\frac {(c-z)^{2}}{r^{5}}}\right)$.

 Daraus findet sich unmittelbar durch Addition

(2)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.\,$

 Diese Gleichung, welche zuerst Laplace*)^[1] gefunden hat, wird nach ihm die Gleichung von Laplace genannt.

 Sie gilt jedoch nur, wenn der angezogene Punkt ausserhalb der anziehenden Masse liegt. Laplace hielt sie für allgemein gültig. Diesen Irrthum hat Poisson später berichtigt.**)^[2]

 Liegt nemlich der angezogene Punkt ausserhalb der anziehenden Massen, so ist für jeden Punkt $(a,\,b,\,c)$ des mit Masse erfüllten Raumes die Function ${\frac {1}{r}}$ eine endliche und stetig veränderliche Function von $(x,\,y,\,z)$. Dasselbe gilt von allen ihren De- rivirten. Ebenso sind die Functionen $V,\,X,\,Y,\,Z\,$ des vorigen Paragraphen [Gleichungen (4) und (5)] endliche und stetig veränderliche Functionen von $(x,\,y,\,z)\,$. Sollen von der Function $V\,$ die ersten Derivirten nach $x\,$, nach $y\,$, nach $z\,$ gebildet werden, so darf man die Differentiation unter dem Integralzeichen vornehmen, weil ihr Resultat einen durchaus bestimmten endlichen Werth hat. Darauf beruht die Gültigkeit der Gleichungen (3) des vorigen Paragraphen. Auch die Herstellung der zweiten Derivirten und aller Derivirten höherer Ordnung kann durch Differentiation unter dem Integralzeichen ausgeführt werden, weil die Resultate dieser Differentiation bestimmte endliche Werthe haben, die bei einer stetigen Verschiebung des Punktes $(x,\,y,\,z)\,$ sich ebenfalls stetig ändern.

 Wenn aber der Punkt $(x,\,y,\,z)\!$ im Innern der anziehenden Masse liegt, so behalten zwar, wie später (§§. 6. 10.) gezeigt werden soll, die durch die Gleichungen (4) und (5) des §. 2 definirten Functionen $V,\,X,\,Y,\,Z\,$ bestimmte endliche Werthe, und es gelten deshalb auch noch die Gleichungen (3) desselben Paragraphen. Aber die Integrale auf der rechten Seite der Gleichungen (1) des gegenwärtigen Paragraphen haben dann gar keine Bedeutung, weil in einem Element der Integration ein unendlich grosser Factor auftritt. Liegt also der angezogene Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ im Innern der anziehenden Masse, so sind die Gleichungen (1) nicht gültig und ebenso wenig die Gleichung (2). Für diesen Fall ist vielmehr eine besondere Untersuchung anzustellen.

§. 4. Specieller Fall: Anziehung einer Kugelschale, deren Dichtigkeit nur vom Radius vector abhängt.

 Wir wollen zunächst die Gleichung von Laplace benutzen, um in einem speciellen Falle die Potentialfunction zu berechnen.

 Die anziehende Masse sei stetig vertheilt im Innern einer Kugelschale, d. h. des Raumes zwischen zwei concentrischen Kugelflächen. Den Anfangspunkt der Coordinaten legen wir in den Mittelpunkt der Kugeln. Die Dichtigkeit der anziehenden Masse sei dieselbe in allen Punkten einer zu der Begrenzung concentrischen Kugelfläche. Sie ändere sich nur mit dem Abstande vom Mittelpunkte. Dann ist auch die gesuchte Potentialfunction $V\,$ nur abhängig von dem Radius vector $s\,$, und die partielle Diffe- rentialgleichung (2) des vorigen Paragraphen vereinfacht sich zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung.

 Es ist

(1)	$s^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\$

und

(2)	$V=F(s).\,$

 Daraus findet man durch Differentiation

${\frac {\partial V}{\partial x}}={\frac {dV}{ds}}\cdot {\frac {\partial s}{\partial x}}$

und

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}={\frac {d^{2}V}{ds^{2}}}\left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {dV}{ds}}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}.\,$

 Berechnet man in derselben Weise ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}$ und ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$, so ergibt sich durch Addition

(3)

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ $={\frac {d^{2}V}{ds^{2}}}\left\lbrace \left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial z}}\right)^{2}\right\rbrace$ $+{\frac {dV}{ds}}\left\lbrace {\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}s}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}s}{\partial z^{2}}}\right\rbrace .$

 Die partiellen Derivirten von $s\,$ sind aus der Gleichung (1) herzuleiten. Man erhält

$s{\frac {\partial s}{\partial x}}=x,\quad \left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right)^{2}+s{\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}=1,$ $s{\frac {\partial s}{\partial y}}=y,\quad \left({\frac {\partial s}{\partial y}}\right)^{2}+s{\frac {\partial ^{2}s}{\partial y^{2}}}=1,$ $s{\frac {\partial s}{\partial z}}=z,\quad \left({\frac {\partial s}{\partial z}}\right)^{2}+s{\frac {\partial ^{2}s}{\partial z^{2}}}=1.$

 Hiernach ergibt sich ohne weiteres

$\left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial z}}\right)^{2}=1,$ ${\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}s}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}s}{\partial z^{2}}}={\frac {2}{s}}.\,$

 Setzt man diese Werthe in die Gleichung (3) ein, so geht sie über in folgende

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}={\frac {d^{2}V}{ds^{2}}}+{\frac {2}{s}}{\frac {dV}{ds}}.$

 Die Gleichung von Laplace lautet demnach hier

(4)	${\frac {d^{2}V}{ds^{2}}}+{\frac {2}{s}}{\frac {dV}{ds}}=0.\,$

 Dividirt man auf beiden Seiten dieser Differentialgleichung durch ${\frac {dV}{ds}}$, so lässt eine Integration sich ausführen. Sie ergibt

$\lg {\frac {dV}{ds}}+2\lg s=\lg {\text{const.}}\,$

oder, was auf dasselbe hinauskommt:

(5)	${\frac {dV}{ds}}={\frac {\text{const.}}{s^{2}}}=-{\frac {\alpha }{s^{2}}}.$

Dabei ist mit $-\alpha \,$ die willkürliche Integrationsconstante bezeichnet. Die Gleichung (5) lässt sich unmittelbar weiter integriren. Man erhält

(6 )	$V={\frac {\alpha }{s}}+\beta ,$

wobei unter $\beta \,$ eine neue Integrationsconstante verstanden ist.

 Die Gleichung (6), welche zwei willkürliche Constanten $\alpha \,$ und $\beta \,$ enthält, ist das vollständige Integral der Differentialgleichung (4). Es kommt nur noch darauf an, den Grössen $\alpha \,$ und $\beta \,$ solche Werthe beizulegen, wie das vorliegende Problem sie erfordert. Dabei ist zu unterscheiden, ob die angezogene Masseneinheit in einem Punkte des inneren Hohlraumes sich befindet, oder in dem von anziehender Masse nicht erfüllten Raume ausserhalb.

 Die Begrenzungsflächen der anziehenden Masse seien ausgedrückt durch die Gleichungen

$s=p\,$ und resp. $s=q\,$,

und es sei $q>p\,$.

 Erstens. Die angezogene Masseneinheit befinde sich in einem Punkte des inneren Hohlraumes, also in einem Punkte, für welchen $s<p\,$ ist. In diesem Falle berechnen wir zunächst direct die Anziehung, welche die Masseneinheit im Anfangspunkte der Coordinaten erfährt. Zu dem Zwecke denken wir uns die Kugelschale, welche die anziehende Masse enthält, in unendlich dünne Elementarschalen zerlegt. Eine solche, deren Begrenzungsflächen die Radien $s\,$ und $s+ds\,$ haben, kann als ein Cylinder mit der kugel- förmigen Basis $4s^{2}\pi \,$ und der Höhe $ds\,$ angesehen werden. Ihre Masse ist also

$4\rho \pi s^{2}ds.\,$

Dividirt man durch $s\,$, so ergibt sich die Potentialfunction der Elementarschale auf den Anfangspunkt der Coordinaten. Um die Potentialfunction der gesammten anziehenden Masse zu erhalten, hat man in Beziehung auf $s\,$ zwischen den Grenzen $p\,$ und $q\,$ zu integriren. Diese ist demnach

(7)	$V_{0}=4\pi \int \limits _{p}^{q}\rho sds.\,$

Das Integral hat einen endlichen Werth, wenn die Dichtigkeit, wie wir voraussetzen, an keiner Stelle unendlich gross ist.

 Soll auf der anderen Seite $V_{0}\,$ aus dem vollständigen Integral (6) berechnet werden, so hat man dort $s=0\,$ zu setzen. Dadurch würde aber $V_{0}\,$ unendlich gross werden, wenn nicht in (6) die Constante $\alpha =0\,$ gesetzt wird. Und da, wie bewiesen, $V_{0}\,$ nicht unendlich gross ist, so muss $\alpha =0\,$ sein. Hierdurch geht die Gleichung (6) über in

(8)	$V=\beta .\,$

Die Potentialfunction auf einen Punkt im inneren Hohlraume ist also constant, und da ihr Werth für den Anfangspunkt bereits berechnet ist, so hat man überhaupt für jeden Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ im inneren Hohlraume

(9)	$V=4\pi \int \limits _{p}^{q}\rho sds.$

 Ist die Dichtigkeit $\rho \,$ constant, so ergibt sich speciell

(10)	$V=2\pi \rho (q^{2}-p^{2}).\,$

 Die Derivirten von $V\,$ sind gleich Null. Die Kugelschale übt also auf einen Punkt im inneren Hohlraume gar keine Anziehung aus.

 Zweitens. Die angezogene Masseneinheit befinde sich in einem Punkte des äusseren Raumes, d. h. in einem Punkte, für welchen $s>q\,$ ist.

 In diesem Falle ist der Werth leicht zu bestimmen, den $V\,$ annimmt für $s=\infty$. Wenn nemlich wie hier kein Theil der an- ziehenden Masse in unendlicher Entfernung liegt, so ergibt sich unmittelbar aus der Definition [§. 2, Gleichung (5)], dass $V=0\,$ ist für $s=\infty$. Folglich ist jetzt $\beta =0\,$. Um $\alpha \,$ zu bestimmen, stellen wir folgende Betrachtung an.

 Der angezogene Punkt, welcher vom Anfangspunkte der Coordinaten um die Strecke $s\,$ entfernt ist, hat von den einzelnen Punkten der Kugelschale verschiedene Abstände. Der grösste Abstand ist $s+q\,$, der kleinste $s-q\,$. Man hat also die doppelte Ungleichung

${\frac {1}{s-q}}>{\frac {1}{r}}>{\frac {1}{s+q}}.\,$

Wir multipliciren an allen drei Stellen mit $\rho \;da\;db\;dc$ und integriren über die gesammte anziehende Masse. An der mittleren Stelle ist das Resultat $=V\,$. An den beiden äusseren Stellen kann man die Nenner $s-q\,$ und $s+q\,$, die bei der Integration constant bleiben, vor das Integralzeichen nehmen. Beachtet man also, dass

$\iiint \rho \;da\;db\;dc=M,$

d. h. gleich der gesammten anziehenden Masse ist, so ergibt sich

${\frac {M}{s-q}}>V>{\frac {M}{s+q}}.\,$

Nun ist aber $V={\frac {\alpha }{s}}$, folglich

${\frac {M}{1-{\frac {q}{s}}}}>{\frac {\alpha }{M}}>{\frac {M}{1+{\frac {q}{s}}}}.$

Diese Ungleichung gilt für jedes $s\,$, das grösser als $q\,$ ist, also auch für $s=\infty$. Sie geht aber für $s=\infty$ über in die Gleichung

${\frac {\alpha }{M}}=1.\,$

Folglich ist die Potentialfunction der Kugelschale von der Masse $M\,$ in Beziehung auf einen Punkt im äusseren Raume

(11)	$V={\frac {M}{s}}.$

 In der Richtung des Radius vector wirkt die Kraft

$-{\frac {M}{s^{2}}},$

und in jeder Richtung, die zum Radius vector rechtwinklig liegt $(s=\mathrm {const} .)\,$, ist die Componente gleich Null.

 Demnach fällt die gesammte Kraft, welche die Kugelschale auf einen Punkt im äusseren Raume ausübt, in die Richtung des Radius vector, und da sie negativ ist, in die Richtung des abnehmenden Radius vector. Es ist also eine anziehende Kraft, und zwar dieselbe, die sich ergeben würde, wenn die gesammte anziehende Masse in dem Mittelpunkte der die Schale begrenzenden Kugelflächen concentrirt wäre.

 Die Gleichung (11) behält für einen Punkt im äusseren Raume ihre Gültigkeit auch für $p=0\,$, d. h. wenn die anziehende Masse eine volle Kugel ist.

§. 5. Anziehung einer homogenen Kugel.

 Die im vorigen Paragraphen gewonnenen Resultate können dazu dienen, bei constanter Dichtigkeit die Anziehung zu berechnen, welche eine kugelförmige Masse auf einen Punkt im Innern derselben ausübt. Man hat nur zu bemerken, dass die Gleichung (10) für den angezogenen Punkt im inneren Hohlraume und die Gleichung (11) für den angezogenen Punkt im äusseren Raume gültig ist, wie nahe derselbe auch der Begrenzungsfläche der anziehenden Masse liegen möge. Die Gleichungen gelten also selbst dann noch, wenn der angezogene Punkt der Begrenzungsfläche unendlich nahe, oder mit anderen Worten, wenn er auf der Begrenzungsfläche liegt.

 Die Oberfläche der anziehenden kugelförmigen Masse habe den Radius $q\,$, der angezogene Punkt sei vom Mittelpunkte der Kugel um die Strecke $s\,$ entfernt, und $s\,$ sei kleiner als $q\,$.

 Dann zerlegen wir die anziehende Masse in zwei Theile, nemlich eine mit der Gesammtmasse concentrische Kugel vom Radius $s\,$ und die Schale, durch welche diese Kugel zu der Gesammtmasse ergänzt wird. Für die Kugel vom Radius $s\,$ ist der angezogene Punkt im äusseren Raume gelegen, speciell auf der Begrenzungsfläche. Die Potentialfunction ist also nach §. 4, Gleichung (11) zu berechnen. Die Masse $M\,$ ist hier $={\frac {4}{3}}\pi \rho s^{3}\,$, folglich die Potentialfunction

${\frac {4}{3}}\pi \rho s^{2}.\,$

Für die Kugelschale liegt der angezogene Punkt im inneren Hohlraume, speciell auf der inneren Begrenzung. Folglich ist die Potentialfunction nach §. 4, Gleichung (10) zu berechnen und $s\,$ an die Stelle von $p\,$ zu schreiben.

 Die Potentialfunction der gesammten anziehenden Kugel vom Radius $q\,$ auf einen inneren Punkt $(s<q)\,$ ist also

$V={\frac {4}{3}}\pi \rho s^{2}+2\pi \rho (q^{2}-s^{2})\,$

oder kürzer

(1)	$V=2\pi \rho q^{2}-{\frac {2}{3}}\pi \rho s^{2}.\,$

 Dagegen ist die Potentialfunction derselben kugelförmigen Masse auf einen äusseren Punkt $(s>q)\,$

(2)	$V={\frac {4\pi \;\rho \;q^{3}}{3s}},\,$

wie sich unmittelbar aus §. 4, Gleichung (11) ergibt. Der Ausdruck für $V\,$ ist also durchaus verschieden, je nachdem der angezogene Punkt innerhalb oder ausserhalb der anziehenden Kugel liegt. Ebenso weichen auch die Ausdrücke für die ersten Derivirten ab. Denn es ist für $s<q\,$:

(3)

${\frac {\partial \;V}{\partial x}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;s{\frac {\partial s}{\partial x}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;x,$ ${\frac {\partial \;V}{\partial y}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;s{\frac {\partial s}{\partial y}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;y,$ ${\frac {\partial \;V}{\partial z}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;s{\frac {\partial s}{\partial z}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;z.$

 Dagegen hat man für $s<q\,$:

(4)	${\frac {\partial \;V}{\partial x}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;\;q^{3}{\frac {x}{s^{3}}},$ ${\frac {\partial \;V}{\partial y}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;\;q^{3}{\frac {y}{s^{3}}},$ ${\frac {\partial \;V}{\partial z}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;\;q^{3}{\frac {z}{s^{3}}}.$

 Es ist nicht überflüssig zu bemerken, dass für $s=q\,$ die beiden Ausdrücke für $V\,$ in (1) und (2) denselben Werth geben, und ebenso die Ausdrücke für die gleichnamigen Derivirten in (3) und in (4). Obgleich also die Function $V\,$ durch zwei ganz verschiedene analytische Ausdrücke dargestellt wird, je nachdem der Punkt $(x,\,y,\,z)$ innerhalb oder ausserhalb der anziehenden Masse liegt, so hat sie doch überall einen endlichen Werth, der sich stetig ändert, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ sich stetig bewegt, auch dann noch, wenn er durch die Oberfläche der anziehenden Masse hindurchgeht. Dasselbe gilt von den ersten Derivirten ${\frac {\partial \;V}{\partial x}},{\frac {\partial \;V}{\partial y}},{\frac {\partial \;V}{\partial z}}$. Es gilt aber nicht von den zweiten Derivirten. Man erhält nemlich für $s<q\,$.

(5)

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho ,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y\;\partial z}}=0,$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho ,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z\;\partial x}}=0,$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho ,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x\;\partial y}}=0.$

 Dagegen ergibt sich für $s>q\,$:

(6)

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho q^{3}\left({\frac {1}{s^{3}}}-{\frac {3x^{2}}{s^{5}}}\right),{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y\;\partial z}}=4\pi \rho q^{3}{\frac {yz}{s^{5}}},$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho q^{3}\left({\frac {1}{s^{3}}}-{\frac {3y^{2}}{s^{5}}}\right),{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z\;\partial x}}=4\pi \rho q^{3}{\frac {zx}{s^{5}}},$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho q^{3}\left({\frac {1}{s^{3}}}-{\frac {3z^{2}}{s^{5}}}\right),{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y\;\partial z}}=4\pi \rho q^{3}{\frac {xy}{s^{5}}},$

 Hier geben auch für $s=q\,$ die Ausdrücke der gleichnamigen Derivirten in (5) und in (6) nicht dieselben Werthe. Die zweiten Derivirten von $V\,$ ändern sich also sprungweise, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ durch die Oberfläche der anziehenden Masse hindurchgeht.

 Zu bemerken ist noch, dass für $s>q\,$ sich ergibt

(7)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.\,$

Dies ist die Gleichung von Laplace, die wir für einen Punkt ausserhalb der anziehenden Masse bereits allgemein bewiesen haben.

 Für $s<q\,$, d. h. wenn der angezogene Punkt innerhalb der anziehenden Kugel liegt, erhalten wir

(8)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-4\pi \rho .\,$

 Diese Gleichung ist hier vorläufig nur für einen Specialfall bewiesen. Der allgemeine Fall soll ausführlich behandelt werden.

§. 6. Die Function $V\,$ und ihre ersten Derivirten für einen inneren Punkt.

 Wir kehren zu der allgemeinen Untersuchung der Potentialfunction zurück. Der angezogene Punkt soll im Innern der anziehenden Masse liegen, die über einen körperlichen Raum stetig vertheilt ist. Das Integral

(1)	$V=\iiint {\frac {\rho \;da\;db\;dc}{r}},$

welches in §. 2, Gleichung (5) als Definition der Potentialfunction aufgestellt ist, enthält dann ein Element, für welches ${\frac {1}{r}}\,$ unendlich gross ist. Es fragt sich, ob dabei das Integral einen endlichen Werth behält oder nicht. Um diese Frage zu untersuchen, führen

Fig. 3.

wir Kugel-Coordinaten ein. Der Punkt $(x,\,y,\,z)$ werde zum Mittelpunkt (Fig. 3) einer Kugelfläche vom Radius 1 gemacht. Auf ihr nehmen wir als Pol den Endpunkt desjenigen Radius, welcher parallel zur positiven $z\,$Axe läuft. Halbe grösste Kreise, welche vom Pol aus nach dem diametral gegenüberliegenden Gegenpol gezogen sind, sollen Meridiane genannt werden. Als Anfangsmeridian wählen wir denjenigen, auf welchem der Endpunkt des zur positiven $x\,$Axe

parallelen Radius liegt. Die vom Punkte $(x,\;y,\;z)\,$ nach dem Punkte $(a,\;b,\;c)\,$ gezogene gerade Linie $r\,$ schneidet die Kugel in einem Punkte, welcher durch seine Poldistanz $\theta \,$ und seine geographische Länge $\varphi \,$ eindeutig festgelegt wird. Die Poldistanz des Punktes ist sein sphärischer Abstand vom Pol. Seine geographische Länge ist der sphärische Winkel, welchen sein Meridian mit dem Anfangsmeridian einschliesst. Irgend ein Punkt im Innern der anziehenden Masse wird dann einerseits durch seine rechtwinkligen Coordinaten $a,\;b,\;c$, andererseits durch seine Kugel-Coordinaten $r,\;\varphi ,\;\theta$ festgelegt. Zur Transformation der Coordinaten dienen die Gleichungen

(2)	$a=x+r\sin \theta \cos \varphi ,\,$ $b=y+r\sin \theta \sin \varphi ,\,$ $c=z+r\cos \theta .\,$

Auf der Kugel vom Radius 1 wählen wir vier Punkte mit den sphärischen Coordinaten

$(\theta ,\varphi ),\;(\theta +d\theta ,\varphi ),\;(\theta +d\theta ,\varphi +d\varphi ),\;(\theta ,\varphi +d\varphi )$

und ziehen durch sie vom Punkte $(x,\;y,\;z)$ aus vier Strahlen, welche die Kanten einer vierseitigen Ecke bilden. Aus dieser Ecke schneiden die um $(x,\;y,\;z)$ als Mittelpunkt mit den Radien $r\,$ und $r+dr\,$ gelegten Kugelflächen ein unendlich kleines Raumelement aus, dessen einer Eckpunkt im Punkte $(a,\;b,\;c)$ liegt. Die Masse dieses Raumelementes ist

$\rho \cdot dr\cdot r\;d\theta \cdot \sin \theta \;d\varphi .$

Man kann sich dieselbe im Punkte $(a,\;b,\;c)$ concentrirt denken. Sie liefert zu der Potentialfunction den Beitrag

(3)	${\frac {\rho \;r^{2}\;\sin \theta \;dr\ d\theta \;d\varphi }{r}}.$

Die Potentialfunction selbst wird hiernach

(4)	$V=\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{\pi }\sin \theta \;d\theta \int \limits _{0}^{R}\rho \;r\;dr.$

 Darin ist mit $R\,$ der Werth bezeichnet, welchen $r\,$ annimmt, wenn der Punkt $(a,\;b,\;c)\,$ in der Oberfläche der anziehenden Masse liegt. $R\,$ ist eine Function von $\theta \,$ und $\varphi \,$. Man erhält den Zusammenhang zwischen $R,\;\theta ,\;\varphi$, indem man in die Gleichung der Oberfläche statt $a,b,c\,$ die Variabeln $r,\;\varphi ,\;\theta$ einführt und $R\,$ für $r\,$ an die Stelle setzt.

 Aus (3) geht hervor, dass man zu der Potentialfunction den Beitrag Null erhält, wenn man den anziehenden Punkt $(a,\,b,\,c)$ mit dem angezogenen Punkte zusammenfallen lässt. Damit ist bewiesen, dass $V\,$ auch dann eine endliche Function von $x,\,y,\,z$ ist, wenn der angezogene Punkt im Innern der anziehenden Masse liegt.

 Ebenso lässt sich zeigen, dass unter derselben Voraussetzung die Ausdrücke für die Componenten der auf den Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausgeübten Anziehung bestimmte endliche Werthe geben. Es sind dies die Ausdrücke (4) des §. 2. Sie gehen durch Einführung von Kugel-Coordinaten über in

(5)

$x=\int \limits _{0}^{2\pi }\cos \varphi \;d\varphi \ \int \limits _{0}^{\pi }\sin \theta ^{2}\;d\theta \ \int \limits _{0}^{R}\rho \;dr,$ $y=\int \limits _{0}^{2\pi }\sin \varphi \ d\varphi \;\int \limits _{0}^{\pi }\sin \theta ^{2}\;d\theta \ \int \limits _{0}^{R}\rho \;dr,$ $z=\int \limits _{0}^{2\pi }\ d\varphi \ \int \limits _{0}^{\pi }\cos \theta \;\sin \theta \;d\theta \ \int \limits _{0}^{R}\rho \;dr.$

 Auch hier erhält man zu den Integralen einen unendlich kleinen Beitrag, wenn der anziehende Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ mit dem angezogenen Punkte zusammenfällt. Sämmtliche Elemente in den Integralen (5) sind unendlich klein von der dritten Ordnung, auch diejenigen, welche von Massenelementen herrühren, die dem Punkte $(x,\,y,\,z)\,$ unendlich nahe liegen. Daher haben die Integrale bestimmte, endliche Werthe, und die durch sie ausgedrückten Componenten $X,\;Y,\;Z$ sind endliche Functionen von $x,\;y,\;z$, auch wenn der angezogene Punkt im Innern der anziehenden Masse sich befindet.

 Die Transformation der Coordinaten, welche die Gleichungen (4) und (5) liefert, ist auch dann noch zulässig und führt zu denselben Resultaten, wenn der angezogene Punkt in der Oberfläche des mit Masse erfüllten Körpers liegt. Nur ist zu beachten, dass in diesem Falle das Integrationsgebiet in Beziehung auf $\theta \,$ und $\varphi \,$ sich einschränkt, weil nicht für alle Werthe von $\theta \,$ und $\varphi \,$ die obere Grenze $R\,$ von Null verschieden ist.

 Damit ist bewiesen, dass die Integrale in den Gleichungen (4) und (5) des §. 2 je einen bestimmten, endlichen Werth liefern, wo auch der Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ liegen möge. Die Ausdrücke (4) des §. 2 sind aber die partiellen Differentialquotienten von $\,V$, so lange die unter dem Integralzeichen vorgenommene Differentiation bestimmte, eindeutige Resultate liefert. Da dies, wie jetzt bewiesen, unter allen Umständen der Fall ist, so gelten die Gleichungen (3) des §. 2 ganz allgemein, der angezogene Punkt mag ausserhalb oder innerhalb des anziehenden Körpers oder in seiner Oberfläche liegen.

 Will man die zweiten partiellen Derivirten ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}},\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ dadurch herleiten, dass man in den Ausdrücken [§. 2, (4)] für $X,\,Y,\,Z\,$ die Differentiation unter dem Integralzeichen ausführt, so haben die Resultate nur dann eine bestimmte, klare Bedeutung, wenn der angezogene Punkt ausserhalb des anziehenden Körpers liegt. Denn diese Resultate sind ausgesprochen in den Gleichungen (1) des §. 3. Sie gehen durch Einführung der Kugel-Coordinaten in folgende über

(6)

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=\iiint \rho \,\sin \,\theta \,d\varphi \,d\theta \,dr\left\lbrace {\frac {-1+3\sin \,\theta ^{2}\cos \,\varphi ^{2}}{r}}\right\rbrace ,$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}=\iiint \rho \,\sin \,\theta \,d\varphi \,d\theta \,dr\left\lbrace {\frac {-1+3\sin \,\theta ^{2}\sin \,\varphi ^{2}}{r}}\right\rbrace ,$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=\iiint \rho \,\sin \,\theta \,d\varphi \,d\theta \,dr\left\lbrace {\frac {-1+3\cos \,\theta ^{2}}{r}}\right\rbrace .$

 Die Integration ist zuerst nach $r\,$ auszuführen. Liegt der Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern des anziehenden Körpers oder in seiner Oberfläche, so ist die untere Integrationsgrenze gleich Null. An ihr wird die Function unter dem Integral unendlich gross, und das Integral selbst wird unendlich wie $\lg r\,$ für $r=0\,$.

 Schliessen wir um den Punkt $(x,\,y,\,z)$ herum von dem Gebiete der Integration einen beliebig kleinen Raum aus, dessen Oberfläche den Radius vector $\varepsilon \,$ hat, so bleibt das Integral

(7)	$\int \limits _{\varepsilon }^{R}\rho {\frac {dr}{r}}\,$

vollständig unbestimmt, weil die Oberfläche des ausgeschlossenen Raumes ganz beliebig gewählt werden kann, oder - was dasselbe sagt - in der Gleichung dieser Oberfläche

$\varepsilon =f(\theta ,\varphi )\,$

die Function $f\,$ völlig willkürlich ist. Bezeichnet man mit $\rho _{1}\,$ den grössten, mit $\rho _{2}\,$ den kleinsten Werth, welchen die Dichtigkeit $\rho \,$ überhaupt annimmt, so findet sich

$\rho _{1}(\lg R-\lg \varepsilon )>\int \limits _{\varepsilon }^{R}\rho {\frac {dr}{r}}>\rho _{2}(\lg R-\lg \varepsilon ).$

Der zu grosse und der zu kleine Werth sind unbestimmt, so lange $\varepsilon \,$ endlich bleibt. Fragt man aber nach dem Grenzwerthe für ein unendlich abnehmendes $\varepsilon \,$, so kann von einem solchen nicht die Rede sein, weil $\lim \lg \varepsilon =-\infty$ ist für $\lim \varepsilon =0.\,$

 Die Integrale in (6) haben also gar keine Bedeutung, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern der anziehenden Masse liegt.

 Wollte man in (4) und (5) bei der Integration nach $r\,$ zunächst $\varepsilon \,$ als untere Grenze nehmen, so fände sich

${\frac {1}{2}}\rho _{1}(R^{2}-\varepsilon ^{2})>\int \limits _{\varepsilon }^{R}\rho \,r\,dr>{\frac {1}{2}}\rho _{2}(R^{2}-\varepsilon ^{2})$

und ferner

$\rho _{1}(R-\varepsilon )>\int \limits _{\varepsilon }^{R}\rho \,dr>\rho _{2}(R-\varepsilon ).$

 Auch hier sind die zu grossen und die zu kleinen Werthe unbestimmt, so lange $\varepsilon \,$ endlich bleibt. Diese Unbestimmtheit fällt aber bei unendlich abnehmendem $\varepsilon \,$ weg, weil das von $\varepsilon \,$ Abhängige den Grenzwerth Null hat.

 Um die zweiten Derivirten von $V\,$ auch für den Fall zu ermitteln, dass der angezogene Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern der anziehenden Masse liegt, wollen wir zunächst die Ausdrücke für ${\frac {\partial V}{\partial x}},{\frac {\partial V}{\partial y}},{\frac {\partial V}{\partial z}}$ transformiren und erst nachher die neue Differentiation vornehmen.

§. 7. Transformation von ${\frac {\partial V}{\partial x}},{\frac {\partial V}{\partial y}},{\frac {\partial V}{\partial z}}$.

 Der Ausdruck für ${\frac {\partial V}{\partial x}}\,$ lautet:

${\frac {\partial V}{\partial x}}=\iiint {\frac {a-x}{r^{3}}}\rho \,da\,db\,dc.$

Nun ist aber, wie man leicht sieht:

${\frac {a-x}{r^{3}}}={\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x}}=-{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial a}}.$

 Folglich kann man schreiben

(1)	${\frac {\partial V}{\partial x}}=\iiint \rho {\frac {\partial \left(-{\frac {1}{r}}\right)}{\partial a}}\,da\,db\,dc.$

 Die dreifache Integration ist über den ganzen mit anziehender Masse erfüllten Raum auszudehnen. Wir bemerken darüber das Folgende. Das Coordinatensystem sei so gelegt, dass für jeden Punkt im Innern und in der Oberfläche der anziehenden Masse die Coordinaten $a,\,b,\,c\,$ positiv sind. Nöthigenfalls lässt sich dies durch parallele Verschiebung der Coordinaten-Ebenen erreichen. In der $yz\,$Ebene zeichnen wir ein unendlich kleines Rechteck, dessen Seiten von der Länge $db\,$ und resp. $dc\,$ den Axen der $y\,$ und resp. der $z\,$ parallel laufen. Der dem Anfangspunkt zunächst gelegene Eckpunkt habe die Coordinaten $0,\,b,\,c$. Ueber diesem Rechteck als Basis soll ein gerades Prisma errichtet werden, dessen Seitenkanten parallel zur Axe der $x\,$ laufen. Die Lage des Punktes $(0,\,b,\,c)$ wird so gewählt, dass dieses Prisma den mit Masse erfüllten Raum durchdringt. Wir bezeichnen mit $a_{1}\,$ und resp. $a_{2}\,$ die auf der $x\,$Axe gezählten Coordinaten der Eintritts- und der Austrittsstelle. Tritt das Prisma öfter ein und aus, so sollen $a_{1},a_{3},....a_{2n-1}\,$ die Abscissen der Eintrittsstellen, $a_{2},a_{4},....a_{2n}\,$ die Abscissen der Austrittsstellen sein, und zwar so, dass

$0<a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{2n-1}<a_{2n}.\,$

Die Bestandtheile des Elementarprisma, welche innerhalb der anziehenden Masse liegen, zerschneiden wir in unendlich viele gerade Parallelepipeda, jedes vom Inhalte $da\,db\,dc\,$. Der Inhalt eines solchen Parallelepipedon werde multiplicirt mit dem Werthe, welchen die Function $\rho {\frac {\partial \left(-{\frac {1}{r}}\right)}{\partial a}}$ in seinem einen Eckpunkte $(a,b,c)\,$ hat.

Das Product

$\rho {\frac {\partial \left(-{\frac {1}{r}}\right)}{\partial a}}da\,db\,dc$

ist das Element des Integrals. Die Integration nach $a\,$ wird ausgeführt, indem man dieses Product fur alle parallelepipedischen Bestandtheile des Elementarprisma bildet, welche innerhalb der anziehenden Masse liegen, und sämmtliche Producte addirt. Die Integration nach $b\,$ und nach $c\,$ besteht darin, dass man die eben besprochene Summe von Producten für alle Elementarprismen herstellt, welche die anziehende Masse überhaupt treffen, und alle diese Summen wiederum durch Addition verbindet.

 Wir wollen zunächst die Integration nach $a\,$ ausführen. Das unbestimmte Integral

$\int \rho {\frac {\partial \left(-{\frac {1}{r}}\right)}{\partial a}}da.$

lässt sich umformen durch Integration nach Theilen, nemlich

(2)	$\int \rho {\frac {\partial \left(-{\frac {1}{r}}\right)}{\partial a}}da\ =-{\frac {\rho }{r}}+\int {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial a}}da$

Diese Formel ist zur Umgestaltung des bestimmten Integrals leicht zu benutzen, wenn die Function ${\frac {\rho }{r}}$ innerhalb der Integrationsgrenzen überall endlich und stetig ist. Die Integrale auf der linken und auf der rechten Seite der Gleichung (2) sind dann zwischen denselben Grenzen zu nehmen und von dem freien Gliede $-{\frac {\rho }{r}}$ hat man die Summe aller Werthe an den oberen Grenzen der Integration zu vermindern um die Summe aller Werthe an den unteren Grenzen. Wir bezeichnen die Werthe von $\rho \,$ und $r\,$ an den Grenzen der Reihe nach durch Anhängung der betreffenden Indices. Für die Integration nach $b\,$ und nach $c\,$ erhält man demnach das Element

$db\;dc\left\lbrace {\frac {\rho _{1}}{r_{1}}}-{\frac {\rho _{2}}{r_{2}}}+{\frac {\rho _{3}}{r_{3}}}-+\ldots -{\frac {\rho _{2n}}{r_{2n}}}\right\rbrace +db\;dc\int {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial a}}da.$

Das Integral $\int {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial a}}da$ ist über alle die Theile des Elementarprisma zu erstrecken, welche innerhalb der anziehenden Masse liegen. Wir bezeichnen nun mit $d\sigma _{1},\;d\sigma _{2},\ldots d\sigma _{2n}$ die unendlich kleinen Flächenstücke, welche das Elementarprisma aus der Oberfläche des mit Masse erfüllten Raumes bei seinem Ein- und Austritt herausschneidet und mit $\alpha _{1},\;\alpha _{2},\ldots \alpha _{2n}$ die Winkel, welche die nach dem Innern dieses Raumes zu auf $d\sigma _{1},\;d\sigma _{2},\ldots d\sigma _{2n}$ errichteten Normalen mit der Axe der positiven $x\,$ einschliessen.

Fig. 4.

Es ist zu bemerken, dass die Cosinus dieser Winkel an den Eintrittsstellen positiv, an den Austrittsstellen negativ sind. (Fig. 4.) Demnach findet sich

$db\;dc=\cos \alpha _{1}\,d\sigma _{1}=\cos \alpha _{3}\,d\sigma _{3}=\ldots =\cos \alpha _{2n-1}\,d\sigma _{2n-1}$ $=-\cos \alpha _{2}\,d\sigma _{2}=\cos \alpha _{4}\,d\sigma _{4}=\ldots =\cos \alpha _{2n}\,d\sigma _{2n},$

und das Element der Integration nach $b\,$ und nach $c\,$ lautet jetzt

$\sum {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \;d\sigma +db\;dc\int {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial a}}.$

Die Summe $\sum {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \;d\sigma$ bezieht sich auf alle die Stellen, an denen das Elementarprisma in den anziehenden Körper ein- und aus ihm austritt. Führt man nun die Integration nach $b\,$ und nach $c\,$ aus, so ergibt sich

(3)	${\frac {\partial V}{\partial x}}=\int {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \;d\sigma +\iiint {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial a}}da\;db\;dc.$

Das dreifache Integral auf der rechten Seite ist über den ganzen mit Masse erfüllten Raum, das Integral $\int {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \;d\sigma$ über seine gesammte Oberfläche zu erstrecken.

 Die vorgenommene Transformation ist nur dann zulässig, wenn die Function ${\frac {\rho }{r}}$ innerhalb des mit anziehender Masse erfüllten Raumes an keiner Stelle unstetig wird. Findet an einzelnen Stellen eine Aenderung sprungweise statt, so hat man von dem Integrationsgebiete zunächst solche Raumtheile auszuschliessen, welche die Unstetigkeitsstellen völlig in sich enthalten. Dann wird man das Integral (1) auf die ausgeschlossenen Raumtheile nicht mit erstrecken und darf deshalb die Transformation vornehmen. Nachher ist die Frage zu beantworten, welchem Grenzwerthe das Resultat der Transformation sich annähert, wenn man die Oberflächen der ausgeschlossenen Gebiete den Unstetigkeitsstellen unendlich nahe rückt.

§. 8. Fortsetzung.

 Wir haben bis jetzt vorausgesetzt, dass die Dichtigkeit $\rho \,$ des anziehenden Körpers eine endliche und stetige Function des Ortes sei. Diese Voraussetzung soll jetzt noch beibehalten werden. Liegt der angezogene Punkt ausserhalb der anziehenden Masse, so ist ${\frac {\rho }{r}}$ für jeden Punkt $(a,\,b,\,c)$ in ihrem Innern endlich und stetig, und daher kann man die Transformation des vorigen Paragraphen ohne weiteres vornehmen.

 Wenn aber der angezogene Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern der anziehenden Masse liegt, so wird die Function ${\frac {\rho }{r}}$ für ein Element der Integration unendlich gross. Deshalb machen wir den Punkt $(x,\,y,\,z)$ zum Mittelpunkte einer Kugelfläche vom Radius $\varepsilon \,$ und schliessen den von ihr begrenzten inneren Raum zunächst von der Integration aus. Dadurch wird die Transformation des vorigen Paragraphen zulässig und man erhält

(1)	$\iiint \rho {\frac {\partial \left(-{\frac {1}{r}}\right)}{\partial a}}da\;db\;dc=\int {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \,d\sigma +\iiint {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial a}}da\;db\;dc.$

Die dreifachen Integrationen erstrecken sich auf den anziehenden Körper mit Ausnahme der den Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ enthaltenden Kugel. Das Integral $\int {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \;d\sigma$ ist auszudehnen über die Oberfläche der anziehenden Masse und über die Oberfläche des ausgeschlossenen kugelförmigen Gebietes. Bezeichnen wir mit $\rho _{1}\,$ den grössten Werth von $\rho \,$ auf dieser Kugelfläche und beachten, dass $\cos \alpha \!$ in den äussersten Fällen $=\pm 1$ sein kann, so findet sich, dass der von der Kugel herrührende Beitrag zu dem Oberflächen-Integral einen Werth hat, der absolut genommen kleiner ist als

$\rho _{1}\int {\frac {d\sigma }{r}},$

d. h. kleiner als

${\frac {\rho _{1}}{\varepsilon }}\int d\sigma ,$

oder, was dasselbe sagt, kleiner als

$4\pi \,\rho _{1}\varepsilon .\,$

Folglich wird dieser Beitrag zu Null für $\varepsilon =0$. Nun behalten aber die dreifachen Integrale in (1) bestimmte, endliche Werthe, wenn man den Radius $\varepsilon$ der ausgeschlossenen Kugel zu Null macht. Von dem Integrale links ist dies in §. 6 bewiesen. Für das Integral rechts ergibt sich der Beweis auf demselben Wege, wenn man beachtet, dass ${\frac {\partial \rho }{\partial a}}$ im Innern des Integrationsgebietes überall endlich ist. Folglich gilt die Gleichung (1) auch dann noch, wenn man die dreifachen Integrale über den ganzen anziehenden Körper erstreckt und das Integral $\int {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \,d\sigma$ über seine Oberfläche. D. h. die Gleichung (3) des vorigen Paragraphen bleibt gültig, wenn der angezogene Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern der anziehenden Masse liegt. Auf entsprechende Weise kann man auch die Ausdrücke für ${\frac {\partial V}{\partial y}}$ und ${\frac {\partial V}{\partial z}}$ transformiren. Bezeichnen $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma \,$ die drei Winkel, welche die auf dem Oberflächen-Element $d\sigma \,$ des anziehenden Körpers nach seinem Innern zu errichtete Normale mit den positiven Coordinatenaxen einschliesst, so lauten die Resultate der Transformation:

(2)

${\frac {\partial V}{\partial x}}=\int {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \;d\sigma +\iiint {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial a}}da\;db\;dc,$ ${\frac {\partial V}{\partial y}}=\int {\frac {\rho }{r}}\cos \beta \;d\sigma +\iiint {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial b}}da\;db\;dc,$ ${\frac {\partial V}{\partial z}}=\int {\frac {\rho }{r}}\cos \gamma \;d\sigma +\iiint {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial c}}da\;db\;dc.$

 Diese Gleichungen sind gültig, der angezogene Punkt mag ausserhalb oder innerhalb der anziehenden Masse liegen. Denn für beide Fälle ist die Zulässigkeit der Transformation nachgewiesen. Die einzige Bedingung, die erfüllt sein muss, besteht darin, dass die Dichtigkeit der anziehenden Masse im Innern des von ihr erfüllten Raumes eine stetige Function des Ortes sei.

§. 9. Die zweiten Derivirten von $V\,$ für einen inneren Punkt.

 Nun ist es leicht, die zweiten partiellen Derivirten ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}},{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ in einer Form herzustellen, die bestimmte endliche Werthe liefert, der angezogene Punkt mag ausserhalb oder innerhalb der anziehenden Masse liegen. Man erhält

(1)

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=\int {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x}}\rho \;\cos \alpha \;d\sigma +\iiint {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x}}{\frac {\partial \rho }{\partial a}}da\;db\;dc,$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}=\int {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial y}}\rho \;\cos \beta \;d\sigma +\iiint {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial y}}{\frac {\partial \rho }{\partial b}}da\;db\;dc,$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=\int {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial z}}\rho \;\cos \gamma \;d\sigma +\iiint {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial z}}{\frac {\partial \rho }{\partial c}}da\;db\;dc.$

Diese Ausdrücke gehen durch Differentiation aus den Gleichungen (2) des vorigen Paragraphen hervor. Auf der rechten Seite ist die Differentiation unter dem Integralzeichen vorgenommen. Das darf geschehen, weil die Integrale, die daraus hervorgehen, durchaus bestimmte, endliche Werthe besitzen. Bei den über die Oberfläche ausgedehnten Integralen auf der rechten Seite der Gleichungen (1) sind nemlich sämmtliche Elemente unendlich klein wie $d\sigma \,$, weil wir den angezogenen Punkt ausserhalb oder innerhalb der anziehenden Masse in endlicher, wenn auch noch so kleiner, Entfernung von der Oberfläche voraussetzen. Dass die sämmtlichen Elemente der dreifachen Integrale unendlich klein von dritter Ordnung sind, erkennt man ohne weiteres, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb der anziehenden Masse liegt. Für einen inneren Punkt beweist man es auf dem in §. 6 vorgezeichneten Wege.

 Legt man den Punkt $(x,\,y,\,z)$ in die Oberfläche des anziehenden Körpers, so behalten die Integrale, durch welche die Function $V\,$ und ihre ersten Derivirten ausgedrückt sind, bestimmte, endliche Werthe. Anders ist es aber mit den Integralen auf der rechten Seite der eben hergestellten Gleichungen (1). Die dreifachen Integrale haben zwar auch jetzt noch bestimmte, endliche Werthe. Aber die über die Oberfläche ausgedehnnten Integrale verlieren alle Bedeutung. Soll also von den Derivirten ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}},{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ die Rede sein für einen Punkt $(x,\,y,\,z)$ in der Oberfläche des anziehenden Körpers, so ist darüber noch eine besondere Untersuchung anzustellen.

 Die Transformation, welche zu den Gleichungen (2) des vorigen Paragraphen geführt hat und also auch für die Gleichungen (1) dieses Paragraphen die Grundlage bildet, ist nur dann zulässig, wenn die Dichtigkeit $\rho \,$ der anziehenden Masse eine durchweg stetige Function des Ortes ist. Es kann aber auch der Fall eintreten, dass der anziehende Körper aus einzelnen Bestandtheilen zusammengesetzt ist, so dass in jedem von ihnen die Dichtigkeit endlich und stetig variabel ist, aber beim Uebergange aus einem Bestandtheile in den andern sich sprungweise ändert. Die Trennungsflächen der einzelnen Bestandtheile sind dann Unstetigkeitsstellen der Dichtigkeit. Wir betrachten nun einen Punkt im Innern des anziehenden Körpers. Es ist zu unterscheiden, ob er in endlicher, wenn auch noch so kleiner, Entfernung von den Unstetigkeitsstellen sich befindet oder ob er in eine solche Stelle hineinfällt. Im ersten Falle kann man die anziehende Masse in zwei Bestandtheile zerlegen. Der erste Bestandtheil wird so gewählt, dass er den angezogenen Punkt $(x,\,y,\,z)$ in sich enthält, aber keine Unstetigkeits- stelle der Dichtigkeit, und dass der Punkt $(x,\,y,\,z)$ nicht in die Begrenzung dieses Bestandtheils fällt. Was nach Ausschluss des ersten Bestandtheils an Masse noch übrig ist, bildet den zweiten Bestandtheil. Er enthält alle Stellen, an denen die Dichtigkeit sich sprungweise ändert. Dem entsprechend zerfällt auch die Potentialfunction $V\,$ in zwei Bestandtheile

$V=V_{1}+V_{2},\,$

so dass $V_{1}\,$ nur von dem ersten, $V_{2}\,$ nur von dem zweiten Bestandtheile der anziehenden Masse herrührt. Für den ersten Bestandtheil der Masse ist die Zulässigkeits-Bedingung der Transformation erfüllt. Die Function $V_{1}\,$, ihre ersten und ihre zweiten Derivirten können also durch die Gleichung (4) des §. 6, die Gleichungen (2) des §. 8 und resp. die Gleichungen (1) des §. 9 ausgedrückt werden. Für den zweiten Bestandtheil der anziehenden Masse ist der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ein äusserer Punkt. Die Function $V_{2}\,$ und ihre Derivirten der ersten und der zweiten Ordnung werden demnach durch die Gleichungen (5) und (4) des §. 2 und resp. die Gleichungen (1) des §. 3 unzweideutig ausgedrückt. Folglich haben auch die Function $V\,$ und ihre partiellen Derivirten der ersten und der zweiten Ordnung bestimmte, angebbare, endliche Werthe fur jede Lage des inneren Punktes $(x,\,y,\,z)$, in welcher er in endlicher, wenn auch noch so kleiner, Entfernung von den Unstetigkeitsstellen der Dichtigkeit bleibt.

 Fällt aber der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in eine Unstetigkeitsstelle der Dichtigkeit, so behalten zwar die Function $V\,$ und ihre ersten Derivirten bestimmte, endliche Werthe. Aber die Ausdrücke für die zweiten Derivirten sind unbestimmt. Denn es ist in diesem Falle nicht möglich, um den Punkt herum einen Raum abzugrenzen, für welchen die Transformation des §. 8 zulässig wäre. Die Integrale auf der rechten Seite der Gleichungen (1) des §. 3 oder der Gleichungen (1) des §. 9 sind dann ohne alle Bedeutung.

 Handelt es sich also um die Werthe der zweiten Derivirten ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}},{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ für den Fall, dass der angezogene Punkt in eine Unstetigkeitsstelle der Dichtigkeit hineinfällt, so ist jedenfalls noch eine besondere Untersuchung anzustellen.

§. 10. Stetigkeit der Function $V\,$ und ihrer ersten Derivirten. Unterbrechungen in der Stetigkeit der zweiten Derivirten.

 Die Function $V\,$ und ihre ersten Derivirten ${\frac {\partial V}{\partial x}},\,{\frac {\partial V}{\partial y}},\,{\frac {\partial V}{\partial z}}$ werden durch Integrale ausgedrückt, die - wie bewiesen - je einen bestimmten endlichen Werth haben, wo auch der angezogene Punkt $(x,\,y,\,z)$ liegen möge. Dagegen ist von den Integralen, welche die zweiten Derivirten ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}},\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ ausdrücken, dieselbe Eigenschaft bis jetzt nur bewiesen, wenn der angezogene Punkt in endlicher, wenn auch noch so kleiner, Entfernung von der Oberfläche des anziehenden Körpers und von den Unstetigkeitsstellen der Dichtigkeit sich befindet. Daraus folgt, dass $V\,$ im ganzen unendlichen Raume eine stetig veränderliche Function von $x,\,y,\,z$ ist, und dass ${\frac {\partial V}{\partial x}},\,{\frac {\partial V}{\partial y}},\,{\frac {\partial V}{\partial z}}$ sich stetig ändern, so lange der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in endlicher, wenn auch noch so kleiner Entfernung von der Oberfläche des anziehenden Körpers und von den Unstetigkeitsstellen der Dichtigkeit bleibt. Wir wollen nun beweisen, dass die ersten Derivirten ${\frac {\partial V}{\partial x}},\,{\frac {\partial V}{\partial y}},\,{\frac {\partial V}{\partial z}}$ auch dann noch eine stetige Aenderung erleiden, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ durch die Oberfläche des anziehenden Körpers oder durch eine Unstetigkeitsstelle der Dichtigkeit hindurchgeht oder in ihnen verschoben wird. Der Beweis soll zunächst für ${\frac {\partial V}{\partial x}}$ geführt werden.

 Der Punkt $(x,\,y,\,z)$ liege in einer Fläche, in welcher die Dichtigkeit sich sprungweise ändert, oder in der Oberfläche des anziehenden Körpers. Wir umschliessen ihn mit einer Kugelfläche vom Radius $\varepsilon \,$ und bezeichnen mit $T_{1}\,$ den Raum, welchen diese aus dem anziehenden Körper ausschneidet. Der übrige Theil des anziehenden Körpers sei $T_{2}\,$. Dem entsprechend zerlegen wir auch die Potentialfunction in zwei Bestandtheile

(1)	$V=V_{1}+V_{2},\,$

so dass $V_{1}\,$ nur von der Masse in dem Raume $T_{1}\,$ und $V_{2}\,$ nur von der Masse in dem Raume $T_{2}\,$ herrührt. Für den Raum $T_{2}\,$ ist der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ein äusserer Punkt, und daher sind die ersten Derivirten ${\frac {\partial V_{2}}{\partial x}},\,{\frac {\partial V_{2}}{\partial y}},\,{\frac {\partial V_{2}}{\partial z}}$ stetige Functionen von $(x,\,y,\,z)$. Es ist also jedenfalls

(2)	$\lim d\left({\frac {\partial V_{2}}{\partial x}}\right)=0.$

 Die Derivirte ${\frac {\partial V_{1}}{\partial x}}$ wird ausgedrückt durch das Integral

$\iiint {\frac {a-x}{r^{3}}}\rho \;da\;db\;dc,$

wenn man die Integration über den Raum $T_{1}\,$ ausdehnt. Dieses Integral kann - wie bewiesen - nicht unendlich gross werden, wohin man auch den Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern der Kugel vom Radius $\varepsilon \,$ verlegen möge. Es hat vielmehr einen endlichen Werth, der um so kleiner ist, je kleiner $\varepsilon \,$ genommen wird. Man kann demnach $\varepsilon \,$ so klein wählen, dass für jede Lage des angezogenen Punktes im Innern jener Kugel der Werth von ${\frac {\partial V_{1}}{\partial x}}$ kleiner bleibt als eine beliebig kleine Grösse $\delta \,$. Verschiebt man also den Punkt $(x,\,y,\,z)$ beliebig im Innern der Kugel vom Radius $\varepsilon \,$, so wird die Aenderung, welche ${\frac {\partial V_{1}}{\partial x}}$ dadurch erfährt, ebenfalls kleiner sein als $\delta \!$. Man kann aber $\delta \,$ kleiner werden lassen als irgend eine angebbare Zahl. Es ist damit nur eine unendliche Abnahme des Radius $\varepsilon \,$ verbunden.

 Folglich ist

(3)	$\lim d\left({\frac {\partial V_{1}}{\partial x}}\right)=0.$

Aus (3) und (2) ergibt sich ohne weiteres

(4)	$\lim d\left({\frac {\partial V}{\partial x}}\right)=\lim d\left({\frac {\partial V_{1}}{\partial x}}\right)+\lim d\left({\frac {\partial V_{2}}{\partial x}}\right)=0,$

d. h. ${\frac {\partial V}{\partial x}}$ ist eine überall stetig variable Function.

 Auf demselben Wege wird der Beweis für ${\frac {\partial V}{\partial y}}$ und ${\frac {\partial V}{\partial z\,}}$ geführt. Die Function $V\,$ und ihre ersten Derivirten sind also überall endliche und stetige Functionen. Sie erleiden unendlich kleine Aenderungen bei einer unendlich kleinen Verschiebung des Punktes $(x,\,y,\,z)$, mag diese Verschiebung innerhalb oder ausserhalb oder in der Oberfläche der anziehenden Masse vorgenommen werden oder durch die Oberfläche hindurchführen.

 Der Beweis ist noch anwendbar auf die zweiten partiellen Derivirten, aber nur für solche Lagen des Punktes $(x,\,y,\,z)$, für welche die Gleichungen (1) des vorigen Paragraphen gelten. D. h. die zweiten partiellen Derivirten ändern sich stetig bei allen Verschiebungen des Punktes $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb oder innerhalb des anziehenden Körpers, die in endlicher, wenn auch noch so kleiner Entfernung sowohl von der Oberfläche, als auch von den Unstetigkeitsstellen der Dichtigkeit vorgenommen werden.

 Errichtet man nun gegen die Oberfläche des anziehenden Körpers in irgend einem Punkte derselben die Normale nach innen und nach aussen, so darf man auf der inneren wie auf der äusseren Normale den Punkt $(x,\,y,\,z)$ unendlich nahe an die Oberfläche heranrücken lassen, ohne dass die Functionen $V,\;{\frac {\partial V}{\partial x}},\,{\frac {\partial V}{\partial y}},\,{\frac {\partial V}{\partial z}}$ aufhören, endliche und stetig variable Werthe anzunehmen. Für zwei Lagen des Punktes $(x,\,y,\,z)$ auf der inneren und auf der äusseren Normale in unendlich kleinem Abstande von der Oberfläche hat jede der vier Functionen zwei Werthe, die nur unendlich wenig abweichen von dem Werthe, welchen sie in dem Fusspunkte der Normale auf der Oberfläche selbst besitzt. Aus diesem Verhalten der Functionen ${\frac {\partial V}{\partial x}},\,{\frac {\partial V}{\partial y}},\,{\frac {\partial V}{\partial z}}$ folgt, dass die zweiten Derivirten von $V\,$ nicht unendlich gross werden können, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ auf der inneren oder auf der äusseren Normale unendlich nahe an die Oberfläche heranrückt oder in den Fusspunkt der Normale auf der Oberfläche selbst übergeht. In diesem letztgenannten Punkte verlieren die Ausdrücke, welche wir für die zweiten Derivirten gefunden haben, alle Bedeutung. Das weist darauf hin, dass jede der zweiten Derivirten sich sprungweise ändert, wenn der Punkt$(x,\,y,\,z)$ beim stetigen Durchlaufen der Normale durch die Oberfläche des anziehenden Körpers von innen nach aussen oder von aussen nach innen hindurchgeht. In dem Beispiele des §. 5 ist diese Eigenschaft der zweiten Derivirten von $V\,$ direct nachgewiesen. Sie lässt sich aber für eine beliebig gestaltete Oberfläche des anziehenden Körpers beweisen. Man hat zu dem Ende, was ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}},\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ anlangt, die Integrale auf der rechten Seite der Gleichungen (1) des §. 9 für den Fall zu untersuchen, dass der Punkt $(x,\,y,\,z)$ auf der äusseren oder auf der inneren Normale unendlich nahe an die Oberfläche heranrückt. Dabei zeigt sich, dass jedes der drei Raumintegrale für beide Lagen des Punktes $(x,\,y,\,z)$ Werthe von unendlich kleiner Differenz besitzt. Die Grenzwerthe der Oberflächen-Integrate haben aber eine endliche Differenz, und zwar sind die Werthe für den inneren Punkt um resp.

$4\;\pi \;\rho \cos \alpha ^{2},\,4\;\pi \;\rho \cos \beta ^{2},\,4\;\pi \;\rho \cos \gamma ^{2}$

kleiner, als für den äusseren Punkt. Dabei bezeichnen $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ die Winkel, welche die Richtung der nach innen gezogenen Normale mit den positiven Coordinaten-Axen einschliesst, und $\rho \,$ ist die Dichtigkeit in dem unendlich nahe an der Oberfläche gelegenen inneren Punkte. Der Beweis dieser Behauptung stützt sich im wesentlichen auf Entwickelungen, welche im §. 15 für einen anderen Zweck vorgenommen werden.

 Die Durchführung des Beweises kann hier unterbleiben, da von hauptsächlichem Interesse die unstetige Aenderung der Summe ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ ist, und diese lässt sich mit einfacheren Hülfsmitteln nachweisen (§. 13).

 Der anziehende Körper werde durch eine innere Scheidungsfläche in zwei getrennte Räume zerlegt, so dass die Dichtigkeit sich stetig ändert in jedem einzelnen der beiden Räume, aber sprungweise beim Durchgange durch die Scheidungsfläche. Errichtet man dann in irgend einem Punkte dieser Fläche nach beiden Seiten hin die Normale und lässt auf ihr von beiden Seiten her den Punkt $(x,\,y,\,z)$ unendlich nahe an die Scheidungsfläche heranrücken, so wird jede der zweiten Derivirten von $V\,$ sich einem bestimmten endlichen Grenzwerthe unaufhörlich annähern. Aber der Grenzwerth irgend einer von den zweiten Derivirten in unendlich kleinem Abstande von der Scheidungsfläche ist auf der einen Seite verschieden von dem Grenzwerthe auf der anderen Seite. Jede von den zweiten Derivirten ändert sich sprungweise, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ beim stetigen Durchlaufen der Normale durch jene Fläche hindurchgeht. In der Scheidungsfläche selbst sind die Ausdrücke für die zweiten Derivirten von $V\,$ ohne alle Bedeutung.

 Nach dieser Orientirung über das Verhalten der zweiten Derivirten kommt es darauf an, die Summe

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$

für einen Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern des mit Masse erfüllten Körpers zu ermitteln. Wir gelangen dazu mit Hülfe eines von Gauss aufgestellten allgemeinen Satzes, welcher zunächst entwickelt werden soll.

§. 11. Das Oberflächen-Integral $\int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)d\sigma$. Satz von Gauss.

 Wir bezeichnen mit $T\,$ einen beliebig, aber vollständig begrenzten Raum und mit $\;d\sigma \,$ ein Element seiner Oberfläche. In irgend einem Punkte dieses Oberflächen-Elementes errichten wir nach dem Innern des Raumes $T\,$ die Normale und nehmen auf ihr einen Punkt $(x,\,y,\,z)$, welcher von dem Fusspunkte der Normale den Abstand $n\,$ hat. Es lassen sich dann zwei veränderliche Grössen $q\,$ und $s\,$ so wählen, dass sie in irgend einem Punkte der Oberfläche je einen und nur einen Werth haben, und dass umgekehrt zu einer bestimmten Werthen-Combination von $q\,$ und $s\,$ jedesmal nur ein bestimmter Punkt der Oberfläche gehört. Die Lage des Punktes $(x,\,y,\,z)$ lässt sich dann auch dadurch angeben, dass man sagt, welche Werthe die Grössen $q\,$ und $s\,$ im Fusspunkte der Normale

Fig. 5.

haben und wie lang die Strecke $n\,$ auf der Normale ist. Man hat also jede der drei Coordinaten $x,\,y,\,z$ als eine Function von den drei unabhängigen Variabeln $q,\,s,\,n$ anzusehen. Lässt man $q\,$ und $s\,$ ihre Werthe beibehalten und ertheilt der dritten Variabeln den Zuwachs $dn\,$, so erhält man auf derselben Normale einen zweiten Punkt, dessen rechtwinklige Coordinaten $x+dx,\,y+dy,\,z+dz\,$ sind (Fig. 5), und es ist hier speciell $dx={\frac {\partial x}{\partial n}}dn,\,dy={\frac {\partial y}{\partial n}}dn,\,dz={\frac {\partial z}{\partial n}}dn$. Man erkennt leicht, dass $dx,\,dy,\,dz$ die Projectionen von $dn\,$ auf den rechtwinkligen Coordinatenaxen sind. Bezeichnet man also mit $(xn),(yn),(zn)\,$ die Winkel, welche die Richtung der Normale mit den positiven Richtungen der $x\!$, der $y\!$, der $z\!$ einschliesst, so ergibt sich

${\frac {\partial x}{\partial n}}=\cos(xn),\ {\frac {\partial y}{\partial n}}=\cos(yn),\ {\frac {\partial z}{\partial n}}=\cos(zn).$

 Wir denken uns nun die gesammte anziehende Masse, die gleich der Einheit genommen werden möge, in einem Punkte $(a,\,b,\,c)\,$ concentrirt, der entweder innerhalb oder ausserhalb oder in der Oberfläche des Raumes T liegen soil. Der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ übt auf den Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ eine Anziehung, deren Componente in der Richtung der wachsenden $n\,$ mit $N\,$ bezeichnet werden möge. Man findet

(1)	$N={\frac {1}{r^{2}}}cos(rn),\,$

wenn $r\,$ den Abstand des Punktes $(x,\,y,\,z)\,$ von dem Punkte $(a,\,b,\,c)\,$ bezeichnet, also

(2)	$r^{2}=(a-x)^{2}+(b-y)^{2}+(c-z)^{2}.\,$

Die Linie $r\,$ ist von dem Punkte $(x,\,y,\,z)\,$ nach dem Punkte $(a,\,b,\,c)\,$ hingezogen, und unter $(rn)\,$ ist der Winkel zu verstehen, welchen diese Richtung mit der Richtung der wachsenden $n\,$ einschliesst. Für den Cosinus dieses Winkels ergibt sich

$\cos(rn)={\frac {\partial r}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial n}}+{\frac {\partial r}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial n}}+{\frac {\partial r}{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial n}}={\frac {\partial r}{\partial n}}.$

Mit $d\sigma \,$ soll ein Element der Oberflache von $T\,$ bezeichnet werden, und der Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ soll in der Begrenzungslinie dieses Elementes liegen, so dass für ihn $n=0\,$ ist. Es handelt sich darum, den Werth des Integrals

(3)	$\int N\,d\sigma =\int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)\,d\sigma$

zu ermitteln, wenn die Integration über die ganze Oberfläche von $T\,$ erstreckt wird. Zu dem Ende betrachten wir $d\sigma \,$ als die Basisfläche eines Kegels, dessen Spitze im Punkte $(a,\,b,\,c)\,$ liegt. Die conische Oberfläche wird dadurch erzeugt, dass man einen von $(a,\,b,\,c)\,$ ausgehenden beweglichen Radius vector längs der Begrenzung von $d\sigma \,$ hingleiten lässt. Beschreibt man nun (Fig. 6.) um $(a,\,b,\,c)\,$ als Mittelpunkt mit dem Radius $r\,$ eine Kugelfläche, so schneidet der eben construirte Kegel aus ihr ein Flächenelement heraus, welches als die rechtwinklige Projection von $d\sigma \,$ angesehen werden kann. Denn wegen der unendlich kleinen Dimensionen darf man sowohl $d\sigma \,$, wie das Element der Kugelfläche als ebene Flächen ansehen. Die Erzeugenden des Kegels sind dann die projicirenden Strahlen. Sie stehen als Radien sämmtlich rechtwinklig

Fig. 6.

auf der Kugelfläche. Man erhält also das Element der Kugelfläche, indem man $d\sigma \,$ mit dem Cosinus des spitzen Winkels multiplicirt, welchen die im Punkte $(x,\,y,\,z)\,$ errichteten Normalen der Kugel und des Flächenelementes $d\sigma \,$ einschliessen, d. h. mit dem absoluten Werthe von $\cos(rn)\,$. Das Element, welches der Kegel aus der Kugelfläche vom Radius $r\,$ ausschneidet, ist demnach

$\pm d\sigma \cdot \cos(rn),$

und es gilt das negative oder das positive Zeichen, je nachdem der von $(a,\,b,\,c)\,$ ausgehende Radius vector an der Stelle $(x,\,y,\,z)\,$ in den Raum $T\,$ eintritt oder aus ihm austritt. Die Richtigkeit dieser Vorzeichen-Bestimmung ist leicht einzusehen. Die Richtung der wachsenden $n\,$ schliesst nemlich spitze Winkel ein mit allen geraden Linien, die vom Punkte $(x,\,y,\,z)\,$ aus nach dem Innern des Raumes $T\,$ gezogen werden, und stumpfe Winkel mit allen Linien, die vom Punkte $(x,\,y,\,z)\,$ nach aussen gehen. Der von $(a,\,b,\,c)\,$ nach $(x,\,y,\,z)\,$ gezogene Radius vector ist aber der Richtung von $r\,$ gerade entgegengesetzt.

 Legt man nun um den Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ als Mittelpunkt eine zweite Kugelgläche mit der Längeneinheit als Radius, so schneidet aus dieser der Kegel ein Element $d\Sigma \,$ heraus, dessen Inhalt sich berechnet

(4)	$d\Sigma =\pm {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)d\sigma .\,$

 Der eben betrachtete Kegel kann die Oberfläche des Raumes $T\,$ öfter treffen. Dann ist $d\Sigma \,$ die centrale Projection aller ausgeschnittenen Oberflächen-Elemente, und es ist in der Gleichung (4) das negative oder das positive Vorzeichen gültig, je nachdem das Element $d\sigma \,$ an einer Eintritts- oder an einer Austrittsstelle liegt.

 Der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ befinde sich zunächst im Innern des Raumes $T\,$. Dann tritt der Kegel einmal öfter aus als ein.

 Jede Austritts- und jede Eintrittsstelle liefert einen Beitrag zu dem Integral (3), und zwar sieht man aus Gleichung (4), dass dieser Beitrag gleich $+d\Sigma \,$ ist an allen Austrittsstellen und gleich $-d\Sigma \,$an allen Eintrittsstellen. Der Inbegriff aller Beiträge, welche die durch den Kegel ausgeschnittenen Oberflächen-Elemente liefern, ist demnach

$=d\Sigma .\,$

Denn der Beitrag jeder Eintrittsstelle hebt den Beitrag der vorhergehenden Austrittsstelle auf und es bleibt nur der Beitrag der letzten Austrittsstelle übrig. Der Werth des Integrals (3) ist also

(5)	$=\int d\Sigma ,\,$

wenn man das letztere über alle die Stellen der Kugel vom Radius 1 erstreckt, welche Projectionen von Oberflächen-Elementen des Raumes $T\,$ sind. Da aber der Punkt im Innern des Raumes $T\,$ liegt, so kann der Elementarkegel durch kein Element der Kugelfläche vom Radius 1 hindurchgehen, ohne irgendwo auch die Oberfläche von $T\,$ zu durchschneiden. D. h. das Integral (5) ist über die ganze Kugelfläche zu erstrecken, und folglich hat man

(6)	$\int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)\,d\sigma =4\pi ,$

wenn der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ im Innern des Raumes $T\,$ liegt.

 Nimmt man aber zweitens den Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ ausserhalb des Raumes $T\,$, so trifft der Elementarkegel die Oberfläche von $T\,$ entweder gar nicht, oder er tritt ebenso oft aus wie ein. Jede Eintrittsstelle liefert zu dem Integral (3) auch hier den Beitrag $-d\Sigma \,$, und jede Austrittsstelle den Beitrag $+d\Sigma \,$. Folglich heben sich die Beiträge auf, welche von jedem einzelnen Elementarkegel herrühren, und man hat

(7)	$\int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)\,d\sigma =0,$

wenn der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ ausserhalb des Raumes $T\,$ liegt.

 Wenn drittens der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ in der Oberfläche des Raumes $T\,$ genommen wird, und zwar an einer stetig gekrümmten Stelle, so zerschneidet die Tangentialebene dieses Punktes die Kugelfläche vom Radius 1 in zwei Halbkugeln. Die eine Halbkugel wird von allen den Elementarkegeln getroffen, deren Erzeugende anfänglich innerhalb des Raumes $T\,$ verlaufen. Die andere Halbkugel wird von allen den Elementarkegeln getroffen, deren Erzeugende anfänglich ausserhalb des Raumes $T\,$ liegen. Rücksichtlich der ersteren ist der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ anzusehen als innerhalb des Raumes $T\,$ liegend, rücksichtlich der letzteren als ausserhalb liegend. Folglich erhält man

(8)	$\int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)\,d\sigma =2\pi ,$

wenn der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ an einer stetig gekrümmten Stelle der Oberfläche des Raumes $T\,$ sich befindet.

 Liegt endlich der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ in einer Kante oder einer Spitze der Oberfläche von $T\,$, so sieht man leicht, dass das Integral (3) gleich demjenigen Theil der Kugelfläche vom Radius 1 ist, für welchen die schneidenden Elementarkegel anfänglich innerhalb des Raumes $T\,$ liegen. Um die Begrenzung dieses Flächentheils zu finden, braucht man nur im Punkte $(a,\,b,\,c)\,$ den Tangentenkegel der Oberfläche von $T\,$ zu construiren. Diese Kegelfläche schneidet die Kugel in der gesuchten Begrenzungslinie.

 Der Satz dieses Paragraphen rührt von Gauss her. Soweit er sich in den Gleichungen (6), (7), (8) ausspricht, bildet er das Theorema 4 der Abhandlung: Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata.*)^[3] Den letzten Zusatz hat Gauss später gemacht im 22. Artikel der Abhandlung: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstossungskräfte.**)^[4]

§. 12. Das Oberflächen-Integral $\int N\,d\sigma$. Satz von Gauss.

 Wir wollen das Resultat des vorigen Paragraphen verallgemeinern. Vorab werde folgende Bemerkumg gemacht. Wir haben einen beliebig, aber vollständig begrenzten Raum betrachtet und ihn mit $T\,$ bezeichnet. Ein Element dieses Raumes soll nun mit $dT\,$ bezeichnet werden. Der Ausdruck für $dT\,$ ist ein anderer, je nachdem man andere Coordinaten nimmt. So hat man z. B.

$dT=dx\,dy\,dz\,$

für rechtwinklige Coordinaten, dagegen

$dT=r^{2}\sin \theta \;dr\;d\theta \;d\varphi$

für Kugel-Coordinaten.

 Ein Flächen-Element wollen wir mit $d\sigma \,$ bezeichnen und ein Linien-Element mit $ds\,$. Die Ausdrücke für $d\sigma \,$ und für $ds\,$ sind ebenfalls abhängig von der Wahl der Coordinaten.

 Bisher ist fast ausschliesslich der Fall betrachtet, dass die anziehende Masse über einen Raum von drei Dimensionen stetig vertheilt ist, und dass nur in einem Raume von endlicher Grösse sich eine endliche Masse befindet. Der Allgemeinheit wegen sollen aber auch die beiden abstracten Fälle mit berücksichtigt werden, dass die Masse in einer Fläche oder in einer Linie stetig ausgebreitet ist, und dass in einer Fläche von endlicher Grösse oder resp. in einer Linie von endlicher Grösse eine endliche Masse zu finden ist. Bezeichnet man mit $dm\,$ ein Massenelement und mit $\rho \,$ die Dichtigkeit, so hat man

(1)	$dm=\rho \;dT^{*}$

bei räumlicher Vertheilung der Masse; dagegen

(2)	$dm=\rho \;d\sigma ^{*}$

bei der Vertheilung auf einer Fläche; und endlich

(3)	$dm=\rho \;ds^{*}$

bei der Vertheilung auf einer Linie. Dabei ist resp. mit $dT^{*}\,$, $d\sigma ^{*}\,$, $ds^{*}\,$ ein Element des Raumes, oder der Fläche oder der Linie bezeichnet, über welche die Masse vertheilt ist. Jedenfalls ist die Componente der Anziehung, welche auf den Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ in der Richtung der wachsenden $n\,$ ausgeübt wird:

(4)	$N=\int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)\,dm.$

 Wir wollen nun wieder den Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ in die Oberfläche eines beliebig, aber völlig, begrenzten Raumes $T\,$ legen und das Integral

$\int N\,d\sigma$

über die ganze Oberfläche von $T\,$ erstrecken. Es ist

$\int N\,d\sigma \,=\int d\sigma \left\lbrace \int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)\,dm\right\rbrace$

oder, wenn man in der umgekehrten Reihenfolge integrirt:

$\int N\,d\sigma \,=\int dm\left\lbrace \int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)\,d\sigma \right\rbrace .$

Wir haben aber im vorigen Paragraphen bewiesen, dass das Integral

$\int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)\,d\sigma$

den Werth $0\,$ oder $4\pi \,$ hat, je nachdem der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$, in welchem das Massenelement $dm\,$ concentrirt gedacht wird, ausserhalb oder innerhalb des Raumes T liegt. Folglich ist

$\int N\,d\sigma =\int 4\pi \,dm,$

und man hat die Integration rechts nur über die Massenelemente zu erstrecken, welche innerhalb $T\,$ liegen. Bezeichnet man mit $M\,$ die gesammte Masse, welche innerhalb $T\,$ liegt, so ergibt sich

(5)	$\int N\,d\sigma =4\pi \,M.$

Dies Resultat bezieht sich auf den Fall, dass die anziehende Masse über einen Raum oder über eine Fläche oder über eine Linie vertheilt ist, und dass ein endlicher Theil davon in das Innere des Raumes $T\,$ fällt, in den beiden letzten Fallen aber kein endlicher Theil in die Oberfläche von $T\,$.

 Ist die Masse $M\,$ über eine Fläche oder eine Linie ausgebreitet, die nicht im Innern des Raumes $T\,$, sondern in seiner stetig gekrümmten Oberfläche liegt, so erhält man

(6)	$\int N\,d\sigma =2\pi \,M.$

 Ist die Masse $M\,$ über eine Kante der Oberfläche von $T\,$ vertheilt, so hat man sie in Linienelemente zu zerlegen. Die Masse $dm\,$ eines solchen Linienelementes kann man sich in einem Punkte $(a,\,b,\,c)\,$ desselben concentrirt denken. Fur diesen Punkt hat man das Integral

(7)	$\int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)\,d\sigma$

nach Anleitung des vorigen Paragraphen zu ermitteln. Der Werth des Integrals ist mit $dm\,$ zu multipliciren und hierauf eine neue Integration über die mit Masse erfüllte Kante auszuführen.

 Wenn endlich die Masse $M\,$ in einem Punkte concentrirt ist, der entweder an einer stetig gekrümmten Stelle oder in einer Kante oder Spitze der Oberfläche von $T\,$ liegt, so hat man wieder den Werth des Integrals (7) nach dem Satze des vorigen Paragraphen zu ermitteln und diesen mit $M\,$ zu multipliciren.

 Beispielsweise sei der Raum $T\,$ ein rechtwinkliges Parallelepipedon. Befindet sich in seinem Innern die endliche Masse $M\,$, dagegen keine Masse in der Oberfläche, so ist

$\int N\,d\sigma =4\pi \,M.$

Ist die Masse $M\,$ über die Oberfläche ausgebreitet, aber im Innern und in den Kanten und Ecken keine endliche Masse vorhanden, so hat man

$\int N\,d\sigma =2\pi \,M.$

Ist die Masse M allein über die Kanten vertheilt, so findet sich

$\int N\,d\sigma =\pi \,M.$

Wenn endlich nur in den Eckpunkten sich Masse befindet, deren gesammtes Quantum $=M\,$ ist, so ist

$\int N\,d\sigma ={\frac {1}{2}}\pi \,M.$

Es ist nicht unwichtig, hier noch eine Bemerkung zu machen. Versteht man unter $V\,$ die Potentialfunction der anziehenden Masse auf den Punkt $(x,\,y,\,z)\,$, so hat man

(8)	$V=\int {\frac {dm}{r}}.$

Für jede Lage des Punktes $(x,\,y,\,z)$, in welcher die Componente der Anziehung $N\,$ einerseits, der Differentialquotient ${\frac {\partial V}{\partial n}}$ andererseits je einen bestimmten Werth haben, ist

(9)	$N={\frac {\partial V}{\partial n}}.$

Trifft dies an jeder Stelle der Oberfläche von $T\,$ ein, so kann man in dem Satze dieses Paragraphen statt $\int N\;d\sigma$ auch schreiben $\int {\frac {\partial V}{\partial n}}d\sigma$. Es trifft ein, wenn kein endlicher Theil der Masse in der Oberfläche von $T\,$ gelegen ist. Wir werden aber im §. 14 sehen, dass es nicht mehr eintrifft, wenn eine endliche Masse in der Oberfläche von $T\,$ vertheilt ist. Es muss aber betont werden, dass der Satz dieses Paragraphen sich auf die Componente der Anziehung bezieht. Der Satz rührt von Gauss her.*)^[5]

§. 13. Die Gleichung: ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-4\pi \,\rho .$

 Die Masse sei in einem Raume von drei Dimensionen stetig vertheilt. Im Innern dieses Raumes betrachten wir ein gerades

Parallelepipedon, von welchem ein Eckpunkt, dem Anfangspunkte

Fig. 7.

zunächst gelegen, die Coordinaten $x,\,y,\,z$ hat. Die von diesem Eckpunkte (Fig. 7) ausgehenden Kanten von der Länge $dx,\,dy,\,dz$ sollen den rechtwinkligen Coordinatenaxen parallel laufen. Auf dieses Parallelepipedon wenden wir den Satz des vorigen Paragraphen an. Rechtwinklig zur Axe der $x\,$ liegen zwei Seitenflächen, jede vom Inhalt $dy\;dz$, die eine im Abstande $x\!$, die andere im Abstande $x+dx\!$ von der $yz\!$ Ebene. Für die erste ist

$N={\frac {\partial \,V}{\partial x}},$

für die andere

$N=-\left({\frac {\partial V}{\partial x}}\right)_{x+dx}$.

Folglich liefern die beiden eben betrachteten Flächen zu dem Integral

(1)	$\int N\,d\sigma$

den Beitrag

$-{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}\,dx\,dy\,dz.$

Ebenso findet sich

$-{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}\,dx\,dy\,dz$

als der Beitrag, welchen die beiden zur $y\,$Axe rechtwinkligen Begrenzungsflächen liefern, und

$-{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\,dx\,dy\,dz$

als der Beitrag, welcher von den beiden zur $z\,$ Axe rechtwinkligen Begrenzungsflächen herrührt. Das Integral (1), über die ganze Begrenzung des Parallelepipedon erstreckt, hat also den Werth

(2)	$-\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz.$

Dabei ist vorausgesetzt, dass ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}},\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ je einen bestimmten endlichen Werth haben, dass also der Punkt $(x,\,y,\,z)$ weder in der Oberfläche des anziehenden Körpers noch in einer Unstetigkeitsstelle der Dichtigkeit liege.

 Nach dem Satze des vorigen Paragraphen ist das Integral (1) gleich

(3)	$4\pi \,\rho \,dx\,dy\,dz,$

wenn mit $\rho \,$ die Dichtigkeit im Punkte $(x,\,y,\,z)$ bezeichnet wird. Folglich erhält man aus (2) und (3)

(4)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-4\pi \rho .$

Dies ist die Verallgemeinerung des Satzes von Laplace. Wir haben sie an einem Beispiele bereits in §. 5, Gleichung (8) kennen gelernt. Hier ist sie für jeden Punkt $(x,\,y,\,z)$ bewiesen, der innerhalb eines beliebig gestalteten, mit Masse erfüllten Raumes liegt, nur nicht in der Oberfläche und nicht in einer Unstetigkeitsstelle der Dichtigkeit.

§. 14. Die anziehende Masse ist über eine Fläche ausgebreitet. Die Gleichung: $\left({\frac {\partial {V}}{\partial {p}}}\right)_{+\varepsilon }-\left({\frac {\partial {V}}{\partial {p}}}\right)_{-\varepsilon }=-4\,\pi \,\rho .$

 Wir betrachten den abstracten Fall, dass die Masse über eine Fläche stetig vertheilt ist. Ein Punkt der Fläche habe die Coordinaten $a,\,b,\,c$. Die Dichtigkeit an dieser Stelle sei $\rho \,$. Wir verstehen darunter den Quotienten, der sich ergibt, wenn die Masse des an $(a,\,b,\,c)\,$ anstossenden Flächen-Elementes $d\sigma \,$ durch den Inhalt dieses Elementes dividirt wird. Die Dichtigkeit soll in keinem Punkte der Fläche unendlich gross sein und, wenn nichts anderes ausdrücklich gesagt ist, sich überall stetig ändern. Dann haben wir

(1)	$V=\int {\frac {\rho \,d\sigma }{r}},$

und die Integration ist über die ganze anziehende Fläche zu erstrecken.

 Liegt der angezogene Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ ausserhalb der anziehenden Fläche in endlichem, wenn auch noch so kleinem Abstände von derselben, so haben $V\,$ und ihre Derivirten bestimmte, endliche Werthe, und die Untersuchung bietet nichts neues dar. Wir wenden uns deshalb zu dem Falle, dass der Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ in der anziehenden Fläche selbst liegt, oder dass er auf der Normale von der einen oder von der anderen Seite in die Fläche hineinrückt.

 Von jedem Punkte der Fläche aus verläuft die unbegrenzte Normale nach zwei entgegengesetzten Richtungen, die wir als positiv und negativ unterscheiden. Ist für irgend einen Punkt der Fläche festgesetzt, nach welcher Seite hin die Normale positiv genannt werden soll, so hat man damit über die positiven Normalen aller anderen Punkte der Fläche entschieden. Verschiebt man nemlich die positive Normale eines Punktes so, dass ihr Fusspunkt in der Fläche sich bewegt und sie selbst stets normal zur Fläche bleibt, so fällt sie der Reihe nach mit den positiven Normalen aller der Punkte zusammen, welche ihr Fusspunkt in der Fläche durchläuft. Um einen Punkt herum, in welchem die Fläche stetig gekrümmt ist, kann man auf derselben immer in endlichem Abstande eine Begrenzung so zeichnen, dass die positiven Normalen aller Punkte des umgrenzten Gebietes spitze Winkel mit einander bilden.

 Auf der unbegrenzten Normale einer Fläche wollen wir von dem Fusspunkte aus eine veränderliche Strecke mit $p\,$ bezeichnen. Die Grösse $p\,$ ist positiv oder negativ, je nachdem die Strecke von dem Fusspunkte aus auf der positiven oder auf der negativen Normale abgetragen ist. Auf jeder Normale gibt es hiernach nur eine Richtung der wachsenden $p\,$, und in dieser Richtung ist der positive Zuwachs $dp\,$ zu rechnen.

 Wir legen nun den Anfangspunkt der Coordinaten in den Punkt der Fläche, in welchen der angezogene Punkt hineinrücken soll. Die Axe der positiven $x\,$ werde in die positive Normale gelegt, die Axen der $y\,$ und der $z\,$ in die Tangentialebene. Es sei $\alpha \,$ der Winkel, welchen die auf $d\sigma \,$ errichtete positive Normale mit der Axe der positiven $x\,$ einschliesst. Um den Anfangspunkt der Coordinaten herum grenzen wir ein endliches Gebiet der Fläche so ab, dass innerhalb desselben ${\frac {\rho }{\cos \alpha }}$ endlich und stetig variabel ist. Der Theil der Potentialfunction $V\,$, welcher von diesem Gebiete herrührt, werde mit $V_{1}\,$, der übrige Theil mit $V_{2}\,$ bezeichnet. Für die anziehende Masse, von welcher $V_{2}\,$ herrührt, ist der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ein äusserer und daher ist die Function $V_{2}\,$ mit allen ihren Derivirten endlich und stetig variabel. Es kömmt also nur noch auf $V_{1}\,$ an.

 In der $yz\,$Ebene führen wir Polar-Coordinaten ein, so dass

$b=s\cos \varphi ,\,$ $c=s\sin \varphi .\,$

Für einen Punkt $(a,\,b,\,c)$ innerhalb des Gebietes, welches den Anfangspunkt der Coordinaten in sich enthält, kann man ein angrenzendes Flächenelement ausdrücken durch

${\frac {s\,ds\,d\varphi }{\cos \alpha }}.$

Alsdann findet sich

(2)	$V_{1}=\iint {\frac {\rho }{\cos \alpha }}\,{\frac {s}{r}}\,ds\,d\varphi .$

Das Gebiet, von welchem $V_{1}\,$ herrührt, habe in der $\,yz$ Ebene eine Kreisfläche vom Radius $S\,$ zur Projection. Dann ist in (2) die In- tegration von $0\,$ bis $S\,$ in Beziehung auf $s\,$ und von $0\,$ bis $2\pi \,$ in Beziehung auf $\varphi \,$ auszudehnen. Nun lässt sich leicht zeigen, dass $V_{1}\,$ einen bestimmten, endlichen Werth hat. Denn zunächst ist die Function ${\frac {\rho }{\cos \alpha }}{\frac {s}{r}}\,$ innerhalb der Integrationsgrenzen überall endlich. Für $s=0\,$ wird freilich auch $r=0\,$, wenn man den angezogenen Punkt auf der Normale des Anfangspunktes der Coordinaten in diesen selbst hineinrücken lässt. Aber der Bruch ${\frac {s}{r}}\,$ kann in die Form gebracht werden

${\frac {s}{r}}={\frac {s}{\sqrt {(a-x)^{2}+s^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {a-x}{s}}\right)^{2}}}}.$

Für $s=0\,$ ist auch $a=0\,$. Lassen wir nun auch $x\,$ in Null übergehen, so nimmt der positive Bruch $\left({\frac {a-x}{s}}\right)^{2}\,$ die Form ${\frac {0}{0}}\,$ an. Welchen Werth er aber auch haben möge, so sieht man doch, dass ${\frac {s}{r}}\,$ nicht unendlich werden kann. Die Function unter dem Integralzeichen in (2) ist also innerhalb des Integrationsgebietes überall endlich, und deshalb hat auch das Integral $V_{1}\,$ einen durchaus bestimmten endlichen Werth.

 Behält man auf der Fläche dasselbe abgegrenzte Gebiet, von welchem die Potentialfunction $V_{1}\,$ herrührt, bei, lässt aber den angezogenen Punkt von aussen her an eine andere Stelle dieses Gebiets rücken, so nimmt auch $V_{1}\,$ einen anderen, jedenfalls aber einen bestimmten, endlichen Werth an. Es lässt sich demnach eine Grösse $\delta \,$ angeben, die nicht unendlich gross ist und so beschaffen, dass

$V_{1}<\delta ,\,$

an welcher Stelle des abgegrenzten Gebietes der angezogene Punkt liegen möge. Wird dieser Punkt unendlich wenig in der Fläche verschoben, so gilt für die dadurch entstehende Aenderung $dV_{1}\,$ um so mehr die Ungleichung

$dV_{1}<\delta ,\,$

Die Grösse $\delta \,$ lässt sich aber kleiner und kleiner machen und dem Grenzwerthe Null unaufhörlich annähern. Dazu hat man nur nöthig, den Radius $S\,$ unaufhörlich abnehmen zu lassen. Folglich ist

$\lim dV_{1}=0.\,$

Von $\,V_{2}$ ist schon oben nachgewiesen, dass es endlich und stetig variabel ist. Folglich ist auch

$\lim dV=\lim dV_{1}+\lim dV_{2}=0,$

d. h. die Function $V\,$ ist endlich, wenn auch der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in die anziehende Fläche hineinfällt, und der Werth von $V\,$ ändert sich stetig, wenn der Punkt in der Fläche stetig verschoben wird. Bezeichnen wir mit $ds\,$ eine unendlich kleine Verschiebung in der Fläche, so hat der Differentialquotient ${\frac {\partial \,V}{\partial s}}$ einen bestimmten, endlichen Werth. Er ist nur unendlich wenig von den Werthen verschieden, welche derselbe Differentialquotient annimmt, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ auf der einen oder auf der anderen Seite unendlich nahe an der Fläche liegt. Der Differentialquotient ist identisch mit der Componente der Anziehung in der Richtung von $ds\,$, so lange der Punkt $(x,\,y,\,z)$ nicht in der Fläche liegt. Fällt aber der Punkt in die Fläche, so ist zwischen dem Differentialquotienten ${\frac {\partial \,V}{\partial s}}$ und der Componente der Anziehung zu unterscheiden. Jener behält, wie eben bewiesen, einen bestimmten angebbaren Werth. Diese wird völlig unbestimmt, weil das Integral, durch welches sie ausgedrückt wird, jede Bedeutung verliert, sobald der angezogene Punkt in die anziehende Fläche fällt.

 Fasst man aber eine Verschiebung auf der Normale ins Auge, so findet sich, dass die Componente der Anziehung $P\,$ in der Richtung dieser Verschiebung und die Derivirte ${\frac {\partial \,V}{\partial p}}$ in derselben Richtung identisch sind, falls der Punkt $(x,\,y,\,z)$ auf der positiven oder der negativen Normale der Fläche unendlich nahe genommen wird. Legt man ihn aber in die Fläche selbst, so hat die Componente der Anziehung einen bestimmten Werth, die Derivirte ${\frac {\partial \,V}{\partial p}}$ ist dagegen völlig unbestimmt.

 Um dies zu beweisen, errichten wir auf der Stelle, in welche der Punkt $(x,\,y,\,z)$ hineinrücken soll, die Normale und tragen auf ihr die unendlich kleinen Strecken $p=+\varepsilon \,$ und $p=-\varepsilon \,$ ab. Die Componente der Anziehung in der Richtung der positiven Normale werde resp. mit $P_{0},\;P_{+\varepsilon },\;P_{-\varepsilon }$ bezeichnet, je nachdem der angezogene Punkt auf der Normale in ihrem Fusspunkte liegt oder um die Strecke $+\varepsilon \,$ oder $-\varepsilon \,$ von dem Fusspunkte entfernt. Ein Flächenelement, in dessen Begrenzung der Fusspunkt der Normale

liegt, werde mit $d\sigma \,$ bezeichnet. Wir nehmen die Begrenzung von $d\sigma \,$ zur Directrix einer Cylinderfläche, deren Erzeugende zu der Normale parallel läuft, und legen zwei Schnittebenen rechtwinklig zur Normale (Fig. 8) im Abstande $+\varepsilon \,$ und resp. $-\varepsilon \,$von dem Fusspunkte.

Fig. 8.

Dadurch werden zwei unendlich kleine cylindrische Räume abgegrenzt, deren gemeinschaftliche Basisfläche $d\sigma \,$ ist, und die nach der Seite der positiven und resp. der negativen Normale zu liegen. Auf jeden dieser beiden Räume wenden wir den Satz von Gauss (§. 12) an. Der Beitrag, welchen die cylindrischen Mantelflächen zu dem Integral liefern, kann vernachlässigt werden, weil wir die Höhe $\varepsilon \,$ so klein nehmen, dass das Verhältnis der Mantelflächen zu $d\sigma \,$ unendlich klein wird. Betrachten wir zuerst den Cylinder, welcher nach der Seite der positiven Normale liegt, so liefert die Basisfläche $d\sigma \,$ zu dem Integral den Beitrag

$P_{0}\,d\sigma ,$

denn die auf $d\sigma \,$ nach dem Innern des Cylinders gezogene Normale fällt mit der positiven Normale der anziehenden Fläche zusammen. Die Gegenfläche liefert den Beitrag

$-P_{+\varepsilon }\,d\sigma ,$

denn ihre nach dem Innern des Cylinders gezogene Normale fällt in die Richtung der negativen Normale der anziehenden Fläche. Im Innern des Cylinders ist keine anziehende Masse vorhanden, sondern nur in seiner einen Begrenzungsfläche $d\sigma \,$. Das Quantum dieser Masse ist $\rho _{0}\,d\sigma$, wenn mit $\rho _{0}\,$ die Dichtigkeit im Fusspunkte der Normale bezeichnet wird. Der Satz von Gauss lautet hier also

$P_{0}\,d\sigma -P_{+\varepsilon }\,d\sigma =2\pi \rho _{0}\,d\sigma ,$

und daraus findet sich

(3)	$P_{+\varepsilon }=P_{0}-2\pi \rho _{0}.$

 In derselben Weise wenden wir den Satz von Gauss auf den zweiten Cylinder an, der nach der Seite der negativen Normale liegt. Hier ergibt sich

$-P_{0}\,d\sigma +P_{-\varepsilon }\,d\sigma =2\pi \rho _{0}\,d\sigma ,$

d. h.

(4)	$P_{-\varepsilon }=P_{0}+2\pi \rho _{0}.$

 Die Componente der Anziehung in der Richtung der positiven Normale nimmt also sprungweise um $2\pi \rho _{0}\,$ ab, wenn der angezogene Punkt von der Seite der negativen Normale in die Fläche eintritt, und aufs neue um $2\pi \rho _{0}\,$, wenn er aus der Fläche nach der Seite der positiven Normale austritt.

 Was nun den Differentialquotienten ${\frac {\partial V}{\partial p}}\,$ betrifft, so hat man

(5)	$\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+\varepsilon }=P_{+\varepsilon },\ \left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-\varepsilon }=P_{-\varepsilon }.$

Denn so lange der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb der Fläche liegt, haben die ersten Differentialquotienten von $V\,$ einerseits und die Componenten der Anziehung andererseits bestimmte, endliche Werthe, und wo dies der Fall ist, gelten die Gleichungen (5). Fällt aber der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in die Fläche hinein, so hat der Differentialquotient ${\frac {\partial V}{\partial p}}$ keinen bestimmten Werth mehr. Er ist gleich $P_{+\varepsilon }\,$ oder gleich $P_{-\varepsilon }\,$, je nachdem man den Punkt auf der positiven oder auf der negativen Normale in deren Fusspunkt hineinrücken lässt, d. h. eben: sein Werth ist unbestimmt.

 Aus den Gleichungen (3), (4), (5) folgt noch

(6)	$\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+\varepsilon }-\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-\varepsilon }=-4\pi \rho _{0}.$

Der Differentialquotient ${\frac {\partial V}{\partial p}}$ nimmt also sprungweise um $4\pi \rho _{0}\,$ ab, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ von der Seite der negativen Normale nach der Seite der positiven Normale durch die Fläche hindurchgeht.

§. 15. Fortsetzung: Die Componente der Anziehung normal zur Fläche.

 Wir haben den Anfangspunkt der Coordinaten an die Stelle der anziehenden Fläche gelegt, in welche der angezogene Punkt hineinrücken soll, die Axe der positiven $x\,$ in die positive Normale, die $\,yz$Ebene in die Tangentialebene. Die Componente der Anziehung in der Richtung der positiven Normale, die wir im vorigen Paragraphen mit $P\,$ bezeichnet haben, ist fur dieses Coordinatensystem dasselbe wie $X\,$ und wird ausgedriickt durch das Integral

(1)	$X=\int \rho {\frac {a-x}{r^{3}}}d\sigma ,$

welches über die ganze anziehende Fläche zu erstrecken ist. Grenzt man nun auf der Fläche ein Gebiet ab, welches den Anfangspunkt der Coordinaten in sich enthält, und dessen Begrenzungslinie von diesem Punkte überall endlichen Abstand hat, so kann man das Integral in zwei Bestandtheile zerlegen. Für den ersten Bestandtheil wird die Integration über das abgegrenzte Gebiet erstreckt, für den zweiten Bestandtheil über die ganze Fläche ausserhalb des abgegrenzten Gebietes. Der angezogene Punkt soll auf der Axe der $x\,$ liegen, jedenfalls in endlicher Entfernung von allen Punkten des äusseren Gebietes. Danach sieht man, dass der zweite Bestandtheil des Integrals eine endliche Function ist, die sich überall stetig ändert, selbst dann noch, wenn der angezogene Punkt beim stetigen Durchlaufen der $x\,$Axe von der negativen Seite durch den Nullpunkt auf die positive Seite übergeht. Diese stetige Function soll mit $f.c.\,$ bezeichnet werden (functio continua). Das abgegrenzte Gebiet, über welches bei dem ersten Bestandtheil von $X\,$ die Integration zu erstrecken ist, werde so gewählt, dass seine Projection in der $yz\,$Ebene einen Kreis vom Radius $S\,$ einfach bedeckt, und dass innerhalb der Integrationsgrenzen der Quotient ${\frac {\rho }{\cos \alpha }}$ überall endlich und stetig variabel ist. Führen wir dann für das abgegrenzte Gebiet dieselben Coordinaten ein, wie in Gleichung (2) des vorigen Paragraphen, so ergibt sich

(2)	$X=\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{S}{\frac {\rho }{\cos \alpha }}{\frac {a-x}{r^{3}}}s\,ds+f.\,c.$

Dabei ist $s^{2}=b^{2}+c^{2}\,$ und $r^{2}=\left(a-x\right)^{2}+s^{2}.$ Wir wollen zur Abkürzung ${\frac {\rho }{\cos \alpha }}=k$ setzen. Zunächst ist das Integral

(3)	$\int \limits _{0}^{S}k{\frac {a-x}{r^{3}}}s\,ds$

zu untersuchen. Wir haben

$r{\frac {\partial r}{\partial s}}=\left(a-x\right){\frac {\partial a}{\partial s}}+s,$

folglich

${\frac {s}{r^{3}}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial s}}-{\frac {a-x}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}=-{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial s}}-{\frac {a-x}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}.$

Multiplicirt man hier auf beiden Seiten mit $\left(a-x\right)k\,ds$ und integrirt, so findet sich

$\int {\frac {a-x}{r^{3}}}\,k\,s\,ds=-\int \left(a-x\right)k\,{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial s}}\,ds-\int {\frac {\left(a-x\right)^{2}}{r^{3}}}\,k\,{\frac {\partial a}{\partial s}}\,ds.$

Den ersten Bestandtheil der rechten Seite transformiren wir durch Integration nach Theilen:

${\begin{aligned}-\int \left(a-x\right)k{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial s}}ds=&-{\frac {\left(a-x\right)k}{r}}\\&+\int {\frac {1}{r}}\left\lbrace \left(a-x\right){\frac {\partial k}{\partial s}}+k{\frac {\partial a}{\partial s}}\right\rbrace ds.\\\end{aligned}}$

Demnach ist

${\begin{aligned}\int {\frac {a-x}{r^{3}}}k\,s\,ds=&-{\frac {\left(a-x\right)k}{r}}+\int {\frac {a-x}{r}}{\frac {\partial k}{\partial s}}ds\\&+\int k{\frac {\partial a}{\partial s}}{\frac {r^{2}-\left(a-x\right)^{2}}{r^{3}}}ds,\\\end{aligned}}$

d. h. kürzer

${\begin{aligned}\int {\frac {a-x}{r^{3}}}k\,s\,ds=&-{\frac {\left(a-x\right)k}{r}}+\int {\frac {a-x}{r}}{\frac {\partial k}{\partial s}}ds\\&+\int k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}ds.\\\end{aligned}}$

Handelt es sich um die bestimmte Integration zwischen den Grenzen $0\,$ und $S\,$, so hat man den Werth von $-{\frac {\left(a-x\right)k}{r}}$ an diesen Grenzen zu ermitteln. Für $s=0\,$ ist $\cos \alpha =1\,$, folglich $k=\rho _{0}\,.$ Ferner ist für $s=0\,$ auch $a=0\,$ und deshalb:

$\left[-{\frac {a-x}{r}}\right]_{0}=-{\frac {-x}{\sqrt {\left(-x\right)^{2}}}}={\begin{cases}+1,&{\rm {{f{\ddot {u}}r}\;x>0,}}\\-1,&{\rm {{f{\ddot {u}}r}\;x<0.}}\end{cases}}$

 Nehmen wir $x=0\,$, so ist

${\frac {a-x}{r}}={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}}={\frac {\frac {a}{s}}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}}{s^{2}}}}}}.$

Es fragt sich also, was aus ${\frac {a}{s}}$ wird für $s=0\,$. Wir legen eine Ebene, welche die Axe der $x\,$ in sich enthält und mit der Axe

der positiven $y\,$ den Winkel $\varphi \,$ einschliesst. Diese Ebene schneidet die $yz\,$Ebene in der geraden Linie, auf welcher $s\,$ gezählt wird.

Fig. 9.

Da nun die $\,yz$Ebene die anziehende Fläche berührt, so ist (Fig. 9) die Axe der $s\,$ im Anfangspunkte der Coordinaten Tangente an der Curve, in welcher die Fläche von der Hülfsebene geschnitten wird, und es findet sich

$\lim {\frac {a}{s}}={\frac {\partial a}{\partial s}}=0\,$ für $s=0.\,$

Folglich lautet das Ergebnis

$\left[-{\frac {a-x}{r}}k\right]_{s=0}={\begin{cases}\;\,\rho _{0}&f{\ddot {u}}r\;x>0,\\\;0&f{\ddot {u}}r\;x=0,\\-\rho _{0}&f{\ddot {u}}r\;x<0.\end{cases}}$

An der oberen Grenze $S\,$ sei $k=K,\ r=R,\ a=A\,$. Die Grössen $K,\,R$ und $A\,$ sind endliche und stetige Functionem von $\varphi \,$. Man findet also

(4)	${\begin{aligned}\int \limits _{0}^{S}{\frac {a-x}{r^{3}}}k\,s\,ds=C&-{\frac {A-x}{R}}K\\&+\int \limits _{0}^{S}{\frac {a-x}{r}}{\frac {\partial k}{\partial s}}ds+\int \limits _{0}^{S}k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}ds,\\\end{aligned}}$

und die Constante $C\,$ hat den Werth $-\rho _{0}\,$ oder $+\rho _{0}\,$ oder $0\,$, je nachdem $x\,$ positiv oder negativ oder Null ist. Die Function ${\frac {A-x}{R}}K$ hat immer einen endlichen Werth, der sich nur unendlich wenig ändert, wenn $x\,$ von unendlich kleinen negativen durch Null zu unendlich kleinen positiven Werthen übergeht.

 Es bleibt noch übrig, die beiden Integrale auf der rechten Seite der Gleichung (4) zu untersuchen. Wir zerlegen das Intervall von $0\,$ bis $S\,$ in zwei, nemlich von $0\,$ bis zu einer beliebig kleinen Grösse $\nu \,$ und von $\nu \,$ bis $S\,$. Die Grösse $\nu \,$ soll so klein gewählt werden, dass ${\frac {\partial k}{\partial s}}$ zwischen $s=0\,$ und $s=\nu \,$ sein Vorzeichen nicht ändert. Da ${\frac {a-x}{r}}$ ein echter Bruch ist, auch für $x=0\,$, so ist der absolute Werth des Integrals

$\int \limits _{0}^{\nu }{\frac {a-x}{r}}{\frac {\partial k}{\partial s}}ds$

jedenfalls kleiner als der absolute Werth von

$\int \limits _{0}^{\nu }{\frac {\partial k}{\partial s}}ds,$

d. h. kleiner als der absolute Werth der Differenz $k_{\nu }-k_{0}\,$. Nun ist aber $k\,$ stetig variabel, folglich kann diese Differenz durch unendliches Abnehmen von $\nu \,$ kleiner gemacht werden als irgend eine angebbare Zahl. Um so mehr wird

(5)	$\int \limits _{0}^{\nu }{\frac {a-x}{r}}{\frac {\partial k}{\partial s}}ds$

beim unendlichen Abnehmen von $\nu \,$ unter jeden angebbaren Werth herabsinken.

 Das Integral

(6)	$\int \limits _{\nu }^{S}{\frac {a-x}{r}}{\frac {\partial k}{\partial s}}ds$

hat einen endlichen Werth, der mit $x\,$ sich stetig ändert, auch für $x=0\,$ und für unendlich kleine positive oder negative $x\,$. Denn eine Aenderung von $x\,$ bewirkt unter dem Integralzeichen nur eine Aenderung des Factors ${\frac {a-x}{r}}$. So lange $s\,$ einen endlichen Werth hat, nimmt dieser Factor Werthe an, die sich nur unendlich wenig unterscheiden, man möge $x=0\,$ oder unendlich klein $=\pm \varepsilon \,$ nehmen. Bei unendlich abnehmendem $s\,$ hat man aber

$\lim {\frac {a-x}{r}}=\lim {\frac {{\frac {a}{s}}-{\frac {x}{s}}}{\sqrt {1+\left({\frac {a-x}{s}}\right)^{2}}}},$

d. h. da $\lim {\frac {a}{s}}=0$ ist:

$\lim {\frac {a-x}{r}}=\lim {\frac {-{\frac {x}{s}}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{s^{2}}}}}}.$

Man kann aber bei eimem gegebenen unendlich kleinen $\varepsilon \,$ das unendlich kleine $\nu \,$ so wählen, dass $\lim {\frac {\varepsilon }{\nu }}=0$ ist. Innerhalb der Integrationsgrenzen $\nu \,$ und $S\,$ ist demnach für ein unendlich kleines $s\,$

$\lim {\frac {a-x}{r}}=0,$

gleichgültig, ob $x=0\,$ oder $=\pm \varepsilon \,$ ist. Damit ist die eben behauptete Eigenschaft des Integrals (6) bewiesen auch für ein unendlich abnehmendes $\nu \,$. Wir gehen über zu dem Integral

(7)	$\int \limits _{0}^{\nu }k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}ds.$

Da ${\frac {\partial a}{\partial s}}=0$ ist für $s=0\,$, so kann man im allgemeinen setzen

${\frac {\partial a}{\partial s}}=\mu s^{\lambda },$

wobei $\lambda \,$ eine positive Constante und $\mu \,$ eine Function von $s\,$ und $\varphi \,$ bedeutet, die innerhalb der Integrationsgrenzen überall von Null verschieden, endlich und stetig variabel ist. Daher findet sich

$\int \limits _{0}^{\nu }k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}\,ds=\int \limits _{0}^{\nu }\mu k{\frac {s^{3}}{r^{3}}}s^{\lambda -1}ds.$

${\frac {s}{r}}$ ist ein echter Bruch, der sich für $x=0\,$ und $\lim s=0\,$ dem Grenzwerthe $+1\,$ annähert. Also ist $\mu k{\frac {s^{3}}{r^{3}}}$ innerhalb der Integrationsgrenzen endlich. Der grösste Werth dieser Function sei $M\,$.

 Dann haben wir

$M{\frac {\nu ^{\lambda }}{\lambda }}>\int \limits _{0}^{\nu }k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}ds,$

und man sieht, dass durch unaufhörliches Abnehmen von $\nu \,$ der Werth des Integrals (7) unter jede angebbare Zahl herabsinkt. Der Werth dieses Integrals ist demnach für ein unendlich kleines $\nu \,$ davon unabhängig, ob $x=0\,$ oder gleich $=\pm \varepsilon$ genommen wird.

 Das Integral

(8)	$\int \limits _{\nu }^{S}k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}\,ds$

hat für ein endliches $\nu \,$ einen bestimmten, endlichen Werth, der sich nur unendlich wenig ändert, wenn $x\,$ von unendlich kleinen negativen Werthen durch Null zu unendlich kleinen positiven Werthen übergeht. Lässt man aber die untere Grenze $\nu \,$ unendlich klein werden, so kommen zu dem Integral nur solche Beiträge hinzu, deren Inbegriff selbst unendlich klein ist, und die deshalb auch bei einer Aenderung von $x\,$ einen wesentlichen Einfluss nicht ausüben.

 Nach diesen Erörterungen kann man nun in Gleichung (4) auf beiden Seiten mit $d\psi \,$ multipliciren und hierauf in Beziehung auf $\psi \,$ von $0\,$ bis $2\pi \,$ integriren. Die rechte Seite gibt dann den Werth von $X\,$. Auf diese Weise bestätigt sich der Satz des vorigen Paragraphen über die sprungweise eintretende Aenderung der zur Fläche normalen Componente der Anziehung.

 Es muss noch erwähnt werden, dass in einem Ausnahmefalle das Integral

$\int \limits _{0}^{S}k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}ds\,$

keinen endlichen Werth behält, nemlich wenn für $s=0\,$ der Differentialquotient ${\frac {\partial a}{\partial s}}=0$ wird wie ${\frac {1}{\lg \left({\frac {1}{s}}\right)}}$. Setzt man

${\frac {\partial a}{\partial s}}={\frac {\mu }{\lg \left({\frac {1}{s}}\right)}},$

so ist

$\int \limits _{0}^{S}k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}\,ds=-\int \limits _{0}^{S}\mu k{\frac {s^{3}}{r^{3}}}\cdot {\frac {d\,\lg \left({\frac {1}{s}}\right)}{\lg \left({\frac {1}{s}}\right)}}.$

Daraus folgt, dass das unbestimmte Integral eine Function von $s\,$ ist, die für $s=0\,$ unendlich gross wird wie $\lg \lg \left({\frac {1}{s}}\right)$. Das bestimmte Integral hat also keinen angebbaren Werth. Dieser Ausnahmefall darf aber ohne Nachtheil von der Untersuchung ganz ausgeschlossen werden.*)^[6]

§. 16. Die anziehende Masse ist über eine unendliche gerade Linie vertheilt.

 Wir gehen zu dem abstracten Falle über, dass die Masse in einer Linie vertheilt ist. Unter der Dichtigkeit $\rho \,$ im Punkte $(a,\,b,\,c)$ dieser Linie verstehen wir den Quotienten, den man erhält, wenn die Masse des an den Punkt anstossenden Linienelementes $ds\,$ durch die Länge dieses Elementes dividirt wird. Die Dichtigkeit soll in jedem Punkte der Linie endlich sein und, wenn nichts anderes ausdrücklich gesagt ist, an keiner Stelle sich sprungweise ändern.

 Zunächst nehmen wir den einfachsten Fall, dass die Masse mit constanter Dichtigkeit in einer unbegrenzten geraden Linie vertheilt ist. Wir legen in sie die Axe der $x\,$. Das an den Punkt $(a,\,0,\,0)$ anstossende Massenelement ist $\rho \,da$. Die Entfernung von dem angezogenen Punkte $(x,\,y,\,z)$ist $r={\sqrt {(a-x)^{2}+y^{2}+z^{2}}}$. Statt mit ${\frac {1}{r}}$ darf man auch mit ${\frac {1}{r}}+\varphi (a)$ multipliciren und hat demnach

(1)	$V=\rho \int \limits _{-\infty }^{+\infty }da\left({\frac {1}{r}}+\varphi (a)\right).$

Denn die Derivirten dieser Function nach $x\,$ oder nach $y\,$ oder nach $z\,$ sind dieselben, als wenn unter dem Integral einfach ${\frac {da}{r}}$ stände. Die Function $\varphi (a)\,$ wird eingeführt, weil das Integral

$\int {\frac {da}{r}}$

keine Bedeutung mehr hat, wenn die Grenzen $-\infty \,$ und $+\infty \,$ genommen werden. Man hat deshalb $\varphi (a)\,$ so einzurichten, dass das Integral (1) einen bestimmten, angebbaren Werth erhalte. Wir setzen

$\varphi (a)=-{\frac {1}{a}}\,$ für $a\geq k\,$ $\varphi (a)=0\,$ für $k>a>-k\,$ $\varphi (a)=+{\frac {1}{a}}\,$ für $a\leq -k\,$

und verstehen unter $k\,$ eine beliebige endliche, positive Grösse. Die unbestimmte Integration

$\int {\frac {da}{\sqrt {(a-x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}}$

lässt sich ausführen. Man erhält

$\lg \lbrace a-x+{\sqrt {(a-x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}\rbrace +C,$

und daher ergibt sich

(2)	$\int \limits _{-k}^{k}{\frac {da}{\sqrt {(a-x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}}=\lg {\frac {(k-x)+{\sqrt {(k-x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}}{-(k+x)+{\sqrt {(k+x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}}}.$

Auf demselben Wege berechnet man

$\int \left({\frac {1}{\sqrt {(a-x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}}-{\frac {1}{a}}\right)\,da$ $=\lg \left\lbrace 1-{\frac {x}{a}}+{\sqrt {\left(1-{\frac {x}{a}}\right)^{2}+{\frac {y^{2}+z^{2}}{a^{2}}}}}\right\rbrace +C,$

folglich

(3)	$\int \limits _{k}^{\infty }\left({\frac {1}{\sqrt {(a-x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}}-{\frac {1}{a}}\right)\,da$

$=\lg 2-\lg \left\lbrace 1-{\frac {x}{k}}+{\sqrt {\left(1-{\frac {x}{k}}\right)^{2}+{\frac {y^{2}+z^{2}}{k^{2}}}}}\right\rbrace$ $=\lg 2\,k-\lg \lbrace (k-x)+{\sqrt {(k-x)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\rbrace .$

 Endlich gelangt man durch einfache Umformungen zu der Gleichung

(4)	$\int \limits _{-\infty }^{-k}\left({\frac {1}{\sqrt {(a-x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}}+{\frac {1}{a}}\right)\,da$

${\begin{aligned}&=\int \limits _{k}^{\infty }\left({\frac {1}{\sqrt {(a+x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}}-{\frac {1}{a}}\right)da\\&=\lg 2-\lg \left\lbrace 1+{\frac {x}{k}}+{\sqrt {\left(1+{\frac {x}{k}}\right)^{2}+{\frac {y^{2}+z^{2}}{k^{2}}}}}\right\rbrace \\&=\lg 2\,k-\lg \lbrace (k+x)+{\sqrt {(k+x)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\rbrace .\\\end{aligned}}$

Aus (2), (3), (4) setzt sich das Integral auf der rechten Seite von (1) durch Addition zusammen. Das Resultat lautet:

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }da\left({\frac {1}{r}}+\varphi (a)\right)=2\,\lg \,2\,k-\lg(y^{2}+z^{2}).$

Die willkürliche Zahl $k\,$ darf man nun $={\frac {1}{2}}$ setzen. Dann wird

(5)	$V=-\rho \lg(y^{2}+z^{2})\,$

oder, wenn man den Abstand des Punktes $(x,\,y,\,z)$ von der anziehenden Linie mit $t\,$ bezeichnet:

(6)	$V=2\,\rho \lg {\frac {1}{t}}.$

Die Potentialfunction ist hier also von $x\,$ unabhängig und daher die Componente der Anziehung in der Richtung parallel zur anziehenden Linie gleich Null. Dies war bei dem unbegrenzten Verlauf der Linie und der constanten Dichtigkeit ihrer Masse vorauszusehen. Man hätte auch den Anfangspunkt der Coordinaten auf der Axe der $x\,$ so verschieben können, dass der angezogene Punkt in die neue $yz\,$Ebene fällt. Dadurch wird $x=0\,$ und $r\,$ geht über in ${\sqrt {a^{2}+t^{2}}}$. Die Integration in (1) bleibt aber von $-\infty$ bis $+\infty$ zu erstrecken.

 Von der Richtigkeit der Gleichung (6) kann man sich auch auf folgendem Wege überzeugen. Man nehme ausser dem Punkte $(0,\,y,\,z)$ noch einen Punkt $(0,\,y_{1},\,z_{1})$ und bezeichne die Potentialfunction der anziehenden Linie auf den ersten Punkt mit $V\,$, auf den anderen mit $V_{1}\,$. Setzt man $y^{2}+z^{2}=t^{2}\,$ und $y_{1}^{2}+z_{1}^{2}=t_{1}^{2}\,$, so hat man

(7)	$V-V_{1}=\rho \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {1}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}}-{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+t_{1}^{2}}}}\right)da.$

Die Integration erstrecken wir zunächst von $-k\,$ bis $+k\,$ und suchen den Grenzwerth für $\lim k=\infty \,$. Nun ist aber

$\int \limits _{-k}^{k}{\frac {da}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}}=\lg {\frac {k+{\sqrt {k^{2}+t^{2}}}}{-k+{\sqrt {k^{2}+t^{2}}}}}=2\,\lg {\frac {k+{\sqrt {k^{2}+t^{2}}}}{t}},$

folglich

$V-V_{1}=2\,\rho \,\lim \lg \left\lbrace {\frac {1+{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{k^{2}}}}}}{1+{\sqrt {1+{\frac {t_{1}^{2}}{k^{2}}}}}}}\cdot {\frac {t_{1}}{t}}\right\rbrace$

für $\lim k=\infty \,$, d. h.

(8)	$V-V_{1}=2\,\rho \left(\lg {\frac {1}{t}}-\lg {\frac {1}{t_{1}}}\right).$

Da aber $V\,$ nur von $t\,$ und $V_{1}\,$ nur von $t_{1}\,$ abhängig ist, so zerfällt die Gleichung (8) in die beiden folgenden:

$V=2\rho \,\lg {\frac {1}{t}}+{\text{const.}},\quad V_{1}=2\,\rho \,\lg {\frac {1}{t_{1}}}+{\text{const.}}$

Die Constante hat in beiden Gleichungen denselben Werth. Es kömmt aber auf sie gar nichts an. Man darf sie also auch $=0\,$ setzen und erlangt so wieder die Gleichung (6).

 Uebrigens ist es auch leicht, die Potentialfunction für den Fall herzustellen, dass die Masse mit constanter Dichtigkeit über einen endlichen Theil der $x\,$Axe (von $a=k\,$ bis $a=k_{1}\,$) vertheilt ist. Man erhält

(9)	$V=\rho \int \limits _{k}^{k_{1}}{\frac {da}{\sqrt {\left(a-x\right)^{2}+t^{2}}}}.$

Die Integration lässt sich ausführen. Wir bringen das Resultat in drei verschiedene Formen, je nachdem $x>k_{1}\,$ oder $k>x\,$ oder $k_{1}>x>k\,$ ist, nemlich

(10)	$V=\rho \,\lg {\frac {x-k+{\sqrt {\left(x-k\right)^{2}+t^{2}}}}{x-k_{1}+{\sqrt {\left(x-k_{1}\right)^{2}+t^{2}}}}}$

für $x>k_{1}\,$; dagegen

(11)	$V=\rho \,\lg {\frac {k_{1}-x+{\sqrt {\left(k_{1}-x\right)^{2}+t^{2}}}}{k-x+{\sqrt {\left(k-x\right)^{2}+t^{2}}}}}$

fur $k>x\,$; und endlich

(12)	${\begin{aligned}V=\;&2\rho \,\lg {\frac {1}{t}}\\&+\rho \,\lg \lbrace k_{1}-x+{\sqrt {\left(k_{1}-x\right)^{2}+t^{2}}}\rbrace \\&+\rho \,\lg \lbrace x-k+{\sqrt {\left(x-k\right)^{2}+t^{2}}}\rbrace \end{aligned}}$

für $k_{1}>x>k\,$.

 Lässt man in (12) $t=0\,$ werden, d. h. den angezogenen Punkt in die anziehende Linie fallen, so wird $V\,$ unendlich wie $2\rho \,\lg {\frac {1}{t}}$, also gerade so wie bei der unbegrenzten anziehenden Linie.

§. 17. Die anziehende Masse ist über eine beliebige Linie vertheilt. Die Gleichung:

$\left(t{\frac {\partial V}{\partial t}}\right)_{t=0}=-2\,\rho .$

 Die anziehende Masse sei über eine krumme Linie vertheilt. Wir bezeichnen mit $s\,$s die Länge des Bogens von dem Anfangspunkte der Curve bis zum Punkte $(a,\,b,\,c)$. Im Endpunkte sei $s=s_{1}\,$. Die Dichtigkeit $\rho \,$ wird als eine stetige Function von $s\,$ vorausgesetzt. Wir legen den Anfangspunkt der Coordinaten in einen Punkt der Curve, in welchem die Krümmungsradien nicht unendlich klein sind. Die Tangente der Curve in diesem Punkte wählen wir zur Axe der $x\,$. Der angezogene Punkt soll in der $yz\,$Ebene liegen. Es handelt sich hauptsächlich um die Frage, was aus der Potentialfunction wird, wenn der angezogene Punkt unendlich nahe an den Anfangspunkt der Coordinaten heranrückt. Wir haben

(1)	$r^{2}=a^{2}+(b-y)^{2}+(c-z)^{2},\,$

(2)	$V=\int \limits _{0}^{s_{1}}{\frac {\rho \,ds}{r}}.$

 Zur Abkürzung werde $y^{2}+z^{2}=t^{2}\,$ gesetzt. Bezeichnen wir mit $\rho _{0}\,$ die Dichtigkeit im Anfangspunkte der Coordinaten, so lässt sich leicht beweisen, dass für $t=0\,$ die Function $V\,$ unendlich wird wie $2\,\rho _{0}\,\lg {\frac {1}{t}}\,$. Um den Beweis zu führen , bringen wir $V\,$ zunächst in die Form

(3)	$V=\int \limits _{k}^{k_{1}}{\frac {\rho \,da}{r{\frac {da}{ds}}}}=\int \limits _{k}^{k1}{\frac {\rho \,da}{r\cos \lambda }}.$

Hier sind $k\,$ und $k_{1}\,$ die Werthe von $a\,$ für $s=0\,$ und resp. $s=s_{1}\,$, und $\lambda \,$ ist der Winkel, welchen die Tangente der Curve mit der Axe der positiven $x\,$ einschliesst. Denken wir uns nun die Axe der $x\,$ von der Stelle $a=k\,$ bis zu der Stelle $a=k_{1}\,$ mit anziehender Masse von der constanten Dichtigkeit $\rho _{0}\,$ belegt und bezeichnen die davon herrührende Potentialfunction mit $V'\,$, so findet sich

$V'=\rho _{0}\int \limits _{k}^{k_{1}}{\frac {da}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}}=\rho _{0}\int \limits _{k}^{k_{1}}{\frac {da}{R}}.$

 Aus (3) und (4) erhält man

(5)	$V-V'=\int \limits _{k}^{k_{1}}da\left\lbrace {\frac {\rho }{r\,\cos \lambda }}-{\frac {\rho _{0}}{R}}\right\rbrace .$

Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung hat einen bestimmten, endlichen Werth, so lange $t\,$ von Null verschieden. Für $t=0\,$ nimmt der Factor von $da\,$ an einer Stelle zwischen den Integrationsgrenzen die Form $\infty -\infty \,$ an, nemlich an der Stelle $a=0\,$. Um den wahren Werth zu ermitteln, bringen wir die Function in die Form

${\frac {{\frac {a}{r}}{\frac {\rho }{\cos \lambda }}-{\frac {a\,\rho _{0}}{R}}}{a}}.$

Nun kann man leicht zeigen, dass für $t=0\,$ die Brüche ${\frac {a}{r}}$ und ${\frac {a}{R}}$ sich derselben endlichen Grenze annähern, wenn man $a\,$ in $0\,$ übergehen lässt. Denn es ist

${\frac {a}{R}}={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{a^{2}}}}}},$ ${\frac {a}{r}}={\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {b}{a}}-{\frac {y}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{a}}-{\frac {z}{a}}\right)^{2}}}}.$

Lässt man $a\,$ in Null übergehen, so werden gleichzeitig auch $b\,$ und $c\,$ zu Null. Man erhält $\lim {\frac {b}{a}}={\frac {db}{da}},\lim {\frac {c}{a}}={\frac {dc}{da}}$. Beide Differentialquotienten sind aber gleich Null für $a=0\,$, weil die Axe der $x\,$ im Anfangspunkte die Curve berührt. Für $a=0\,$ hat man also

$\lim {\frac {a}{R}}=\lim {\frac {a}{r}}=\lim {\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{a^{2}}}}}}.$

Dieser gemeinschaftliche Grenzwerth ist aber jedenfalls verschieden von ${\frac {1}{0}}$, d. h. er ist endlich, selbst wenn man $t=0\,$ nehmen will.

 Man kann also schreiben

$\lim \left\lbrace {\frac {{\frac {a}{r}}{\frac {\rho }{\cos \lambda }}-{\frac {a\rho _{0}}{R}}}{a}}\right\rbrace =\lim {\frac {a}{R}}\cdot \lim \left\lbrace {\frac {{\frac {\rho }{\cos \lambda }}-\rho _{0}}{a}}\right\rbrace$

und es handelt sich jetzt nur noch um den Grenzwerth von

${\frac {{\frac {\rho }{\cos \lambda }}-\rho _{0}}{a}}.$

Dieser findet sich nach den Regeln der Differentialrechnung

$={\frac {{\frac {1}{\cos \lambda }}{\frac {d\rho }{ds}}-{\frac {\rho }{\cos \lambda ^{2}}}{\frac {d\,\cos \lambda }{ds}}}{\frac {da}{ds}}}$ $={\frac {1}{\cos \lambda ^{2}}}{\frac {d\rho }{ds}}-{\frac {\rho }{\cos \lambda ^{3}}}{\frac {d\,\cos \lambda }{ds}}.$

Nun ist aber $\cos \lambda =1\,$ für $a=0\,$. Die Differentialquotienten ${\frac {d\,\cos \lambda }{ds}}$ und ${\frac {d\rho }{ds}}$ sind endlich. Ist also $t=0\,$, so erhält man selbst an der Stelle $a=0\,$ zu dem Integral (5) nur einen unendlich kleinen Beitrag. Alle übrigen Elemente des Integrals sind ebenfalls unendlich klein. Folglich hat das Integral einen bestimmten, endlichen Werth auch für $t=0\,$, und die Differenz $V-V'\,$ ist eine endliche und stetige Function von $t\,$. Die Function $V'\,$ ist aber in Gleichung (12) des vorigen Paragraphen ausgedrückt. Wir haben demnach

(6)	$V=2\rho _{0}\lg {\frac {1}{t}}+f.\,c.,$

wenn mit $f.\,c.$ eine endliche und stetige Function bezeichnet wird. Das eben gewonnene Resultat lässt sich auch aus dem Satze von Gauss (§. 12) herleiten. Wir machen auf der Curve ein Element $ds\,$, das als geradlinig angesehen werden darf, zur Axe eines geraden Kreiscylinders mit dem Radius $t\,$ (Fig. 10). Da $t\,$ in Null übergehen soll, so kann man es so klein wählen, dass das Verhältnis $t\,:\,ds$ gleich Null wird. Die Endflächen des Cylinders sind dann verschwindend klein im Vergleich zu der Mantelfläche,

und daher darf der Beitrag zu dem Integral $\int N\,d\sigma$ welcher von den Endflächen herrührt, vernachlässigt werden.

Fig. 10.

Für einen Punkt der Mantelfläche fällt die Richtung der nach innen gezogenen Normale zusammen mit der Richtung der abnehmenden $t\,$. Es ist also hier

$N=-{\frac {\partial V}{\partial t}},$

und diese Componente der Anziehung hat wegen der unendlich kleinen Dimensionen des Cylinders denselben Werth in allen Punkten seiner Mantelfläche. Danach findet sich das Integral $\int N\,d\sigma$ hier

$=-{\frac {\partial V}{\partial t}}\cdot 2\pi \,t\,ds.$

Die anziehende Masse liegt im Innern des Cylinders, in seiner Axe. Bezeichnen wir die Dichtigkeit in einem Punkte von $ds\,$ mit $\rho _{0}\,$, so lautet der Satz von Gauss:

$-{\frac {\partial V}{\partial t}}\cdot 2\pi \,t\,ds=4\pi \,\rho _{0}\,ds,$

d. h. nach gehöriger Reduction

(7)	$\lim \left(t{\frac {\partial V}{\partial t}}\right)_{t=0}=-2\rho _{0}.$

 Daraus geht ohne weiteres hervor, dass für ein unendlich ahnehmendes $t\,$ die Function $V\,$ unendlich wird wie $2\rho _{0}\lg {\frac {1}{t}}$.

§. 18. Recapitulation.

 Wir recapituliren noch einmal die gewonnenen Resultate.

 Die anziehende Masse kann in einzelnen getrennt liegenden Punkten concentrirt sein. Dann ist

$V=\sum {\frac {m}{r}},$

und die Summirung bezieht sich auf sämmtliche Massenpunkte. Oder die Masse ist stetig vertheilt über einen Raum, resp. über eine Fläche, resp. über eine Linie. In diesen drei Fällen ist

$V=\int {\frac {dm}{r}},$

und man hat die Integration üiber das ganze mit Masse erfüllte geometrische Gebilde auszudehnen. Unter allen Umständen genügt die Potentialfunction in einem Punkte $(x,\,y,\,z)\,$, wo keine Masse vorhanden ist, der Gleichung von Laplace:

(1)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.$

 Wir wollen voraussetzen, dass kein Theil der anziehenden Masse in unendlicher Entfernung liege.

 Ist die Masse über einen Raum stetig vertheilt, so genügt die Potentialfunction ausserhalb dieses Raumes der partiellen Differentialgleichung (1), innerhalb desselben aber [§. 13 (4)] der partiellen Differentialgleichung

(2)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-4\pi \rho ,$

und es bedeutet $\rho \,$ die Dichtigkeit in dem inneren Punkte $(x,\,y,\,z)$. Die Function $V\,$ und ihre ersten Derivirten sind im ganzen unendlichen Raume endlich und stetig variabel.

 Bei stetiger Vertheilung der Masse auf einer Fläche genügt die Potentialfunction $V\,$ im ganzen unendlichen Raume der partiellen Differentialgleichung (1). Die Function $V\,$ selbst ist überall endlich und stetig variabel. Die ersten Derivirten ${\frac {\partial V}{\partial x}}$, ${\frac {\partial V}{\partial y}}$, ${\frac {\partial V}{\partial z}}$ sind endlich und stetig variabel, so lange der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in endlicher, wenn auch noch so kleiner Entfernung von der Fläche sich befindet. Für einen Punkt in der Fläche oder unendlich nahe an derselben hat man eine Verschiebung $ds\,$ in der Fläche von einer Verschiebung $dp\,$ auf der Normale zu unterscheiden. Die Derivirte ${\frac {\partial V}{\partial s}}$ ist in der Fläche endlich und stetig variabel. Sie weicht nur unendlich wenig ab von den Werthen der gleichnamigen Derivirten in einem ausserhalb der Fläche unendlich nahe gelegenen Punkte auf der einen wie auf der anderen Seite. Die Derivirte ${\frac {\partial V}{\partial p}}$ändert sich sprungweise beim Durchgang durch die Fläche, und zwar so, dass

(3)	$\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+\varepsilon }-\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-\varepsilon }=-4\pi \rho .$

Mit $\rho \,$ ist die Dichtigkeit in dem Punkte der Fläche bezeichnet, auf dessen Normale die unendlich kleinen Abstände $+\varepsilon$ und $-\varepsilon$ gezählt werden.

 Bei stetiger Vertheilung der Masse in einer Linie (§. 16) genügt die Potentialfunction $V\,$ im ganzen unendlichen Raume der Differentialgleichung (1). Sie ist endlich und stetig variabel, so lange der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in endlicher Entfernung von der anziehenden Linie bleibt. Nimmt man seinen Abstand $t\,$ von der Linie unendlich klein, so wird die Function $V\,$ unendlich wie $2\rho \lg {\frac {1}{t}}$, und es gilt demnach die Gleichung:

(4)	$\lim \left(t{\frac {\partial V}{\partial t}}\right)=-2\rho$ für $t=0.\,$

Hier bedeutet $\rho \,$ die Dichtigkeit an der Stelle der anziehenden Linie, in welche der Punkt $(x,\,y,\,z)$ für $t=0\,$ hineinrückt.

 Ist endlich die Masse $m\,$ in einem Punkte concentrirt, so gilt für den ganzen unendlichen Raum die partielle Differentialgleichung (1). Die Function $V\,$ ist endlich und stetig variabel, so lange der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in endlicher Entfernung von dem anziehenden Punkte liegt. Bezeichnet $r\,$ diese Entfernung, so findet sich leicht

(5)	$rV=-r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}=m,$

und diese Gleichung gilt noch fur $r=0\,$.

 Je nach der Art der Massenvertheilung gilt also neben der partiellen Differentialgleichung (1) noch eine von den Gleichungen (2), (3), (4), (5). Zur vollständigen Bestimmung der Function $V\,$ sind nun noch Gleichungen hinzuzufügen, in denen sich ausspricht, was aus der Function und ihren ersten Derivirten wird, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in unendliche Entfernung rückt.

 Wir setzen

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\,$

und bemerken, dass

$\lim {\frac {R}{r}}=\lim {\sqrt {\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{\left(a-x\right)^{2}+\left(b-y\right)^{2}+\left(c-z\right)^{2}}}}=1$

ist, wenn keine der Coordinaten $a,\,b,\,c$ unendlich und $\lim R=\infty$ genommen wird. Liegt also die anziehende Masse ganz im endlichen Gebiete, so hat man bei stetiger Vertheilung:

$\lim \int {\frac {R}{r}}dm=\int dm=M;\,$

dagegen bei einer Vertheilung in discreten Punkten:

$\lim \sum m{\frac {R}{r}}=\sum m=M,$

d. h. es ist in allen Fällen

(6)	$\lim RV=M\,$ für $\lim R=\infty .\,$

Ferner sieht man leicht, dass

$\lim {\frac {a-x}{r}}=\lim {\frac {R}{r}}\left({\frac {a}{R}}-{\frac {x}{R}}\right)=-\cos \left(Rx\right)$

ist für $\lim R=\infty \,$. Dabei ist die Linie $R\,$ in der Richtung von dem Anfangspunkte der Coordinaten nach dem unendlich fernen Punkte $(x,\,y,\,z)$ genommen. Die letzte Gleichung lässt sich auch so schreiben:

$\lim \,\cos \left(rx\right)=-\cos \left(Rx\right)$ für $\lim R=\infty .$

Also hat man bei stetiger Massenvertheilung

$\lim R^{2}\int {\frac {a-x}{r^{3}}}dm=-\cos \left(Rx\right)\int dm;\,$

dagegen bei einer Vertheilung in discreten Punkten

$\lim R^{2}\sum {\frac {a-x}{r^{3}}}m=-\cos \left(Rx\right)\sum m.$

Entsprechende Gleichungen finden sich, wenn $y\,$ und resp. $z\,$ statt $x\,$ genommen wird. Dadurch erlangt man die Resultate:

(7)	$\lim \left(R^{2}{\frac {\partial V}{\partial x}}\right)=-M\cos \left(Rx\right),$

(8)	$\lim \left(R^{2}{\frac {\partial V}{\partial y}}\right)=-M\cos \left(Ry\right),$

(9)	$\lim \left(R^{2}{\frac {\partial V}{\partial x}}\right)=-M\cos \left(Rx\right).$

 Durch die partielle Differentialgleichung (1), die Gleichungen (6) bis (9) und eine der Gleichungen (2) bis (5) ist die Potentialfunction für jeden Punkt $(x,\,y,\,z)$ vollständig und eindeutig bestimmt. Dieser wichtige Satz soll im §. 22 bewiesen werden.

Zweiter Abschnitt.

Der Satz von Green.

§. 19. Hülfssatz aus der Analysis.

 Wir schalten einen Hülfssatz ein, der häufig in Anwendung kommt.

 Es sei $T\,$ ein vollständig begrenzter Raum und $F\,$ eine Function von $x,\,y,\,z$, die im Innern des Raumes $T\,$ an jeder Stelle einen endlichen, bestimmten Werth hat und bei einer stetigen Verschiebung des Punktes $(x,\,y,\,x)$ sich stetig ändert. Wir wollen das Integral

(1)	$J=\iiint {\frac {\partial F}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz$

über den ganzen Raum $T\,$ erstrecken. Die Coordinaten-Ebenen mögen so gelegt sein, dass jedem Punkte im Innern und in der Oberfläche von $T\,$ positive Coordinaten $x,\,y,\,z\,$ angehören, In der $yz\,$Ebene zeichnen wir ein Rechteck, dessen einer Eckpunkt, dem Anfangspunkte zunächst gelegen, die Coordinaten $0,\,y,\,z$ hat, und dessen Seiten von der Länge $dy,\,dz$ parallel den Axen liegen. (Fig. 11.) Ueber diesem Rechteck als Grundfläche errichten wir ein Prisma, dessen Kanten zu der Axe der $x\,$ parallel laufen. Der Punkt $(0,\,y,\,z)$ sei so gewählt, dass das Prisma den Raum $T\,$ durchschneide. Es sind dann ebenso viele Austritts- wie Eintrittsstellen vorhanden, und zwar findet abwechselnd Ein- und Austritt statt. Wir bezeichen mit $x_{1},x_{3},...\,x_{2m-1}$ Werthe von $x\,$ an den Stellen, wo die im Punkte $(0,\,y,\,z)$ errichtete Kante des Prisma in den Raum $T\,$ eintritt, und mit $x_{2},x_{4},...\,x_{2m}$die Werthe von $x\,$ an den Stellen, wo sie austritt. Diese Abscissen sind nach ihrer Grösse geordnet:

$x_{1}<x_{2}<x_{3}<\ldots x_{2m-1}<x_{2m}.$

Die Werthe von $F\,$ an den Ein- und Austrittsstellen sollen mit $F_{1},F_{2},F_{3},\ldots F_{2m}$ bezeichnet werden. Dann hat man zunächst

$\int {\frac {\partial F}{\partial x}}dx=-F_{1}+F_{2}-F_{3}+-\ldots +F_{2m}.\,$

Das Prisma schneidet an den Ein- und Austrittsstellen aus der

Fig. 11.

Oberfläche des Raumes $T\,$ Elemente heraus, die wir mit $d\sigma _{1},\,d\sigma _{2},\ldots d\sigma _{2m}$ bezeichnen. Denkt man sich nun die im §. 11 gebrauchten Coordinaten $q,s,n\,$ eingeführt, so ist ${\frac {\partial x}{\partial n}}\,$ der Cosinus des Winkels, welchen die auf $d\sigma \,$ nach dem Innern des Raumes $T\,$ gezogene Normale mit der Richtung der positiven $x\,$ einschliesst. Dieser Cosinus ist positiv an allen Eintrittsstellen und negativ an allen Austrittsstellen. Nun ist aber das Rechteck $dy\,dz$ die Projection aller Flächenelemente $d\sigma \,$, welche das Prisma aus der Oberfläche von $T\,$ ausschneidet. Man hat also die Gleichungen

$dy\,dz=\left({\frac {\partial x}{\partial n}}\,d\sigma \right)_{1}=\left({\frac {\partial x}{\partial n}}\,d\sigma \right)_{3}=\ldots =\left({\frac {\partial x}{\partial n}}\,d\sigma \right)_{2m-1}$

und

$-dy\,dz=\left({\frac {\partial x}{\partial n}}\,d\sigma \right)_{2}=\left({\frac {\partial x}{\partial n}}\,d\sigma \right)_{4}=\ldots =\left({\frac {\partial x}{\partial n}}\,d\sigma \right)_{m}.$

 Folglich ergibt sich

(2)	$-dy\,dz\int {\frac {\partial F}{\partial x}}dx=-\sum F{\frac {\partial x}{\partial n}}d\sigma .$

Das Zeichen $\sum$ auf der rechten Seite von (2) bedeutet, dass die Werthe der Function $F{\frac {\partial x}{\partial n}}d\sigma$ an allen Eintritts- und Austrittsstellen summirt werden sollen. Es bleibt dann noch die doppelte Integration nach $y\,$ und nach $z\,$ auszuführen. Dies geschieht, wenn man auf der rechten Seite von (2) nicht nur die Beiträge nimmt, welche ein einzelnes Elementarprisma liefert, sondern die Beiträge von allen Prismen, die den Raum $T\,$ überhaupt treffen. D. h. die Summe auf der rechten Seite der Gleichung (2) wird zu einem Integral, welches über die ganze Oberfläche von $T\,$ zu erstrecken ist. Danach lautet das Resultat:

(3)	$\iiint {\frac {\partial F}{\partial x}}dx\,dy\,dz=-\int F{\frac {\partial x}{\partial n}}d\sigma .$

Die Integration auf der linken Seite ist über den ganzen Raum $T\,$, auf der rechten Seite über seine Oberfläche auszudehnen.

 Auf demselben Wege findet man noch die etwas allgemeinere Gleichung:

(4)	$\iiint \left({\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}\right)dx\,dy\,dz$

$=-\int \left(F_{1}{\frac {\partial x}{\partial n}}+F_{2}{\frac {\partial y}{\partial n}}+F_{3}{\frac {\partial z}{\partial n}}\right)d\sigma .$

Dabei ist nur vorausgesetzt, dass die von $x,\,y,\,z$ abhängigen Functionen $F_{1},\,F_{2},\,F_{3}$ im Innern des Körpers endlich und stetig variabel sind.

§. 20. Satz von Green.

 Es seien $U\,$ und $V\,$ zwei Functionen von $x,\,y,\,z$, deren Werthe wir für jeden Punkt im Innern des Raumes $T\,$ als gegeben ansehen. Wir betrachten das Integral

(1)	$J=\iiint \left({\frac {\partial U}{\partial x}}{\frac {\partial V}{\partial x}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\frac {\partial V}{\partial y}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\frac {\partial V}{\partial z}}\right)dx\,dy\,dz,$

welches über den ganzen Raum $T\,$ erstreckt werden soll. Nun ist

${\frac {\partial U}{\partial x}}{\frac {\partial V}{\partial x}}={\frac {\partial \left(U{\frac {\partial V}{\partial x}}\right)}{\partial x}}-U{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},$

und zwei entsprechende Gleichungen ergeben sich, wenn man die Differentiationen nach $y\,$ und nach $z\,$ vornimmt. Folglich kann man schreiben:

${\begin{aligned}J=&-\iiint U\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz\\&+\iiint {\frac {\partial \left(U{\frac {\partial V}{\partial x}}\right)}{\partial x}}dx\,dy\,dz\\&+\iiint {\frac {\partial \left(U{\frac {\partial V}{\partial y}}\right)}{\partial y}}dx\,dy\,dz\\&+\iiint {\frac {\partial \left(U{\frac {\partial V}{\partial z}}\right)}{\partial z}}dx\,dy\,dz.\\\end{aligned}}$

Auf die drei letzten Integrale lässt sich die Transformation des vorigen Paragraphen anwenden, wenn vorausgesetzt wird, dass $U{\frac {\partial V}{\partial x}},\,U{\frac {\partial V}{\partial y}},\,U{\frac {\partial V}{\partial z}}$ im Innern des Raumes $T\,$ endliche und stetige Functionen sind. Man erhält danach

${\begin{aligned}J=&-\iiint U\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz\\&-\int U\left({\frac {\partial V}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial n}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial n}}+{\frac {\partial V}{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial n}}\right)d\sigma \\\end{aligned}}$

oder kürzer

(2)	${\begin{aligned}J=&-\iiint U\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz\\&-\int U{\frac {\partial V}{\partial n}}d\sigma .\\\end{aligned}}$

Das erste Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung ist über den Raum $T\,$, das zweite über seine Oberfläche zu erstrecken.

 Die Voraussetzung, unter welcher das Integral (1) in die Form (2) gebracht werden kann, ist erfüllt, wenn $U\,$ und $V\,$ und die ersten Derivirten von $V\,$ im Innern des Raumes $T\,$ endlich und stetig variabel sind. Setzt man dasselbe auch noch von den ersten Derivirten der Function $U\,$ voraus, so gilt auch die Transformation:

${\begin{aligned}J=&-\iiint V\left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz\\&-\int V{\frac {\partial U}{\partial n}}d\sigma .\\\end{aligned}}$

 Aus (2) und (3) geht dann ohne weiteres der Satz hervor:

(4)

$\iiint \left\lbrack V\left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)-U\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)\right\rbrack dx\,dy\,dz$

$+\int \left(V{\frac {\partial U}{\partial n}}-U{\frac {\partial V}{\partial n}}\right)d\sigma$ $=0.\,$

 Dieser Satz ist gültig, wenn im Innern des Raumes $T\,$ die Functionen $U\,$ und $V\,$, sowie die ersten Derivirten von $U\,$ und von $V\,$ endlich und stetig variabel sind.

 Treten im Innern von $T\,$ in einzelnen Flächen oder Linien oder Punkten Unstetigkeiten von $U\,$ oder von $V\,$ oder von den ersten Derivirten dieser Functionen auf, so hat man den Raum $T\,$ in zwei Bestandtheile $T_{1}\,$ und $T_{2}\,$ zu zerlegen, so dass alle Unstetigkeiten der Functionen in $T_{2}\,$ liegen. Auf den Raum $T_{1}\,$ darf man dann den Satz (4) anwenden, und es ist die Frage aufzuwerfen, welchen Grenzwerthen sich die Integrale annähern, wenn man den Raum $T_{2}\,$ unendlich abnehmen lässt. Sind solche bestimmte, endliche Grenzwerthe vorhanden, so gilt der Satz (4) auch für den Raum $T\,$. Das dreifache Integral ist über den ganzen Raum $T\,$ zu erstrecken, das Oberflächen-Integral über seine Oberfläche und über die Umhüllungen der Unstetigkeitsstellen.

 Dieser Satz ist von Green aufgestellt im 3. Artikel einer Abhandlung, die zuerst in Nottingham 1828 erschienen und später in Crelle's Journal, Bd. 39, 44, 47, wieder abgedruckt ist.*)^[7]

§. 21. Herstellung der Potentialfunction im Innern eines vorgeschriebenen Raumes. Werth in der Oberfläche und partielle Differentialgleichung im Innern gegeben.

 Der Satz von Green dient zu der Lösung der Aufgabe: die Potentialfunction $V'\,$ für jeden Punkt $(x',\,y',\,z')$ im Innern eines vollständig begrenzten Raumes $T\,$ zu bestimmen, wenn ihr Werth in jedem Punkte der Oberfläche gegeben und ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ im Innern von $T\,$ bekannt ist.

 Wir setzen $r={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}$ und verstehen unter $U_{1}\,$ eine Function von $x,\,y,\,z$, die der Gleichung von Laplace Genüge leistet, im Innern des Raumes $T\,$ überall endlich und stetig variabel ist und in der Oberfläche den Werth $-{\frac {1}{r}}$ annimmt. Dann soll

(1)	$U=U_{1}+{\frac {1}{r}}\,$

genommen werden. Die Function $U\,$ genügt also im Innern des Raumes $T\,$ der partiellen Differentialgleichung

(2)	${\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}=0.\,$

Sie ist im Innern dieses Raumes endlich und stetig variabel, ausser im Punkte $(x',\,y',\,z')$, wo sie unendlich wird wie ${\frac {1}{r}}$, und sie hat in der Oberfläche von $T\,$ den Werth Null. Es soll später (§. 34) bewiesen werden, dass eine solche Function existirt.

 Der Punkt $(x',\,y',\,z')$ ist zunächst zum Mittelpunkt einer Kugel vom Radius $r=c\,$ zu machen, deren Oberfläche ganz im Innern des Raumes $T\,$ liegen soll. Das Innere dieser Kugel ist der Raum $T_{2}\,$. Ihre Oberfläche und die Oberfläche von $T\,$ bilden zusammen die Begrenzung des Raumes $T_{1}\,$.

 Im Innern des Raumes $T_{1}\,$ erfüllen $U\,$ und $V\,$ die Bedingungen, unter denen die Gleichung (4) des vorigen Paragraphen Gültigkeit hat. Wir dürfen also von dieser Gleichung hier Gebrauch machen, wenn das Raum-Integral auf das Innere von $T_{1}\,$ und das Oberflächen-Integral über seine Oberfläche erstreckt wird. Es handelt sich dann um die Frage, welches Resultat für $\lim c=0\,$ zu Stande kommt.

 Das Raum-Integral

$\iiint V\left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz$

nimmt vermöge der partiellen Differentialgleichung (2) den Werth Null an, man mag es über den Raum $T_{1}\,$ oder über den ganzen Raum $T\,$ ausdehnen. Es kömmt also, selbst für $\lim c=0\,$, nicht weiter in Betracht.

 Hiernach bleibt in der Gleichung (4) des vorigen Paragraphen von dem Raum-Integrale nur noch übrig

$-\iiint U\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz.$

Da der Raum $T\,$ völlig begrenzt ist, also seine Begrenzung ganz im endlichen Gebiete liegt, so hat dieses Integral, über den Raum $T_{1}\,$, erstreckt, einen bestimmten, endlichen Werth. Dies gilt noch selbst für $\lim c=0\,$. Denn innerhalb der Kugel vom Radius $c\,$ kann man als Raumelement einführen

$r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi ,$

und da $U\,$ nur die erste Potenz von $r\,$ im Nenner hat, so verschwinden die Beiträge, welche für $\lim c=0\,$ zu dem Raum-Integral hinzukommen. Man hat dasselbe also für diesen Grenzfall über den ganzen Raum $T\,$ zu erstrecken, und es behält einen bestimmten, endlichen Werth.

 Das Oberflächen-Integral in der Gleichung (4) des vorigen Paragraphen ist aus zwei Bestandtheilen zusammengesetzt. Der erste rührt von der Oberfläche des Raumes $T\,$ her und reducirt sich auf

$\int V{\frac {\partial U}{\partial n}}d\sigma .$

Der andere ist das über die Umhüllung des Punktes $(x',\,y',\,z')$ ausgedehnte Integral. Hier fällt die nach dem Innern von $T_{1}\,$ gezogene Normale mit der Richtung der wachsenden $r\,$ zusammen. Der zweite Bestandtheil des Oberflächen-Integrals lautet also

$\int \left(V{\frac {\partial U}{\partial r}}-U{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=c}c^{2}\,d\omega ,$

wenn mit $d\omega \,$ das Oberflächen-Element einer Kugel vom Radius 1 bezeichnet wird. Dieses letzte Integral lässt sich nun auch so schreiben

$c^{2}\int \left(V{\frac {\partial U_{1}}{\partial r}}-U_{1}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=c}d\omega$ $+c^{2}\int \left\lbrack V{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right\rbrack _{r=c}d\omega$ $=c^{2}\int \left(V{\frac {\partial U_{1}}{\partial r}}-U_{1}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=c}d\omega$ $-\int V\,d\omega -c\int \left({\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=c}d\omega .$

Für $\lim c=0\!$ bleibt nur das Integral $-\int \;Vd\omega ,\!$ und wenn man den Werth von $V\,$ im Punkte $(x^{'},y^{'},z^{'})\!$ mit $V\,$ bezeichnet, so ergibt sich

$\lim \int \left(V\,{\frac {\partial U}{\partial r}}-U\,{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=c}\,c^{2}d\omega =-4\pi V'.$

Aus der Gleichung (4) des vorigen Paragraphen erhalten wir also

(3)	${\begin{aligned}4\pi V^{'}=&-\iiint U\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)\;dx\;dy\;dz\\&+\int V{\frac {\partial U}{dn}}d\sigma ,\\\end{aligned}}$

und hier ist das dreifache Integral über den Raum $T,\!$ das Oberfächen-Integral über seine Begrenzung zu erstrecken.

 Dabei ist vorausgesetzt, dass die Function $V$ und ihre ersten Derivirten innerhalb des Raumes $T\!$ überall endlich und stetig bleiben.

 Es fragt sich noch, welche Modificationen eintreten, wenn der Raum $T\!$ sich ins Unendliche erstreckt. In diesem Falle hat man zu der schon vorhandenen Begrenzung noch eine solche hinzuzufügen, welche alle aus dem endlichen Gebiete austretenden Bestandtheile von $T\!$ ausschliesst. Es fragt sich dann, was aus den Integralen auf der rechten Seite der Gleichung (3) wird, wenn man die neu hinzugefügten Begrenzungstheile so ins Unendliche rücken lässt, dass der gegebene Raum $T\!$ wieder zu Stande kommt. Behalten die Integrale in diesem Falle bestimmte, endliche Werthe, so bleibt die Gleichung (3) in Gültigkeit.

 Sind Unstetigkeitsstellen der Function $V\!$ oder der ersten Derivirten vorhanden, so kommen zu dem Oberflächen-Integral noch Beiträge hinzu. Wir unterscheiden die drei Falle, dass die Unstetigkeit in einer Fläche, oder in einer Linie oder in einem Punkte stattfindet.

 Erstens. Wenn die Unstetigkeit in einer Fläche auftritt, so legen wir ihr unendlich nahe zwei Flächen, welche auf der positiven und auf der negativen Normale der Unstetigkeitsfläche überall die constante Strecke $+\varepsilon \!$ und resp. $-\varepsilon \!$ abschneiden. Wir wollen dann $z\!$ unendlich klein werden lassen. Diese beiden Flächen und ein Cylinder von der unendlich kleinen Höhe $2\varepsilon \!$ welcher dem Rande der Unstetigkeitsfläche unendlich nahe liegt,

bilden die vollständige Begrenzung eines Raumes, der die Unstetigkeitsstelle in sich enthält (Fig. 12).

Fig. 12.

Ueber diese Begrenzung ist das Oberflächen-Integral noch zu erstrecken. Die Cylinderfläche kann dabei ausser Betracht bleiben, weil über sie ausgedehnt das Integral unendlich klein ist. Wir bezeichnen mit $+p\!$ und resp. $-p\!$ einen Abstand, der von der Unstetigkeitsstelle aus auf der positiven und resp. auf der negativen Normale genommen wird. Dann ist auf der Seite der positiven Normale

${\frac {\partial V}{\partial n}}=\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0},\quad {\frac {\partial U}{\partial n}}=\left({\frac {\partial U}{\partial p}}\right)ad{+0}$

und auf der Seite der negativen Normale

${\frac {\partial V}{\partial n}}=-\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0},\quad {\frac {\partial U}{\partial n}}=-\left({\frac {\partial U}{\partial p}}\right)_{-0}.\,$

Der angehängte Index $\pm 0$ drückt aus, dass die Derivirte an der Stelle $p\pm \varepsilon$ genommen und $\varepsilon$ der Null unendlich angenähert werden soll. Erstreckt man nun das Oberflächen-Integral über die beiden Hüllen der Unstetigkeitsfläche, so erhält man auf der Seite der positiven Normale

$\int \left\lbrace V_{+0}\left({\frac {\partial U}{\partial p}}\right)_{+0}-U_{+0}\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}\right\rbrace d\sigma$

und auf der Seite der negativen Normale

$-\int \left\lbrace V_{-0}\left({\frac {\partial U}{\partial p}}\right)_{-0}-U_{-0}\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0}\right\rbrace d\sigma .\,$

Es ist aber $U_{+0}=U_{-0}\!$ und $\left({\frac {\partial U}{\partial p}}\right)_{+0}=\left({\frac {\partial U}{\partial p}}\right)_{-0}\,$. Zu dem Oberflächen-Integral auf der rechten Seite der Gleichung (3) kommt also in diesem Falle der Beitrag hinzu:

(4)	$\int d\sigma \left\{{\frac {\partial U}{\partial p}}\,(V_{+0}-V_{-0}-U\left[\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}-\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0}\right]\right\}$

und dieses Integral ist über die Unstetigkeitsfläche zu erstrecken.

 Wenn zweitens die Unstetigkeit in einer Linie auftritt, so machen wir diese zur Axe einer cylindrischen Fläche. Die Querschnitte rechtwinklig zur Axe seien Kreise vom Radius $t\!$, deren Mittelpunkt auf der Axe liegt. (Fig. 13.) Ein solcher Querschnitt

Fig. 13.

wird dadurch festgelegt, dass man den Bogen $s\!$ angibt, der auf der Unstetigkeitslinie zwischen ihrem Anfangspunkte und dem Mittelpunkte des Querschnittes liegt. In dem Querschnitte selbst nehmen wir für einen Punkt seiner Begrenzung Polar-Coordinaten $t,\;\varphi \!$. Die cylindrische Fläche und die beiden Endflächen (der erste und der

letzte Querschnitt: $s=0,\;s=s_{1}$) bilden dann die Begrenzung des Raumes $T_{2}\!$, der bei Anwendung des Satzes von Green zunächst aus dem Integrationsgebiete auszuschliessen ist. Wir nehmen das Verhältniss $t:s_{1}\!$ unendlich klein, so dass der Inhalt der Endflächen gegen die cylindrische Mantelfläche vernachlässigt werden kann. Das Oberflächen-Integral ist dann nur über die letztere zu erstrecken. Für sie fällt die nach dem Innern des Raumes $T_{1}\!$ gerichtete Normale mit der Richtung der wachsenden $t\!$ zusammen. Es ist also hier

${\frac {\partial V}{\partial n}}={\frac {\partial V}{\partial t}},\quad {\frac {\partial U}{\partial n}}={\frac {\partial U}{\partial t}}.\,$

 Auf der rechten Seite der Gleichung (3) ist demnach zu dem Oberflächen-Integral der Beitrag

$\lim \int \limits _{0}^{s_{1}}ds\int \limits _{0}^{2\pi }t\left(V\,{\frac {\partial U}{\partial t}}-U\,{\frac {\partial V}{\partial t}}\right)\,d\varphi$ für $t=0\!$

hinzuzufügen. Wir haben im §. 17. gesehen, dass die Function $V\!$ in einer Linie unstetig wird, wenn über diese Linie eine endliche Masse vertheilt ist. Es ist dann

$V=-2\rho \lg t+V_{1},\,$ ${\frac {\partial V}{\partial t}}=-{\frac {2\rho }{t}}+{\frac {\partial V_{1}}{\partial t}},\,$

und es bleiben für $t=0\,$ die Functionen $V_{1}\!$ und $\,{\frac {\partial V_{1}}{\partial t}}\,$ endlich und stetig. Daraus folgt

$\lim \int \limits _{0}^{2\pi }t\;V_{1}{\frac {\partial U}{\partial t}}d\varphi =0,\,$ $\lim \int \limits _{0}^{2\pi }t\;U{\frac {\partial V_{1}}{\partial t}}d\varphi =0.\,$

 Betrachten wir in einem und demselben Querschnitte zwei einander diametral gegenüberliegende Punkte der cylindrischen Fläche, so zeigt sich, dass in ihnen $\lg \;t$ gleiche Werthe besitzt, dagegen ${\frac {\partial U}{\partial t}}$ entgegengesetzte Werthe, wenn $t\!$ unendlich klein genommen wird. Also heben sich in dem Integral

$-2\int \limits _{0}^{2\pi }t\;\rho \;\lg \;t{\frac {\partial U}{\partial t}}d\varphi$

je zwei Elemente auf, und man erhält

$\lim 2\int \limits _{0}^{2\pi }t\;\rho \;\lg \;t{\frac {\partial U}{\partial t}}d\varphi =0$ für $t=0.\,$

 Demnach bleibt von dem Oberflächen-Integral nur noch der Bestandtheil

$\lim \int \limits _{0}^{s_{1}}ds\int \limits _{0}^{2\pi }t\;{\frac {2\rho }{t}}\,U\;d\varphi =2\;\pi \int \limits _{0}^{s_{1}}2\rho \;U\;ds$

übrig. Beachtet man also, dass

$-2\rho =\lim {\left(t\;{\frac {\partial V}{\partial t}}\right)}_{0}$

ist, so ergibt sich

(5)	$-2\pi \int \limits _{0}^{s_{1}}U\;ds\cdot \lim \left(t\;{\frac {\partial V}{\partial t}}\right)_{0}$

als der Beitrag, welcher auf der rechten Seite der Gleichung (3) zu dem Oberflächen-Integral hinzukommt. Die Integration in (5) ist über die Linie zu erstrecken, in welcher die Function $V\,$ unstetig wird.

 Es werde endlich drittens die Function $V\!$ in einem Punkte unstetig. Dies tritt ein, wenn in dem fraglichen Punkte eine endliche Masse $m\!$ concentrirt ist. Wir machen ihn zum Mittelpunkte einer Kugelfläche vom Radius ${\mathfrak {r}}$. Mit $d\omega \!$ soll das Flächenelement auf einer Kugel vom Radius 1 bezeichnet werden. Dann lautet der Beitrag, welcher jetzt zu dem Oberflächen-Integral hinzukommt:

$\lim \int \left(V\,{\frac {\partial U}{\partial {\mathfrak {r}}}}-U\,{\frac {\partial V}{\partial {\mathfrak {r}}}}\right){\mathfrak {r}}^{2}d\omega \ \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ {\mathfrak {r}}=0.$

Es ist aber hier

$V={\frac {m}{\mathfrak {r}}}+V_{1},\,$ ${\frac {\partial V}{\partial {\mathfrak {r}}}}=-{\frac {m}{{\mathfrak {r}}^{2}}}+{\frac {\partial V_{1}}{\partial {\mathfrak {r}}}},\,$

und es bleiben $V_{1}\!$ und $\;{\frac {\partial V_{1}}{\partial {\mathfrak {r}}}}\;$ endlich und stetig für ${\mathfrak {r}}=0\,$. Folglich erhalten wir

$\lim \int \left(V\,{\frac {\partial U}{\partial {\mathfrak {r}}}}-U\,{\frac {\partial V}{\partial {\mathfrak {r}}}}\right){\mathfrak {r}}^{2}d\omega =\lim \int U\,m\,d\omega =4\,\pi \,m\,U_{0},\,$

wenn mit $U_{0}\!$ der Werth von $U\!$ in dem Unstetigkeitspunkte der Function $V\!$ bezeichnet wird. In diesem letzten Falle hat man also auf der rechten Seite der Gleichung (3) zu dem Oberflächen-Integral den Beitrag

(6)	$4\,\pi \,m\,U_{0}\,$

hinzuzufügen.

§. 22. Die Potentialfunction ist durch die Kennzeichen des §. 18 im ganzen unendlichen Raume eindeutig bestimmt.

 Die im vorigen Paragraphen gewonnenen Resultate bieten zunächst die Mittel dar, die im §. 18 aufgestellte Behauptung zu beweisen, dass durch die partielle Differentialgleichung von Laplace [§.18: (1)], durch eine der Gleichungen [§.18: (2), (3), (4), (5)] und die vier Nebenbedingungen [§. 18: (6), (7), (8), (9)] die Potentialfunction vollständig und eindeutig bestimmt ist.

 Um diesen Beweis zu führen, setzen wir fest, dass $T\!$ der ganze unendliche Raum sein soll. Die Hülfsfunction $U\!$ hat in diesem Falle einen sehr einfachen Ausdruck, nemlich

(1)	$U={\frac {1}{r}}={\frac {1}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}.\,$

Denn diese Function genügt den aufgestellten Bedingungen. Sie ist gleich Null in der Begrenzung des Raumes $T\!$, d. h. in unendlicher Entfernung. Sie ist überall endlich und stetig, ausser im Punkte $(x',\,y',\,z')$, wo sie unendlich wird wie ${\frac {1}{r}}$. Sie erfüllt im ganzen unendlichen Raume die partielle Differentialgleichung

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}=0.$

 Als Begrenzung des Raumes $T\!$ können wir eine Kugelfläche nehmen, deren Mittelpunkt im Punkte $(x',\,y',\,z')$ liegt und deren Radius $R\!$ unendlich gross ist. Der Satz des vorigen Paragraphen lautet dann:

(2)	${\begin{aligned}4\pi V'=&-\iiint {\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)dx\;dy\;dz\\&+\int V{\frac {\partial U}{\partial n}}-U{\frac {\partial V}{\partial n}}d\sigma .\\\end{aligned}}$

Das dreifache Integral ist über den ganzen unendlichen Raum auszudehnen, das Oberflächen-Integral über die Kugel vom Radius $R\!$ und über die Hüllen der Unstetigkeitsstellen der Function $V\!$ und ihrer ersten Derivirten. Die Beiträge, welche diese Unstetigkeitsstellen liefern, sind für jeden einzelnen Fall in (4), (5), (6) des vorigen Paragraphen ausgedrückt. Es handelt sich also nur noch um die Kugel vom Radius $R\!$. Für sie ist

${\frac {\partial V}{\partial n}}=-{\frac {\partial V}{\partial R}},\quad {\frac {\partial U}{\partial n}}=-{\frac {\partial U}{\partial R}}={\frac {1}{R^{2}}},\quad d\sigma =R^{2}d\omega ,\,$

wenn $d\omega \!$ das Oberflächen-Element einer Kugel vom Radius $1$ bezeichnet. Folglich erhalten wir

$\int \left(V\,{\frac {\partial U}{\partial n}}-U\,{\frac {\partial V}{\partial n}}\right)d\sigma =\int d\omega \left(V+R{\frac {\partial V}{\partial R}}\right).$

Nun geht aber aus der Nebenbedingung des §. 18, (6) ohne weiteres hervor

$\lim V={\frac {M}{R}}=0$ für $R=\infty .\,$

Multiplicirt man ferner auf beiden Seiten der Gleichungen (7), (8), (9) des §.18 resp. mit $\cos(Rx),\;\cos(Ry),\;\cos(Rz)\!$ und addirt die Resultate, so ergibt sich

$\lim R^{2}\left({\frac {\partial V}{\partial x}}\,\cos(Rx)+{\frac {\partial V}{\partial y}}\,\cos(Ry)+{\frac {\partial V}{\partial z}}\,\cos(Rz)\right)=-M$

oder kürzer

$\lim \left(R^{2}\,{\frac {\partial V}{\partial R}}\right)=-M,\,$

und daraus sieht man, dass

$\lim \left(R\,{\frac {\partial V}{\partial R}}\right)=0$ für $R=\infty .\,$

Das Integral, über die Kugelfläche vom Radius $R\!$ erstreckt, ist also Null, und deshalb hat man in (2) das Oberflächen-Integral nur noch über die Hüllen der Unstetigkeitsstellen von $V\!$ und seinen ersten Derivirten auszudehnen.

 Es sei nun erstens die anziehende Masse über einen im endlichen Gebiete völlig begrenzten Körper stetig vertheilt und nirgends eine endliche Masse über eine Fläche oder eine Linie ausgebreitet oder in einzelnen Punkten concentrirt. Dann sind die Function $V\!$ und ihre ersten Derivirten überall endlich und stetig. Es fällt also in (2) das Oberflächen-Integral gänzlich weg. Die Summe der zweiten Derivirten ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ ist aber Null, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb des anziehenden Körpers liegt, und gleich $-4\pi \rho \!$, wenn er innerhalb liegt. Dies ist in den partiellen Differentialgleichungen (1) und (2) des §.18 ausgesprochen. Danach erhält man aus der Gleichung (2) des gegenwärtigen Paragraphen, wenn man noch den Factor $4\pi \!$ auf beiden Seiten weglässt:

(3)	$V'=\iiint \rho \,{\frac {dx\,dy\,dz}{r}}.$

Die dreifache Integration ist über den mit Masse erfüllten Raum auszudehnen.

 Wir nehmen zweitens den Fall, dass die anziehende Masse allein ausgebreitet ist über eine im endlichen Gebiete völlig begrenzte Fläche, und dass in einzelnen Linien oder Punkten eine endliche Masse nicht vorhanden ist. Alsdann ist im ganzen unendlichen Raume

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.$

Ferner ist $V\!$ überall endlich und stetig variabel, folglich in un- endlicher Nähe der anziehenden Fläche $V_{+0}=V_{-0}\!$. Danach wird aus der Gleichung (2), wenn man den Beitrag (4) des vorigen Paragraphen in Betracht zieht:

$4\pi \,V'=-\int {\frac {1}{r}}\left\{\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}-\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0}\right\}d\sigma .$

Hier hat $p\!$ dieselbe Bedeutung wie in der Gleichung (3) des §. 18. Vermöge dieser Gleichung erhalten wir also

(4)	$V'=\int \rho \,{\frac {d\sigma }{r}}.$

Die Integration ist über die anziehende Fläche auszudehnen.

 Es sei drittens die anziehende Masse nur über eine Linie ausgebreitet und keine endliche Masse in einzelnen Punkten concentrirt. Dann ist in dem ganzen unendlichen Raume

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.\,$

In unendlicher Nähe der anziehenden Linie gilt die Gleichung (4) des §. 18. Folglich erhalten wir zu dem Oberflächen-Integral der Gleichung (2) den Beitrag [§. 21, (5)]:

$4\pi \int \rho \,{\frac {ds}{r}},\,$

und die Gleichung (2) gibt jetzt

(5)	$V'=\int \rho \,{\frac {ds}{r}}.\,$

Das Integral ist über die anziehende Linie zu erstrecken.

 Wenn endlich viertens die anziehende Masse $m\!$ in einem einzigen Punkte $(x,\,y,\,z)$ concentrirt ist, so gilt wieder für den unendlichen Raum die partielle Differentialgleichung

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.\,$

Ausserdem haben wir die Gleichung (5) des §. 18. In Folge davon ergibt sich zu dem Oberflächen-Integral der Gleichung (2) der Beitrag [§. 21, (6)]

${\frac {4\,\pi \,m}{r}},\,$

und wir erhalten aus Gleichung (2):

(6)	$V'={\frac {m}{r}}.\,$

 Aus den Gleichungen (3), (4), (5), (6) ersieht man, dass für jeden der zu betrachtenden Fälle die Differentialgleichungen des §. 18 und die dort aufgestellten Unstetigkeits- und Nebenbedingungen je eine einzige, völlig bestimmte Function liefern, und zwar stimmt der Ausdruck dieser Function, wie er aus den Vorschriften des §. 18 hervorgeht, überein mit dem Ausdrucke, welcher als Definition der Potentialfunction aufgestellt ist. Man erkennt dies unmittelbar durch Vergleichung der Ausdrücke (3), (4), (5), (6) mit resp. §. 2, (5), §. 14, (1), §. 17, (2), §. 2, (2). Damit ist die Behauptung des §. 18 bewiesen.

§. 23. Beispiel: Die Green'sche Function $U\!$ für das Innere eines rechtwinkligen Parallelepipedon.

 In §. 21 ist allgemein gezeigt worden, wie man mit Hülfe des Satzes von Green die Potentialfunction $V'\!$ für jeden Punkt $(x',\,y',\,z')$ im Innern eines Raumes $T\!$ bestimmt, wenn ihr Werth überall in der Oberfläche gegeben und die Summe ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ im Innern bekannt ist.

 Die Green’sche Hülfsfunction $U\!$ soll hier für einen besonderen Fall hergestellt werden. Der Raum $T\!$ sei ein rechtwinkliges Parallelepipedon. Wir legen die Coordinaten so, dass der Anfangspunkt in den Mittelpunkt des Parallelepipedon fällt, dass die Begrenzungs-Ebenen zu zweien je einer Coordinaten-Ebene parallel laufen und dass sie auf den Axen resp. die Strecken $\pm \,{\frac {a}{2}},\,\pm \,{\frac {b}{2}},\,\pm \,{\frac {c}{2}}$ abschneiden.

 Nach der Methode von Green' ist es erforderlich, eine Function $U\!$ herzustellen, welche

 1) in der Oberfläche überall den Werth Null hat;

 2) im Punkte $(x',\,y',\,z')$ unendlich wird wie der reciproke Werth der Entfernung von diesem Punkte, übrigens aber im Innern des Parallelepipedon endlich und stetig variabel ist;

 3) im Innern des Parallelepipedon der partiellen Differentialgleichung Genüge leistet:

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}=0.$

 Wir legen drei Schaaren von Ebenen, rechtwinklig resp. gegen die Axen der $x\!$, der $y\!$, der $z\!$. Je zwei benachbarte Ebenen derselben Schaar sollen in constantem Abstande von einander sein und zwar in dem Abstande $a\!$ für die erste, $b\!$ für die zweite, $c\!$ für die dritte Schaar. Die beiden Ebenen jeder Schaar, welche dem Anfangspunkte der Coordinaten zunächst liegen, sollen je eine Begrenzungsfläche des gegebenen Parallelepipedon in sich enthalten. Auf diese Weise wird der unendliche Raum in lauter congruente Parallelepipeda zerlegt. Eins von ihnen ist das gegebene Parallelepipedon selbst.

 Wir gehen nun darauf aus, die Function $U\!$ für jeden Punkt des unendlichen Raumes herzustellen, so dass sie der dritten Bedingung überall genügt, und dass sie entgegengesetzte Werthe besitzt in je zwei Punkten, die zu irgend einer der gelegten Ebenen symmetrisch liegen. Durch diese Bestimmung wird erreicht, dass die erste Bedingung erfüllt wird. Soll dann auch noch der zweiten Genüge geschehen, so muss die Function unendlich werden in allen Punkten, deren Coordinaten von der Form sind

$ka+(-1)^{k}x',\quad mb+(-1)^{m}y',\quad nc+(-1)^{n}z',$

und zwar positiv oder negativ unendlich, je nachdem $k+m+n\!$ eine gerade oder eine ungerade Zahl ist. Für $k\!$ sind alle ganzen Zahlen von $-\infty$ bis $+\infty$ zu setzen, ebenso für $m\!$ und für $n\!$. Man erhält alle Unstetigkeitspunkte der Function $U\!$, wenn man jeden Werth von $k\!$ der Reihe nach mit allen Werthen von $m\!$ zusammenstellt und zu jeder solchen Zusammenstellung der Reihe nach alle Werthe von $n\!$ hinzusetzt. Hiernach erhält man als Ausdruck für $U\!$ eine dreifach unendliche Reihe, nemlich

(1)	$U=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\,\sum _{m=-\infty }^{\infty }\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{k+m+n}}{\sqrt {N}}},\,$

wobei zur Abkürzung $N\!$ geschrieben ist für die Summe der drei Quadrate

$\lbrace ka+(-1)^{k}x'-x\rbrace ^{2}+\lbrace mb+(-1)^{m}y'-y\rbrace ^{2}+\lbrace nc+(-1)^{n}z'-z\rbrace ^{2}.\,$

Von diesem Ausdrucke für $U\!$ ist leicht nachzuweisen, dass er den aufgestellten Bedingungen Genüge leistet. Er befriedigt die Gleichung von Laplace, weil jeder Summand es thut. Die Nenner der einzelnen Summanden drücken den Abstand des Punktes $(x,\,y,\,z)$ von je einem der Unstetigkeitspunkte aus. Es wird also jedesmal ein Nenner in vorgeschriebener Weise zu Null, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in einen Unstetigkeitspunkt hineinrückt. Endlich nimmt die Function entgegengesetzte Werthe an für irgend welche zwei Punkte, die symmetrisch liegen zu irgend einer Ebene aus den drei Schaaren. Betrachten wir z. B. zwei Punkte $(x_{1},\,y_{1},\,z_{1})$ und $(x_{2},\,y_{2},\,z_{2})$, die zu einer Ebene der ersten Schaar symmetrisch liegen. Dies ist der Fall, wenn die Coordinaten den Gleichungen genügen

$x_{1}=h\,a+(-1)^{h}\xi ,\quad y_{1}=y,\quad z_{1}=z,\,$ $x_{2}=(h+1)a+(-1)^{h+1}\xi ,\quad y_{2}=y,\quad z_{2}=z,\,$

worin $h\,$ irgend eine ganze Zahl ist. Die Punkte liegen symmetrisch zu der Ebene.

(2)	$x=\left(h+{\frac {1}{2}}\right)a.\,$

Der Ausdruck unter dem dreifachen Summenzeichen unterscheidet sich für die beiden Punkte nur in dem ersten Quadrat unter dem Wurzelzeichen des Nenners. Dasselbe lautet für den ersten Punkt

(3)	$\lbrace (k-h)a+(-1)^{k}\,x'-(-1)^{h}\xi \rbrace ^{2}\,$

und für den zweiten Punkt

(4)	$\lbrace (k-h-1)a+(-1)^{k}\,x'-(-1)^{h+1}\xi \rbrace ^{2}.\,$

Statt des Ausdruckes (3) kann man auch schreiben

$\lbrace (-1)^{h}(k-h)a+(-1)^{k-h}x'-\xi \rbrace ^{2}\,$

oder, wenn man $(-1)^{h}(k-h)=\lambda \,$ setzt:

(5)	$\lbrace \lambda a+(-1)^{\lambda }x'-\xi \rbrace ^{2}.\,$

Da $k\,$ allen ganzen Zahlen von $-\infty$ bis $+\infty$ der Reihe nach gleichgesetzt werden soll, so gilt dasselbe von $\lambda \,$. Für den ersten Punkt erhalten wir also

(6)	$U_{1}=\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{h}(-1)^{\lambda +m+n}}{\sqrt {N_{1}}}},\,$

wobei zur Abkürzung $N_{1}\,$ geschrieben ist für die Summe der drei Quadrate

$\lbrace \lambda a+(-1)^{\lambda }x'-\xi \rbrace ^{2}+\lbrace mb+(-1)^{m}y'-y\rbrace ^{2}+\lbrace nc+(-1)^{n}z'-z\rbrace ^{2}.\,$

Statt des Ausdruckes (4) kann man schreiben

$\lbrace (-1)^{h+1}(k-h-1)a+(-1)^{k-h-1}x'-\xi \rbrace ^{2}\,$

oder, wenn man jetzt $(-1)^{h+1}(k-h-1)=\lambda \,$ setzt:

(7)	$\lbrace \lambda \,a+(-1)^{\lambda }x'-\xi \rbrace ^{2}.\,$

Auch hier hat man bei der Summirung die Grösse $\lambda \,$ allen ganzen Zahlen von $-\infty$ bis $+\infty$ der Reihe nach gleichzusetzen. Folglich ergibt sich für den zweiten Punkt

(8)	$U_{2}=\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{h+1}(-1)^{\lambda +m+n}}{\sqrt {N_{1}}}},\,$

und es hat hier $N_{1}\,$ dieselbe Bedeutung wie vorher in der Gleichung (6). Aus (6) und (8) erkennt man ohne weiteres, dass

(9)	$U_{2}=-U_{1}\,$

ist. Nimmt man nun speciell $\xi =(-1)^{h}{\frac {a}{2}}$, so fallen beide Punkte zusammen in einen und denselben Punkt der Ebene (2). Da die Function $U\,$ einwerthig ist, so muss in diesem Falle

$U_{2}=U_{1}\,$

sein, und dies gibt mit Rücksicht auf (9):

(10)	$U_{1}=U_{2}=0.\,$

 Auf demselben Wege ist der Beweis zu führen, wenn die beiden Punkte symmetrisch liegen zu einer Ebene der zweiten oder der dritten Schaar. Demnach erfüllt der Ausdruck (1) auch die erste der aufgestellten Bedingungen.

 Dies kann man auch aus der mechanischen Bedeutung der durch (1) ausgedrückten Function $U\,$ erkennen. Danach ist nemlich $U\,$ die Potentialfunction für den Fall, dass in jedem Unstetigkeitspunkte eine Masseneinheit concentrirt ist, und zwar die positive oder die negative, je nachdem $k+m+n\,$ gerade oder ungerade ist. Da eine positive Masse den Punkt $(x,\,y,\,z)$ anzieht, so ist die Bedeutung der negativen Masse leicht zu erkennen. Sie stösst den Punkt ab. Nehmen wir nun irgend eine Ebene aus den drei Schaaren, so findet sich zu jedem anziehenden Massenpunkte ein abstossender, so dass beide in Beziehung auf die Ebene symmetrisch liegen. Von einem Punkte $(x,\,y,\,z)$ in dieser Ebene haben demnach beide Massenpunkte gleiche Entfernung. Ihre Massen sind entgegengesetzt gleich. Sie liefern also zu der Potentialfunction den Beitrag Null. Dies gilt aber von allen mit Masse erfüllten Punkten, und daher ist der Werth der Potentialfunction für jeden Punkt $(x,\,y,\,z)$ in der Ebene überhaupt gleich Null.

 Wir können die Function $U\,$ auch in Form eines bestimmten Integrals ausdrücken. Es ist nemlich

$\int \limits _{0}^{\infty }e^{-s}\,{\frac {ds}{\sqrt {s}}}={\sqrt {\pi }}.$

Setzt man $s=Nt\,$, so ergibt sich

${\frac {1}{\sqrt {t}}}\int \limits _{0}^{\infty }e^{-Nt}\,{\frac {dt}{\sqrt {t}}}={\frac {1}{\sqrt {N}}}.$

 Wir erhalten danach für $U\,$ den neuen Ausdruck:

(11)	$U=\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }(-1)^{k+m+n}\,e^{-Nt}\,{\frac {dt}{\sqrt {t}}}.$

Hier ist nun freilich zuerst die Integration und nachher sind die drei Summirungen auszuführen. Man darf aber auch zuerst die drei Summirungen vornehmen und dann integriren, also:

(12)	$U={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }\,{\frac {dt}{\sqrt {t}}}\left(\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }(-1)^{k+m+n}\,e^{-Nt}\right).$

Die dreifach unendliche Reihe in (12) zerfällt ohne weiteres in das Product der drei einfachen Reihen:

$\sum _{-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\,e^{-t[ka+(-1)^{k}x'-x]^{2}},$ $\sum _{-\infty }^{\infty }(-1)^{m}\,e^{-t[mb+(-1)^{m}y'-y]^{2}},$ $\sum _{-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\,e^{-t[nc+(-1)^{n}z'-z]^{2}}.$

 Jede dieser Reihen lässt sich leicht durch die Functionen $\vartheta$ ausdrücken, welche Jacobi in die Theorie der elliptischen Functionen eingeführt hat.

§. 24. Beispiel: Potentialfunction eines homogenen Ellipsoids.

 Ehe wir in der allgemeinen Untersuchung der Function $U\,$ weiter gehen, soll die Potentialfunction in einigen besonderen Fällen betrachtet werden.

 Der anziehende Körper sei ein Ellipsoid mit den Halbaxen $a,\,b,\,c$. Die Dichtigkeit $\rho \,$ soll constant sein. Der Punkt $(x,\,y,\,z)$ liegt in der Oberfläche des Ellipsoids, wenn

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-1=0$

ist. Er liegt ausserhalb oder innerhalb des Ellipsoids, je nachdem

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-1$

positiv oder negativ. Um die Unterscheidung dieser drei Fälle möglichst zu vereinfachen, betrachten wir die Function

(1)	$F(s)={\frac {x^{2}}{s+a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{s+b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{s+c^{2}}}-1.$

 Dieselbe wird unendlich für drei Werthe von $s\,$, nemlich für $s=-a^{2}\,$, für $s=-b^{2}\,$, und für $s=-c^{2}\,$. Bezeichnen wir mit $\varepsilon \,$ eine unendlich kleine positive Grösse, so zeigt sich

$F(-a^{2}-\varepsilon )=-\infty ,\;F(-b^{2}-\varepsilon )=-\infty ,\;F(-c^{2}-\varepsilon )=-\infty ,$ $F(-a^{2}+\varepsilon )=+\infty ,\;F(-b^{2}+\varepsilon )=+\infty ,\;F(-c^{2}+\varepsilon )=+\infty .$

 Ferner ist

$F(-\infty )=-1,\quad F(+\infty )=-1.$

Nimmt man also $a^{2}>b^{2}>c^{2}\,$ und betrachtet $s\,$ als Abscisse, $F(s)\,$ als Ordinate einer ebenen Curve (Fig. 14), so ist der Verlauf derselben leicht zu überblicken. Wenn die Abscisse stetig wachsend durch eine der drei Unstetigkeitsstellen hindurchgeht, so springt die Ordinate von $-\infty \,$ auf $+\infty \,$. Abgesehen von den

Fig. 14.

Unstetigkeitsstellen, nimmt mit wachsendem $s\,$ die Ordinate fortwährend ab, weil

$F'(s)=-{\frac {x^{2}}{(s+a^{2})^{2}}}-{\frac {y^{2}}{(s+b^{2})^{2}}}-{\frac {z^{2}}{(s+c^{2})^{2}}}$

durchaus negativ ist. Die Curve schneidet demnach die Abscissenaxe je einmal zwischen $-a^{2}\,$ und $-b^{2}\,$, zwischen $-b^{2}\,$ und $-c^{2}\,$ und zwischen $-c^{2}\,$ und $+\infty \,$. Die Werthe von $s\,$ an diesen drei Schnittstellen sind die Wurzeln der Gleichung $F(s)=0\,$. Nun ist aber, wie schon hervorgehoben, $F(0)\,$ positiv oder Null oder negativ, je nachdem der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb des Ellipsoids liegt, oder in seiner Oberfläche, oder innerhalb. Daraus ergibt sich leicht für die Gleichung $F(s)=0\,$, dass ihre grösste Wurzel positiv ist im ersten, Null im zweiten, negativ im dritten Falle. Die beiden anderen Wurzeln sind immer negativ. Wir wollen mit $\sigma \,$ nur die grösste Wurzel der Gleichung $F(s)=0\,$ bezeichnen.

 Zur Abkürzung werde

$\left({\frac {x}{\sigma +a^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{\sigma +b^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{\sigma +c^{2}}}\right)^{2}=l$

gesetzt. Betrachtet man in der Gleichung $F(\sigma )=0\,$ die vier Grössen $x,\,y,\,z,\,\sigma$ als variabel und $\sigma \,$ als Function von $x,\,y,\,z$ so ergibt sich durch Differentiation

${\frac {\partial \sigma }{\partial x}}={\frac {2x}{(a^{2}+\sigma )l}},\quad {\frac {\partial \sigma }{\partial y}}={\frac {2y}{(b^{2}+\sigma )l}},\quad {\frac {\partial \sigma }{\partial z}}={\frac {2z}{(c^{2}+\sigma )l}}.$

 So lange der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb oder in der Oberfläche des Ellipsoids liegt, sind die Grössen $a^{2}+\sigma ,\;b^{2}+\sigma ,\;c^{2}+\sigma \,$ positiv und verschieden von Null. Die Grösse $l\,$ ist positiv und wird nur dann zu Null, wenn entweder $x=y=z=0\,$ oder wenn eine dieser Coordinaten unendlich gross ist. Wir wollen die Function $\sigma \,$ nur für solche Punkte $(x,\,y,\,z)$ betrachten, die ausserhalb oder in der Oberfläche liegen. Unter dieser einschränkenden Voraussetzung sind ${\frac {\partial \sigma }{\partial x}},{\frac {\partial \sigma }{\partial y}},{\frac {\partial \sigma }{\partial z}}$ endlich und stetig variabel, so lange $x,\,y,\,z$ endlich sind. Die Function $\sigma \,$ ist deshalb ebenfalls stetig variabel. Sie ist unter der eben gemachten Voraussetzung positiv und bleibt endlich, so lange keine von den Coordinaten $x,\,y,\,z$ unendlich gross genommen wird. Für einen unendlich entfernten Punkt $(x,\,y,\,z)$ ist $\sigma =+\infty \,$.

 Der Ausdruck für die Potentialfunction soll hier nicht abgeleitet werden. Wir wollen ihn als gegeben ansehen und den Beweis führen, dass er allen Bedingungen genügt, durch welche die Potentialfunction vollständig und eindeutig charakterisirt wird (§§. 18. 22).

 Wir setzen zur Abkürzung

${\sqrt {\left(1+{\frac {s}{a^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{b^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{b^{2}}}\right)}}=D$[8]

und bezeichnen mit $\Delta \,$ den Werth, welchen $D\,$ annimmt für $s=\sigma \,$.

 Es soll nun bewiesen werden, dass

(2)	$V=\pi \rho \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds}{D}}\left(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}+s}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}+s}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}+s}}\right),$

wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern des Ellipsoids liegt; und

(3)	$V=\pi \rho \int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {ds}{D}}\left(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}+s}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}+s}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}+s}}\right),$

wenn er ausserhalb liegt. Man kann die Ausdrücke (2) und (3) auch in die Form bringen

$V=\pi \rho \left\lbrace \int \limits ^{\infty }{\frac {ds}{D}}-x^{2}\int \limits ^{\infty }{\frac {ds}{D(a^{2}+s)}}-y^{2}\int \limits ^{\infty }{\frac {ds}{D(b^{2}+s)}}-z^{2}\int \limits ^{\infty }{\frac {ds}{D(c^{2}+s)}}\right\rbrace .$

 Die untere Grenze der Integration ist $0\,$ oder $\sigma \,$, je nachdem die Gleichung (2) oder (3) zu Stande kommen soll.

 Liegt der angezogene Punkt im Innern des Ellipsoids, so ist $V\,$ eine rationale ganze Function zweiten Grades von $x,\,y,\,z$, und da diese Variabeln durchaus endliche Werthe behalten, so ist die Function $V\,$ für jeden Punkt im Innern des Ellipsoids endlich und stetig variabel.

 Liegt der angezogene Punkt ausserhalb des Ellipsoids, so hängt die Function $V\,$ von $x,\,y,\,z$ direct ab, insofern die Factoren $x^{2},\,y^{2},\,z^{2}$ auftreten, und indirect, insofern die untere Integrationsgrenze $\sigma \,$ eine Function von $x,\,y,\,z$ ist. Die Aenderung, welche $V\,$ bei einer unendlich kleinen Verschiebung des angezogenen Punktes erleidet, setzt sich also aus zweien zusammen, nemlich aus der unendlich kleinen Aenderung, die von den Factoren $x^{2},\,y^{2},\,z^{2}$ herrührt, und aus der Aenderung, die sich ergibt, wenn man nur $\sigma \,$ variabel nimmt. Nun sind aber die Integrale stetige Functionen von $\sigma \,$, und $\sigma \,$ selbst ist eine stetige Function von $x,\,y,\,z$. Daher ist $V\,$ endlich und stetig variabel, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb des Ellipsoids liegt. Dies gilt auch noch, wenn er in un- endliche Entfernung rückt. Denn wenn irgend eine der Coordinaten $(x,\,y,\,z)$ unendlich gross wird, so wird die grösste Wurzel $\sigma \,$ der Gleichung $F(s)=0\,$ ebenfalls unendlich gross. Dann hat in (3) die letzte Klammer unter dem Integral den Werth Null. Der Factor ${\frac {1}{D}}\,$ ist auch gleich Null, und die Grenzen der Integration fallen zusammen. Folglich wird $V=0\,$, wenn der angezogene Punkt in unendlicher Entfernung liegt.

 Für einen Punkt $(x,\,y,\,z)$ in der Oberfläche des Ellipsoids ist $\sigma =0\,$. Die Integrale (2) und (3) sind dann also einander gleich. Folglich erleidet $V\,$ auch dann eine stetige Aenderung, wenn der angezogene Punkt durch die Oberfläche des Ellipsoids hindurchgeht.

 Danach ist bewiesen, dass die Function $V\,$ im ganzen unendlichen Raume endlich und stetig variabel ist, und dass sie den Werth Null hat in unendlicher Entfernung.

 Wir untersuchen die ersten Derivirten. Aus (2) findet sich

(4)	${\frac {\partial V}{\partial x}}=-2\pi \rho x\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds}{D(a^{2}+s)}}.$

Dies gilt für einen Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern des Ellipsoids. Aus (3) ergibt sich dagegen

${\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial x}}=&-2\pi \rho x\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds}{D(a^{2}+s)}}\\&-\pi \rho \cdot {\frac {1}{\Delta }}\cdot {\frac {2x}{(a^{2}+\sigma )l}}\left(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}+\sigma }}-{\frac {y^{2}}{b^{2}+\sigma }}-{\frac {z^{2}}{c^{2}+\sigma }}\right).\\\end{aligned}}$

Da nun ${\frac {1}{\Delta }}$ und ${\frac {2x}{(a^{2}+\sigma )l}}$ nicht unendlich werden können und die letzte Klammer gleich Null ist, so erhält man

(5)	${\frac {\partial V}{\partial x}}=-2\pi \rho x\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds}{D(a^{2}+s)}}.$

Dies gilt für einen Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb des Ellipsoids. Liegt der Punkt in der Oberfläche, so ist in (5) die Grösse $\sigma =0\,$ zu setzen, und die Integrale (4) und (5) sind einander gleich. Folglich ist ${\frac {\partial V}{\partial x}}$ überall endlich und stetig variabel. Dies gilt auch in unendlicher Entfernung. Denn es ist für einen unendlich ent- fernten Punkt $(x,\,y,\,z)$ der Quotient ${\frac {x}{a^{2}+s}}$ innerhalb der Integrationsgrenzen^[9] nicht unendlich gross. Der Factor ${\frac {1}{D}}$ ist Null und die Integrationsgrenzen fallen zusammen. Folglich ist ${\frac {\partial V}{\partial x}}=0$ in unendlicher Entfernung.

 Die Ausdrücke ${\frac {\partial V}{\partial y}}$ und ${\frac {\partial V}{\partial z}}$ finden sich, wenn man in (4) und in (5) $y\,$ und $b\,$, resp. $z\,$ und $c\,$ vertauscht mit $x\,$ und $a\,$. Daher sind auch ${\frac {\partial V}{\partial y}}$ und ${\frac {\partial V}{\partial z}}$ überall endlich und stetig variabel und in unendlicher Entfernung gleich Null.

 Aus (4) ergibt sich durch nochmalige Differentiation

(6)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=-2\pi \rho \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds}{D\left(a^{2}+s\right)}}.$

Dies gilt für einen Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern des Ellipsoids. Aus (5) erhält man dagegen

(7)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=-2\pi \rho \int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {ds}{D\left(a^{2}+s\right)}}+{\frac {2\pi \rho x}{\Delta \left(a^{2}+\sigma \right)}}{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}.$

Dies gilt für einen Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb des Ellipsoids. Beide Ausdrücke sind endlich und ändern sich stetig, wenn nur der Punkt $(x,\,y,\,z)$ im einen Falle innerhalb, im andern Falle ausserhalb des Ellipsoids bleibt. Lässt man ihn von der einen und von anderen Seite in die Oberfläche hineinrücken, so geben die Ausdrücke (6) und (7) verschiedene Werthe. Nur für $x=0\,$ sind sie einander gleich.

 Die Ausdrücke ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}$ und ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ ergeben sich aus (6) und (7) durch Buchstaben-Vertauschung. Wir bilden die Summe der zweiten Derivirten und erhalten fur einen inneren Punkt $(x,\,y,\,z)$

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-2\pi \rho \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds}{D}}\left({\frac {1}{a^{2}+s}}+{\frac {1}{b^{2}+s}}+{\frac {1}{c^{2}+s}}\right).$

Es findet sich aber

${\frac {d\lg \left(D^{2}\right)}{ds}}={\frac {1}{a^{2}+s}}+{\frac {1}{b^{2}+s}}+{\frac {1}{c^{2}+s}},$

folglich ist

${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}&=-4\pi \rho \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {d\,\lg \,D}{ds}}{\frac {ds}{D}}\\&=-4\pi \rho \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {d\left(-{\frac {1}{D}}\right)}{ds}}ds.\\\end{aligned}}$

 Für $s=\infty \,$ ist $D=\infty \,$, für $s=0\,$ dagegen $D=1\,$. Also ergibt sich

(8)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-4\pi \rho ,$

wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern des Ellipsoids liegt.

 Dagegen haben wir für einen äusseren Punkt

${\begin{aligned}\quad &{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\\=&-4\pi \rho \int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {d\left(-{\frac {1}{D}}\right)}{ds}}ds\\&+{\frac {2\pi \rho }{\Delta }}\left({\frac {x}{a^{2}+\sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}+{\frac {y}{b^{2}+\sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}+{\frac {z}{c^{2}+\sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial z}}\right).\\\end{aligned}}$

Der Werth des Integrals ist ${\frac {1}{\Delta }}$. Ferner haben wir

${\begin{aligned}&{\frac {x}{a^{2}+\sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}+{\frac {y}{b^{2}+\sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}+{\frac {z}{c^{2}+\sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial z}}\\=&{\frac {2x^{2}}{(a^{2}+\sigma )^{2}\,l}}+{\frac {2y^{2}}{(b^{2}+\sigma )^{2}\,l}}+{\frac {2z^{2}}{(c^{2}+\sigma )^{2}\,l}}\\=&{\frac {2}{l}}\left\lbrace \left({\frac {x}{a^{2}+\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b^{2}+\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {z}{c^{2}+\sigma }}\right)^{2}\right\rbrace \\\end{aligned}}$ $=2.\,$

Folglich erhalten wir

(9)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0,$

wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb des Ellipsoids liegt.

 Damit ist bewiesen, dass die Integrale (2) und (3) in der That die Potentialfunction des Ellipsoids von der constanten Dichtigkeit $\rho \,$ ausdrücken.

§. 25. Fortsetzung: Anziehung des Ellipsoids.

 Wir suchen die Gesetze der Anziehung auf, wie sie aus der Potentialfunction des Ellipsoids sich ergeben. Die Gesammtmasse $M\,$ des Ellipsoids wird ausgedrückt:

$M={\frac {4}{3}}\,abc\,\pi \,\rho .$

Demnach ist die Potentialfunction

(1)	$V={\frac {3}{4}}M\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\left(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}+s}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}+s}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}+s}}\right)}{\sqrt {(a^{2}+s)\,(b^{2}+s)\,(c^{2}+s)}}}ds,$

wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern des Ellipsoids liegt. Für einen äusseren Punkt muss die untere Integrationsgrenze nicht $0\,$, sondern $\sigma \,$ sein. Man kann aber auch in diesem Falle die untere Grenze $0\,$ wiederherstellen, wenn man unter dem Integral statt $s\,$ überall $s+\sigma \,$ schreibt. Setzt man dann noch zur Abkürzung

$a^{2}+\sigma =a_{1}^{2},\quad b^{2}+\sigma =b_{1}^{2},\quad c^{2}+\sigma =c_{1}^{2},$

so ergibt sich für einen äusseren Punkt $(x,\,y,\,z)$

(2)	$V={\frac {3}{4}}M\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\left(1-{\frac {x^{2}}{a_{1}^{2}+s}}-{\frac {y^{2}}{b_{1}^{2}+s}}-{\frac {z^{2}}{c_{1}^{2}+s}}\right)}{\sqrt {(a_{1}^{2}+s)\,(b_{1}^{2}+s)\,(c_{1}^{2}+s)}}}ds.$

Darin spricht sich der Satz aus:

 Das Ellipsoid von constanter Dichtigkeit übt auf einen äusseren Punkt $(x,\,y,\,z)$ dieselbe Anziehung aus, als ob seine Gesammtmasse gleichförmig über das confocale Ellipsoid vertheilt wäre, auf dessen Oberfläche der Punkt $(x,\,y,\,z)$ liegt.*)^[10]

 Beachtet man nemlich die Gleichungen, durch welche $a_{1}^{2},\,b_{1}^{2},\,c_{1}^{2}$ definirt sind, so geht die Gleichung $F(\sigma )=0\,$ in folgende über:

(3)	${\frac {x^{2}}{a_{1}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b_{1}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c_{1}^{2}}}-1=0.$

Diese Gleichung drückt aus, dass der Punkt $(x,\,y,\,z)$ auf der Oberfläche eines Ellipsoids liegt, welches mit dem gegebenen den Mittelpunkt und die Lage der Hauptaxen gemein hat. Die Oberfläche des gegebenen Ellipsoids und die Fläche (3) schneiden die Coordinaten-Ebenen in je zwei Ellipsen mit gemeinschaftlichen Brennpunkten. Solche Ellipsen heissen confocal, und die in Rede stehenden Ellipsoide werden ebenfalls confocal genannt.

 Die Componenten der Anziehung auf einen inneren Punkt sind:

(4)

$X={\frac {\partial V}{\partial x}}=-2\pi \rho x\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds}{D(a^{2}+s)}},$ $Y={\frac {\partial V}{\partial y}}=-2\pi \rho y\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds}{D(b^{2}+s)}},$ $Z={\frac {\partial V}{\partial z}}=-2\pi \rho z\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds}{D(c^{2}+s)}}.$

 Setzen wir $s=a^{2}\,s_{1}\,$, so ergibt sich

(5)

$X=-2\pi \rho x\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds_{1}}{(1+s_{1}){\sqrt {(1+s_{1})\left(1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}s_{1}\right)\left(1+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}s_{1}\right)}}}},$ $Y=-2\pi \rho y\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds_{1}}{\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}+s_{1}\right){\sqrt {\left(1+s_{1}\right)\left(1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}s_{1}\right)\left(1+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}s_{1}\right)}}}},$ $Z=-2\pi \rho z\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds_{1}}{\left({\frac {c^{2}}{a^{2}}}+s_{1}\right){\sqrt {\left(1+s_{1}\right)\left(1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}s_{1}\right)\left(1+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}s_{1}\right)}}}}.$

 Diese Ausdrücke bleiben dieselben, wenn die Verhältnisse ${\frac {b}{a}}$ und ${\frac {c}{a}}$ constant genommen werden. Sie sind von der Grösse der Halbaxen unabhängig.

 Zwei ähnliche Ellipsoide von derselben constanten Dichtigkeit, welche den Mittelpunkt und die Lage der Hauptaxen gemein haben, üben demnach auf einen Punkt $(x,\,y,\,z)$ gleiche Anziehung, wenn er im Innern oder auf der Oberfläche des kleineren Ellipsoids liegt. Der Raum zwischen beiden Oberflächen übt auf den inneren Punkt gar keine Wirkung.

 Hiernach ist die Anziehung eines Ellipsoids von constanter Dichtigkeit auf einen inneren wie auf einen äusseren Punkt dieselbe wie die Anziehung eines Hülfsellipsoids, welches mit dem gegebenen den Mittelpunkt und die Lage der Axen gemein hat und den angezogenen Punkt in seiner Oberfläche enthält. Für einen äusseren Punkt ist das Hülfsellipsoid dem gegebenen confocal, für einen inneren Punkt ist es ihm ähnlich. Die Dichtigkeit des Hülfsellipsoids ist in beiden Fällen constant. Für einen äusseren Punkt hat das Hülfsellipsoid dieselbe Gesammtmasse, für einen inneren Punkt dieselbe Dichtigkeit wie das gegebene.

 Ist der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb des anziehenden Ellipsoids gelegen, so hat man in den Integralen (4) als untere Grenze $\sigma \,$ zu setzen, folglich in (5) als untere Grenze ${\frac {\sigma }{a^{2}}}$. Die Ausdrücke (5) sind also nicht mehr unabhängig von $a\,$. Man kann deshalb ausser dem ersten Ellipsoid ein zweites concentrisches betrachten, dessen Hauptaxen dieselbe Lage haben, aber im Verhältnis $1+\varepsilon :1\,$ grösser sind. Wir wollen dann $\varepsilon \,$ unendlich klein werden lassen und nach der Anziehung der unendlich dünnen Schicht zwischen den beiden ellipsoidischen Oberflächen fragen.

 In den Integralen, welche für (5) an die Stelle treten, ist von einem Ellipsoid zum andern nur die untere Grenze ${\frac {\sigma }{a^{2}}}$ variabel. Man hat also:

$dX=2\pi \rho x{\frac {1}{\Delta \left(1+{\frac {\sigma }{a^{2}}}\right)}}d\left({\frac {\sigma }{a^{2}}}\right).$

 Für $\sigma \,$ gilt die Gleichung:

${\frac {x^{2}}{1+{\frac {\sigma }{a^{2}}}}}+{\frac {y^{2}}{{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\sigma }{a^{2}}}}}+{\frac {z^{2}}{{\frac {c^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\sigma }{a^{2}}}}}=a^{2}.$

Daraus ergibt sich durch Differentiation:

$-\left\lbrack \left({\frac {x}{1+{\frac {\sigma }{a^{2}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\sigma }{a^{2}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{{\frac {c^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\sigma }{a^{2}}}}}\right)^{2}\right\rbrack d\left({\frac {\sigma }{a^{2}}}\right)=2\,a\,da$ $=2\,a^{2}\varepsilon ;$

dies lässt sich kürzer schreiben

$-a^{4}\,l\,d\left({\frac {\sigma }{a^{2}}}\right)=2\,a^{2}\,\varepsilon .$

Folglich ist

$dX=-{\frac {4\,\pi \,\rho \,\varepsilon }{\Delta \,l}}\cdot {\frac {x}{a^{2}+\sigma }}.$

Dies ist die eine Componente der Anziehung, welche die unendlich dünne ellipsoidische Schicht auf den äusseren Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausübt. Wir wollen sie mit $\Xi \,$ bezeichnen. Die beiden anderen Componenten $\mathrm {H} \,$ und $\mathrm {Z} \,$ finden sich durch Buchstabenvertauschung. Also hat man

(6)	$\Xi =-{\frac {4\,\pi \,\rho \,\varepsilon }{\Delta \,l}}\cdot {\frac {x}{a^{2}+\sigma }},$ $\mathrm {H} =-{\frac {4\,\pi \,\rho \,\varepsilon }{\Delta \,l}}\cdot {\frac {y}{b^{2}+\sigma }},$ $\mathrm {Z} =-{\frac {4\,\pi \,\rho \,\varepsilon }{\Delta \,l}}\cdot {\frac {z}{c^{2}+\sigma }}.$

Hieraus ergibt sich die Gesammtkraft $\mathrm {P} \,$, mit welcher der Punkt $(x,\,y,\,z)$ von der unendlich dünnen Schicht angezogen wird:

$\mathrm {P} ={\frac {4\,\pi \,\rho \,\varepsilon }{\Delta \,l}}{\sqrt {\left({\frac {x}{a^{2}+\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b^{2}+\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {z}{c^{2}+\sigma }}\right)^{2}}},$

d. h. kürzer

(7)	$\mathrm {P} ={\frac {4\,\pi \,\rho \,\varepsilon }{\Delta {\sqrt {l}}}}.$

Die Winkel, welche die Richtung von $\mathrm {P} \,$ mit den positiven Coordinatenaxen einschliesst, finden sich aus den Gleichungen:

$\cos(x\,\mathrm {P} )={\frac {-x}{a^{2}+\sigma }}:{\sqrt {l}},$ $\cos(y\,\mathrm {P} )={\frac {-y}{b^{2}+\sigma }}:{\sqrt {l}},$ $\cos(z\,\mathrm {P} )={\frac {-z}{c^{2}+\sigma }}:{\sqrt {l}}.$

 Diese Gleichungen sind leicht zu interpretiren. Legt man im Punkte $(x,\,y,\,z)$ an die Fläche (3) die Tangentialebene, so lautet deren Gleichung

${\frac {x}{a_{1}^{2}}}\xi +{\frac {y}{b_{1}^{2}}}\eta +{\frac {z}{c_{1}^{2}}}\zeta -1=0,$

oder, was dasselbe ist:

${\frac {x}{a^{2}+\sigma }}\,\xi +{\frac {y}{b^{2}+\sigma }}\,\eta +{\frac {z}{c^{2}+\sigma }}\,\zeta -1=0.\,$

Bringt man diese Gleichung in die Normalform, so erhält man

$\xi \,\cos \alpha +\eta \,\cos \beta +\zeta \,\cos \gamma -{\frac {1}{\sqrt {l}}}=0.\,$

Darin ist ${\frac {1}{\sqrt {l}}}\,$ die Länge des Perpendikels, welches vom Anfangspunkte der Coordinaten auf die Tangentialebene gefällt ist, und $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ sind die Winkel, welche dies Perpendikel (in der Richtung vom Anfangspunkte nach der Ebene) mit den positiven Coordinatenaxen einschliesst. Für die Cosinus dieser Winkel erhält man die Ausdrücke:

(9)	$\cos \alpha ={\frac {x}{a^{2}+\sigma }}:{\sqrt {l}},$ $\cos \beta ={\frac {y}{b^{2}+\sigma }}:{\sqrt {l}},$ $\cos \gamma ={\frac {z}{c^{2}+\sigma }}:{\sqrt {l}}.$

 Dieselbe Richtung, wie das eben betrachtete Perpendikel, hat die im Punkte $(x,\,y,\,z)$ nach aussen gezogene Normale der Fläche (3). Vergleicht man nun die Ausdrücke (8) und (9), so ergibt sich ohne weiteres, dass die Richtung von $\mathrm {P} \,$ durch die vom Punkte $(x,\,y,\,z)$ aus nach innen gezogene Normale der Hülfs-Ellipsoidfläche (3) angegeben wird.

 D. h. wir haben den Satz:

 Wenn die Masse von constanter Dichtigkeit eine Schale von unendlich kleiner Dicke bildet, begrenzt von zwei ähnlichen, concentrischen Ellipsoidflächen mit gleichgerichteten Hauptaxen, so übt sie auf einen Punkt im äusseren Raume eine anziehende Kraft aus. Die Richtung derselben fällt in die von diesem Punkte aus nach innen gezogene Normale einer Ellipsoidfläche, welche den angezogenen Punkt in sich enthält und der äusseren Begrenzungsfläche der Schale confocal ist. Dies gilt auch dann noch, wenn der angezogene Punkt auf der äusseren Oberfläche der Schale selbst liegt.*)^[11]

§. 26. Anziehung eines homogenen elliptischen Cylinders.

 Wir gehen zu der Aufgabe über, die Anziehung eines geraden Cylinders zu berechnen, dessen Endflächen Ellipsen sind. Die Dichtigkeit $\rho \,$ sei constant. Wir legen das Coordinatensystem so, dass die Endflächen ausgedrückt werden durch die Gleichungen

$x=0\,$ und $x=a\,$

und die krumme Oberfläche durch die Gleichung

(1)	${\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}-1=0.\,$

Die Axe der $x\,$ fällt dann in die Axe des Cylinders und die Basisfläche liegt in der $yz$Ebene.

 Die Untersuchung lässt sich auf eine einfachere zurückführen. Man betrachte einen Cylinder, der mit dem gegebenen die krumme Oberfläche gemein hat, aber keine Endflächen besitzt, also von $x=-\infty$ bis $x=+\infty$ sich erstreckt. In seinem Innern sei die Dichtigkeit $=-{\frac {1}{2}}\,\rho$ von $x=-\infty$ bis $x=0\,$ und $=+{\frac {1}{2}}\,\rho$ von $x=0\,$ bis $x=+\infty$. Auch hier soll die im Punkte $(x,\,y,\,z)$ concentrirte positive Masseneinheit angezogen werden von einer positiven Masse, dagegen abgestossen werden von einer negativen Masse. Man denke sich, die Potentialfunction dieser Masse sei bekannt, nemlich

$F(x,\,y,\,z).$

Dann ist, wie man leicht sieht,

$F(x-a,\,y,\,z).$

die Potentialfunction, die von demselben Cylinder herrührt, wenn die Dichtigkeit $=-{\frac {1}{2}}\,\rho$ ist von $x=-\infty$ bis $x=+a\,$ und $=+{\frac {1}{2}}\,\rho$ von $x=+a\,$ bis $x=+\infty \,$.

 Durch Superposition erhält man

$F(x,\,y,\,z)-F(x-a,\,y,\,z)$

als Potentialfunction für den Fall, dass im Innern des Cylinders die Dichtigkeit $=0\,$ ist von $x=-\infty$ bis $x=0\,$ und von $x=+a\,$ bis $x=+\infty$, dagegen $=\rho \,$ von $x=0\,$ bis $x=a\,$. Dieser Fall ist der unserer Aufgabe.

 Wir setzen

$t=s\left(1-{\frac {y^{2}}{s+\beta ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{s+\gamma ^{2}}}\right)$

und sehen $s\,$ als Unbekannte an sowohl in der Gleichung

(2)	$t-x^{2}=0,\,$

als auch in der Gleichung

(3)

$t=0.\,$

 Beide Gleichungen sind vom dritten Grade. Dass sie lauter reelle Wurzeln haben, beweist man auf demselben Wege wie für die Gleichung $F(s)=0\,$ in §. 24.

 So lange $x\,$ von Null verschieden ist, hat die Gleichung (2) dieselben Wurzeln wie die Gleichung ${\frac {t-x^{2}}{s}}=0$. Nimmt man also $s\,$ als Abscisse und ${\frac {t-x^{2}}{s}}$ als Ordinate einer Curve (Fig. 15), so sieht man, dass bei stetig wachsendem $s\,$ die Ordinate von $+\infty \,$

Fig. 15.

auf $-\infty \,$ springt an den drei Stellen $s=-\beta ^{2},\,s=-\gamma ^{2},\,s=0$. Ist $\beta ^{2}>\gamma ^{2}\,$, so schneidet die Curve die Abscissenaxe je einmal zwischen $-\beta ^{2}\,$ und $-\gamma ^{2}\,$, zwischen $-\gamma ^{2}\,$ und $0\,$, und zwischen $0\,$ und $+\infty \,$. Die grösste Wurzel der Gleichung (2) ist also positiv. Wir bezeichnen sie mit $\sigma \,$.

 Die Gleichung (3) hat eine Wurzel $=0\,$. Die beiden anderen finden sich, wenn man

(4)	$1-{\frac {y^{2}}{s+\beta ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{s+\gamma ^{2}}}=0$

setzt. Nimmt man auch hier $s\,$ als Abscisse, aber ${\frac {t}{s}}$ als Ordinate einer Curve, so springt bei stetig wachsendem $s\,$ die Ordinate von $+\infty$ auf $-\infty$ an den beiden Stellen $s=-\beta ^{2}\,$ und $s=-\gamma ^{2}\,$. Für $\beta ^{2}>\gamma ^{2}\,$ zeigt sich, dass die Curve die Abscissenaxe je einmal schneidet zwischen $-\beta ^{2}\,$ und $-\gamma ^{2}\,$ und zwischen $-\gamma ^{2}\,$ und $+\infty \,$. Hier ist aber noch zu unterscheiden, ob der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb des Raumes liegt, welchen die unbegrenzte Cylinderfläche (1) umschliesst, oder innerhalb.

 Liegt der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb, so ist ${\frac {t}{s}}<0$ für $s=0\,$, und folglich schneidet die Curve (Fig. 16) die Abscissenaxe

Fig. 16.

zwischen $0\,$ und $+\infty \,$, nicht aber zwischen $-\gamma ^{2}\,$ und $0\,$.

 Wenn dagegen der Punkt $(x,\,y,\,z)$ innerhalb des von der Fläche (1) umschlossenen Raumes liegt, so ist ${\frac {t}{s}}>0$ für $s=0\,$. Die Curve (Fig. 17) schneidet also die Abscissenaxe zwischen $-\gamma ^{2}\,$ und $0\,$, nicht aber zwischen $0\,$ und $+\infty \,$.

 Daraus geht hervor, dass die grösste Wurzel der Gleichung (3) positiv ist, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb des von der Fläche (1) umschlossenen Raumes liegt, und dass sie gleich Null ist, wenn er innerhalb liegt. Wir bezeichnen diese grösste Wurzel der Gleichung (3) mit $\sigma '\,$. Jedenfalls ist $\sigma >\sigma '\,$, wenn $x\,$ von Null verschieden. Für einen inneren Punkt $(x,\,y,\,z)$ sieht man dies ohne weiteres, weil $\sigma \,$ positiv und $\sigma '\,$ Null ist. Für einen äusseren Punkt hat man dagegen die Gleichungen

$1-{\frac {y^{2}}{\sigma '+\beta ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{\sigma '+\gamma ^{2}}}=0,$ $1-{\frac {y^{2}}{\sigma +\beta ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{\sigma +\gamma ^{2}}}={\frac {x^{2}}{\sigma }}$

zu beachten, in denen $\sigma \,$ und $\sigma '\,$ positiv sind. Diese Gleichungen geben zu erkennen, dass die positive Summe ${\frac {y^{2}}{\sigma '+\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\sigma '+\gamma ^{2}}}$ grösser sein muss als die ebenfalls positive Summe ${\frac {y^{2}}{\sigma +\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\sigma +\gamma ^{2}}}$. D. h. es muss $\sigma >\sigma '\,$ sein.

 Für $x=0\,$ ist $\sigma =\sigma '\,$.

Fig. 17.

 In den Gleichungen (2) und (3) wollen wir von jetzt an nur den grössten Wurzelwerth in Betracht ziehen. Man kann in der Gleichung (2) $\sigma \,$ als gegeben ansehen. So lange der Werth von $\sigma \,$ grösser als Null ist, darf man statt der Gleichung (2) auch schreiben:

$1-{\frac {x^{2}}{\sigma }}-{\frac {y^{2}}{\sigma +\beta ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{\sigma +\gamma ^{2}}}=0.$

Dann ist der Punkt $(x,\,y,\,z)$ auf der Oberfläche eines Ellipsoids zu suchen, dessen Hauptaxen in die Coordinatenaxen fallen. Lässt man $\sigma \,$ alle positiven Werthe bis $+\infty \,$ durchlaufen, so erhält man eine Schaar von unendlich vielen confocalen Ellipsoiden. Ihre Durchschnitte mit der $yz\,$Ebene sind Ellipsen, die mit der Schnitt-Ellipse der $yz\,$Ebene und der Cylinderfläche (1) die Brennpunkte gemein haben.

 Für $\sigma =0\,$ degenerirt das Ellipsoid in eine Cylinderfläche, nemlich die Fläche (1). Sollen umgekehrt in der Gleichung (2) $x,\ y,\ z$ gegeben sein, so wird dadurch aus der Schaar von Ellipsoiden ein einziges herausgehoben, oder, was dasselbe sagt, es wird dadurch $\sigma \,$ eindeutig bestimmt.

 Sieht man in der Gleichung (3) die grösste Wurzel $\sigma '\,$ als gegeben an, so ist der Punkt $(x,\,y,\,z)$ auf der Oberfläche eines elliptischen Cylinders zu suchen, dessen Axe in der Axe der $x\,$ liegt. Legt man der Grösse $\sigma '\,$ alle Werthe von $0\,$ bis $+\infty \,$ bei, so erhält man eine Schaar von unendlich vielen elliptischen Cylindern. Ihre Durchschnitte mit der $yz\,$Ebene sind confocale Ellipsen. Eine von ihnen ist zugleich der Durchschnitt der $yx\,$Ebene und der Cylinderfläche (1). Sie wird von allen anderen umschlossen. Sollen umgekehrt $x,\,y,\,z$ gegeben sein, so ist zu unterscheiden, ob der Punkt, dem diese Coordinaten angehören, ausserhalb oder innerhalb des von der Fläche (1) umschlossenen Raumes liegt. Im ersten Falle gehört er der Oberfläche eines einzelnen von den unendlich vielen Cylindern an, im andern Falle wird er von allen Cylinderflächen umschlossen. In beiden Fällen ist $\sigma '\,$ eindeutig bestimmt, im ersten grösser als Null, im zweiten gleich Null.

 Die Potentialfunction $F(x,\,y,\,z)$ kann man durch ein einfaches Integral nicht ausdrücken, wohl aber jede der Kraft-Componenten $X,\,Y,\,Z$. Wir wollen auch hier die Ausdrücke nicht herleiten, sondern sie als gegeben ansehen und ihre Richtigkeit nachträglich beweisen.

 Diese Ausdrücke sind

(5)	$X=2\rho \int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {{\sqrt {t-x^{2}}}ds}{s{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1^{+}{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}},$

(6)

${\begin{aligned}Y=&-{\frac {2\rho xy}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {s+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\cdot {\frac {{\frac {\partial t}{\partial s}}ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\\&+2\varepsilon \pi \rho \,{\frac {y}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\cdot {\frac {\sigma '+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1^{+}{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}},\\\end{aligned}}$

(7)

${\begin{aligned}Z=&-{\frac {2\rho xz}{\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {(s+\beta ^{2})}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\cdot {\frac {{\frac {\partial t}{\partial s}}ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\\&+2\varepsilon \pi \rho {\frac {z}{\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}\cdot {\frac {\sigma '+\beta ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}.\\\end{aligned}}$

In (6) und (7) ist $\varepsilon =+1\,$ für $x>0\;$ und $\varepsilon =-1\,$ für $x<0.\,$.

 Um die Ausdrücke (5), (6), (7) zu verificiren, ist es nothwendig, zunächst zu beweisen, dass sie den partiellen Differentialgleichungen genügen:

(8)	${\frac {\partial X}{\partial y}}={\frac {\partial Y}{\partial x}},$ ${\frac {\partial Y}{\partial z}}={\frac {\partial Z}{\partial y}},$ ${\frac {\partial Z}{\partial x}}={\frac {\partial X}{\partial z}}.$

 Es muss ferner bewiesen werden, dass ausserhalb des mit Masse erfüllten Cylinders, also für ${\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}>1,$ die Gleichung erfüllt ist:

(9)	${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}=0;$

dagegen im Innern jenes Cylinders, d. h. für ${\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}<1,$ die andere Gleichung:

(10)	${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}=-2\varepsilon \pi \rho ,$

wenn $\varepsilon =+1\,$ für $x>0\,$ und $\varepsilon =-1\,$ für $x<0.\,$

 Es muss endlich gezeigt werden, dass in unendlicher Entfernung von dem mit Masse erfüllten Cylinder, d. h. für $\lim \left(y^{2}+z^{2}\right)=\infty :\,$

(11)	$X=0,\quad Y=0,\quad Z=0.\,$

Wir wollen noch bemerken, dass nach der Natur der Aufgabe

(12)	$\left.{\begin{matrix}{Y=0}\\{Z=0}\end{matrix}}\right\}$ für $x=0.\,$

Denn zu irgend einem Massenelemente auf der Seite der positiven $x\,$ lässt sich ein zugehöriges Massenelement auf der Seite der negativen $x\,$ finden, so dass sie zur $yz\,$Ebene symmetrisch liegen. Die beiden Massenelemente sind einander entgegengesetzt gleich. Sie haben von einem beliebigen Punkte $(0,\,y,\,z)$ der $yz\,$Ebene gleichen Abstand. Folglich ist der Beitrag, den sie zu dem Werthe der Potentialfunction im Punkte $(0,\,y,\,z)$ liefern, gleich Null. In dieser Weise lassen sich aber alle Massenelemente paarweise zusammenordnen, und es hat deshalb die Potentialfunction $V\,$ an jeder Stelle der $yz\,$Ebene den constanten Werth Null. Daraus ergibt sich, dass auch die Derivirten ${\frac {\partial V}{\partial y}},{\frac {\partial V}{\partial z}}$ in der $yz\,$Ebene überall gleich Null sein müssen. Dies liefert die Gleichungen (12).

 Wir betrachten zuerst den Ausdruck für $X\,$, also die Gleichung (5). Differenziren wir partiell nach $y\,$, so ergibt sich

${\frac {\partial X}{\partial y}}={\frac {\partial X}{\partial t}}{\frac {\partial t}{\partial y}}+{\frac {\partial X}{\partial \sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}.$

Es ist aber $-{\frac {\partial X}{\partial \sigma }}$ nichts anderes als $2\rho \,$ multiplicirt mit der Function unter dem Integralzeichen, wenn man darin überall $s=\sigma \,$ setzt. Dadurch wird $t-x^{2}=0\,$, folglich auch ${\frac {\partial X}{\partial \sigma }}=0$. Wir erhalten also einfach

${\frac {\partial X}{\partial y}}=-2\,\rho \,y\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {t-x^{2}}}}\cdot {\frac {ds}{(s+\beta ^{2}){\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}},$

wofür man auch schreiben kann:

(13)	${\frac {\partial X}{\partial y}}={\frac {4\,\rho \,y}{1-{\frac {\beta ^{2}}{\gamma ^{2}}}}}\int \limits _{s=\sigma }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {t-x^{2}}}}\cdot d{\sqrt {\frac {1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}}{1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}}}}.$

 Die Function $Y\,$ aus Gleichung (6) nehmen wir zunächst in der Form

(14)	$Y=-{\frac {2\,\rho \,x\,y}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {s+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\cdot {\frac {{\frac {\partial t}{\partial s}}ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}+\Phi (y,\,z),$

indem wir uns vorbehalten, die Function $\Phi (y,\,z)$ so zu bestimmen, dass für $x=0\,$ die erste der Gleichungen (12) erfüllt werde.

 Nun ist aber durch Differentiation leicht zu beweisen, dass

${\frac {1}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\cdot {\frac {\partial t}{\partial s}}={\frac {2}{\sqrt {x^{2}}}}\cdot {\frac {\partial }{\partial s}}\left(\arcsin {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{t}}}}\right),$

wenn die Quadratwurzeln auf beiden Seiten positiv genommen werden. Folglich kann man auf das Integral in (14) die Integration nach Theilen anwenden. Man hat zunächst für das unbestimmte Integral die Gleichung

$\int {\frac {s+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\cdot {\frac {\frac {\partial t}{\partial s}}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}ds$ $={\frac {2\gamma ^{2}}{\sqrt {x^{2}}}}{\sqrt {\frac {1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}}{1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}}}}\cdot \arcsin {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{t}}}}$ $-{\frac {2\gamma ^{2}}{\sqrt {x^{2}}}}\int \arcsin {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{t}}}}\cdot d{\sqrt {\frac {1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}}{1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}}}}.$

Der freie Theil ist Null für $s=\sigma \,$, dagegen gleich ${\frac {\beta \,\gamma \,\pi }{\sqrt {x^{2}}}}$ für $s=\infty \,$. Folglich lautet das Resultat der Transformation:

(15)

${\begin{aligned}Y=&-{\frac {2\,\varepsilon \,\beta \,\gamma \,\pi \,\rho \,y}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}+\Phi (y,\,z)\\&-{\frac {4\,\varepsilon \,\rho \,y}{1-{\frac {\beta ^{2}}{\gamma ^{2}}}}}\int \limits _{s=\sigma }^{\infty }\arcsin {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{t}}}}\cdot d{\sqrt {\frac {1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}}{1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}}}},\\\end{aligned}}$

und hier ist $\varepsilon =+1\,$ für $x>0,\,$ dagegen $\varepsilon =-1\,$ für $x<0\,$.

 Wenn wir in (15) partiell nach $x\,$ differenziren, so ergibt sich

(16)	${\frac {\partial Y}{\partial x}}={\frac {4\,\rho \,y}{1-{\frac {\beta ^{2}}{\gamma ^{2}}}}}\int \limits _{s=\sigma }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {t-x^{2}}}}\cdot d{\sqrt {\frac {1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}}{1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}}}}.$

Der Beitrag ${\frac {\partial Y}{\partial \sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}$, der auf der rechten Seite noch hinzugefügt werden müsste, fällt weg, weil ${\frac {\partial Y}{\partial \sigma }}=0$ ist.

 Aus (13) und (16) erkennt man auf den ersten Blick, dass die erste der Gleichungen (8) in der That erfüllt ist.

 Es kommt nun darauf an, die Function $\Phi (y,\,z)$ richtig zu bestimmen, so dass für $x=0\,$ auch $Y=0\,$ wird. Dabei ist zu beachten, dass für $x=0\,$ die untere Grenze $\sigma \,$ des Integrals in (15) übergeht in $\sigma '\,$. Nun ist aber für $s=\sigma '\,$ die Function $t=0\,$, und folglich wird dann der Werth von

$\arcsin {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{t}}}}$

völlig unbestimmt. Wir nehmen deshalb in dem zu ermittelnden Integral zunächst $\sigma '+\kappa \delta \,$ als untere Grenze und verstehen unter $\kappa \,$ eine unbestimmte positive Constante und unter $\delta \,$ eine positive Grösse, die nachher der Null unaufhörlich angenähert werden soll. Unter dieser Verabredung bleibt zwischen den Integrationsgrenzen $(s=\sigma '+\kappa \delta \,$ und $s=\infty )\,$ die Function $t\,$ positiv. Folglich ist jetzt der Arcussinus $={\frac {\pi }{2}}\,$, und das Integral in (15) hat für $x=0\,$ einen angebbaren, endlichen Werth, wenn als untere Grenze $\sigma '+\kappa \delta \,$ genommen wird. Dieser Werth geht für $\lim \delta =0\,$ über in

${\frac {\pi }{2}}\left\lbrace {\frac {\beta }{\gamma }}-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}{\frac {\sigma '+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\right\rbrace ,$

also in einen Grenzwerth, der von der unbestimmten Grösse $\kappa \,$ unabhängig ist. Dieser Grenzwerth ist der Werth des Integrals in (15), wenn $\sigma '\,$ als untere Grenze genommen und $x=0\,$ gesetzt wird. Daraus ergibt sich nun leicht, dass

(17)	$\Phi (y,\,z)=2\,\varepsilon \,\pi \,\rho {\frac {y}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\cdot {\frac {\sigma '+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}$

sein muss, damit die erste der Gleichungen (12) erfüllt werde.

 Die Function $Z\,$ aus Gleichung (7) nehmen wir zunächst in der Form

(18)	$Z=-{\frac {2\,\rho \,x\,z}{\gamma ^{1}-\beta ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {s+\beta ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\cdot {\frac {{\frac {\partial t}{\partial s}}ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}+\Psi (y,\,z).$

Durch Integration nach Theilen erhalten wir dafür

(19)

${\begin{aligned}Z=&-{\frac {2\,\varepsilon \,\beta \,\gamma \,\pi \,\rho \,z}{\gamma ^{1}-\beta ^{2}}}+\Psi (y,\,z)\\&-{\frac {4\,\varepsilon \,\rho \,z}{1-{\frac {\gamma ^{2}}{\beta ^{2}}}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }\arcsin {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{t}}}}\cdot d{\sqrt {\frac {1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}}{1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}}}},\\\end{aligned}}$

und es ist auch hier wieder $\varepsilon =+1\,$ für $x>0\,$ und $\varepsilon =-1\,$ für $x<0\,$. Indem wir jetzt in (5) partiell nach $z\,$, in (19) partiell nach $x\,$ differenziren und die Resultate vergleichen, finden wir, dass auch die letzte der Gleichungen (8) erfüllt ist.

 Die Function $\Psi (y,\,z)\,$ wird auf demselben Wege bestimmt wie vorher die Function $\Phi (y,\,z)\,$. Man gelangt zu dem Resultate, dass

(20)	$\Psi (y,\,z)=2\,\varepsilon \,\pi \,\rho {\frac {z}{\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}\cdot {\frac {\sigma '+\beta ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}$

genommen werden muss, damit die zweite der Gleichungen (12) erfüllt werde.

 Nun bleibt von den Gleichungen (8) noch die zweite zu beweisen.

 Aus der Gleichung (15) leiten wir her

${\frac {\partial Y}{\partial z}}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}-{\frac {2\,\rho \,x\,y\,z}{\beta ^{2}\,\gamma ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {s\,ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)^{3}\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)^{3}}}},$

und aus der Gleichung (19) geht hervor

${\frac {\partial Z}{\partial y}}={\frac {\partial \Psi }{\partial y}}-{\frac {2\,\rho \,x\,y\,z}{\beta ^{2}\,\gamma ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {s\,ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)^{3}\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)^{3}}}}.$

 Folglich erhalten wir

(21)	${\frac {\partial Y}{\partial z}}-{\frac {\partial Z}{\partial y}}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}-{\frac {\partial \Psi }{\partial y}}.$

 Nun ist für einen Punkt im Innern des unendlich langen Cylinders $\sigma '=0\,$, also

$\Phi (y,\,z)=2\,\varepsilon \,\pi \,\rho {\frac {\gamma ^{2}\,y}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}},$ $\Psi (y,\,z)=2\,\varepsilon \,\pi \,\rho {\frac {\beta ^{2}\,z}{\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}.$

 In diesem Falle haben wir

${\frac {\partial \Phi }{\partial z}}=0,\quad {\frac {\partial \Psi }{\partial y}}=0.$

 Für einen Punkt im äusseren Raume ist dagegen $\sigma '\,$ die posisitive Wurzel der Gleichung

(22)	$1-{\frac {y^{2}}{\sigma '+\beta ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{\sigma '+\gamma ^{2}}}=0.$

Daraus berechnet sich

(23)	${\frac {\partial \sigma '}{\partial y}}={\frac {2\,y:(\sigma '+\beta ^{2})}{\left({\frac {y}{\sigma '+\beta ^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{\sigma '+\gamma ^{2}}}\right)^{2}}},$

${\frac {\partial \sigma '}{\partial z}}={\frac {2\,z:(\sigma '+\gamma ^{2})}{\left({\frac {y}{\sigma '+\beta ^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{\sigma '+\gamma ^{2}}}\right)^{2}}}.$

 Aus (17) und (20) geht dann durch Differentiation hervor

${\frac {\partial \Phi }{\partial z}}={\frac {\partial \Psi }{\partial y}}={\frac {2\,\varepsilon \,\pi \,\rho \,y\,z:\left\lbrace \left({\frac {y}{\sigma '+\beta ^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{\sigma '+\gamma ^{2}}}\right)^{2}\right\rbrace }{\beta ^{2}\,\gamma ^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)^{3}\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)^{3}}}}}.$

 Es ist demnach sowohl für einen inneren, wie für einen äusseren Punkt die zweite der Gleichungen (8) erfüllt.

 Wir gehen dazu über nachzuweisen , dass unsere Ausdrücke für $X,\,Y,\,Z$ auch den Gleichungen (9) und (10) Genüge leisten.

 Aus der Gleichung (5) berechnen wir zunächst

(24)	${\frac {\partial X}{\partial x}}=-2\,\rho \,x\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {t-x^{2}}}}\cdot {\frac {1}{s{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}}.$

Der Beitrag ${\frac {\partial X}{\partial \sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}$, welcher auf der rechten Seite noch hinzugefügt werden müsste, ist gleich Null, weil ${\frac {\partial X}{\partial \sigma }}=0$ ist.

 Die Function $Y\,$ nehmen wir in der Form (15). Danach berechnet sich

${\begin{aligned}{\frac {\partial Y}{\partial y}}=&-{\frac {2\,\varepsilon \,\pi \,\rho \,\beta \,\gamma }{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\\&-{\frac {4\,\varepsilon \,\rho }{1-{\frac {\beta ^{2}}{\gamma ^{2}}}}}\int \limits _{s=\sigma }^{\infty }\arcsin {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{t}}}}\cdot d{\sqrt {\frac {1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}}{1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}}}}\\&-2\,\rho \,x\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {s}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\left({\frac {y}{s+\beta ^{2}}}\right)^{2}{\frac {ds}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}.\\\end{aligned}}$

Das erste Integral rechts lässt sich transformiren durch Integration nach Theilen. Wir erhalten

(25)	${\frac {\partial Y}{\partial y}}$

${\begin{aligned}={\frac {\partial \Phi }{\partial y}}&-{\frac {2\,\rho \,x}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {{\frac {\partial t}{\partial s}}ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\cdot {\frac {s+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\\&-2\,\rho \,x\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {s}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\left({\frac {y}{s+\beta ^{2}}}\right)^{2}{\frac {ds}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}.\\\end{aligned}}$

Auf demselben Wege berechnen wir

(26)	${\frac {\partial Z}{\partial z}}$

${\begin{aligned}={\frac {\partial \Psi }{\partial z}}&+{\frac {2\,\rho \,x}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {{\frac {\partial t}{\partial s}}ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\cdot {\frac {s+\beta ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\\&-2\,\rho \,x\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {s}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\left({\frac {z}{s+\gamma ^{2}}}\right)^{2}{\frac {ds}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}.\\\end{aligned}}$

Aus den Gleichungen (24), (25), (26) ergibt sich unmittelbar durch Addition

${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}$

${\begin{aligned}={\frac {\partial \Phi }{\partial y}}&+{\frac {\partial \Psi }{\partial z}}\\&+2\,\rho \,x\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {{\frac {\partial t}{\partial s}}ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\\&-2\rho \,x\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\cdot {\frac {\left({\frac {t}{s}}+{\frac {s\,y^{2}}{(s+\beta ^{2})^{2}}}+{\frac {s\,z^{2}}{s+\gamma ^{2})^{2}}}\right)}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}.\\\end{aligned}}$

Diese Gleichung reducirt sich noch, wenn man berücksichtigt, dass

${\frac {t}{s}}+{\frac {s\,y^{2}}{(s+\beta ^{2})^{2}}}+{\frac {s\,z^{2}}{s+\gamma ^{2})^{2}}}={\frac {\partial t}{\partial s}}$

ist. Man erhält

(27)	${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}={\frac {\partial \Phi }{\partial y}}+{\frac {\partial \Psi }{\partial z}}.$

Nun ist zu unterscheiden, ob der Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern des unendlich langen Cylinders liegt oder ausserhalb.

 Für einen Punkt im Innern ist $\sigma '=0\,$ und in Folge davon

${\frac {\partial \Phi }{\partial y}}=2\,\varepsilon \,\pi \,\rho {\frac {\gamma ^{2}}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}},$ ${\frac {\partial \Psi }{\partial z}}=2\,\varepsilon \,\pi \,\rho {\frac {\beta ^{2}}{\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}.$

 Für einen inneren Punkt geht also die Gleichung (27) über in folgende:

${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}=-2\,\varepsilon \,\pi \,\rho .$

Dies ist die partielle Differentialgleichung (10).

 Liegt der Punkt $(x,\,y,\,z)$ im äusseren Raume, so ist $\sigma '\,$ die eine positive Wurzel der Gleichung (22), also eine Function von $y\,$ und $z\,$. Deshalb erhalten wir

${\begin{aligned}{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}=&{\frac {2\,\varepsilon \,\pi \,\rho }{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\cdot {\frac {\sigma '+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\\&+{\frac {\varepsilon \,\pi \,\rho }{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\cdot {\frac {y}{\sigma '+\beta ^{2}}}\cdot {\frac {\partial \sigma '}{\partial y}}\\\end{aligned}}$

und ferner

${\begin{aligned}{\frac {\partial \Psi }{\partial z}}=&{\frac {2\,\varepsilon \,\pi \,\rho }{\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}\cdot {\frac {\sigma '+\beta ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\\&+{\frac {\varepsilon \,\pi \,\rho }{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\cdot {\frac {z}{\sigma '+\gamma ^{2}}}\cdot {\frac {\partial \sigma '}{\partial z}}.\\\end{aligned}}$

 Beachtet man nun, dass nach den Gleichungen (23)

${\frac {y}{\sigma '+\beta ^{2}}}{\frac {\partial \sigma '}{\partial y}}+{\frac {z}{\sigma '+\gamma ^{2}}}{\frac {\partial \sigma '}{\partial z}}=2$

ist, so erhält man für einen äusseren Punkt:

${\frac {\partial \Phi }{\partial y}}+{\frac {\partial \Psi }{\partial z}}={\frac {-2\,\varepsilon \,\pi \,\rho +2\,\varepsilon \,\pi \,\rho }{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}=0.$

 Die Gleichung (27) geht also für einen äusseren Punkt in folgende über:

${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}=0.$

Dies ist die partielle DifFerentialgleichung (9).

 Endlich fragt sich noch, welche Werthe $X,\,Y,\,Z$ annehmen, wenn $y\,$ oder $z\,$ oder beide unendlich gross werden.

 Dass $X=0\,$ wird, wenn man irgend eine der drei Coordinaten $x,\,y,\,z$ unendlich gross nimmt, ist leicht zu erkennen. Denn es wird dann $\sigma =\infty \,$. Die Grenzen des Integrals in (5) fallen also zusammen, und ausserdem wird die Function unter dem Integralzeichen zu Null für $s=\infty \,$.

 Für $Y\,$ nehmen wir den Ausdruck (15) und führen unter dem Integralzeichen die vorgeschriebene Differentiation aus. Wird dann noch $\Phi (y,\,z)$ aus (17) genommen, so lässt sich schreiben:

${\begin{aligned}Y=&{\frac {2\,\varepsilon \,\beta \,\gamma \,\pi \,\rho }{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}y\left\lbrace {\sqrt {\frac {\sigma '+\gamma ^{2}}{\sigma '+\beta ^{2}}}}-1\right\rbrace \\&+2\,\varepsilon \,\rho \int \limits _{\sigma }^{\infty }\arcsin {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{t}}}}\cdot {\frac {y}{s+\beta ^{2}}}\cdot {\frac {ds}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}.\\\end{aligned}}$

Das Integral wird zu Null, wenn wir irgend eine der Coordinaten $x,\,y,\,z$ unendlich gross nehmen. Denn es wird dann $\sigma =\infty \,$, die Grenzen der Integration fallen also zusammen. Die Function unter dem Integralzeichen wird $=0\,$ für $s=\infty \,$, selbst dann noch, wenn $y=\infty \,$ sein sollte. Denn vermöge der Gleichung ${\frac {t-x^{2}}{s}}=0$ kann ${\frac {y^{2}}{s+\beta ^{2}}}$ nicht unendlich gross werden, wenn $s=\sigma \,$ gesetzt wird und $\sigma =\infty$ ist. Der Werth dieses Bruches ist endlich oder unendlich klein, je nachdem $y\,$ unendlich gross oder endlich ist, und folglich ist ${\frac {y}{s+\beta ^{2}}}$ jedenfalls unendlich klein für $s=\sigma =\infty \,$.

 Wenn also eine der Coordinaten $x,\,y,\,z$ unendlich gross wird, so hat man

$Y={\frac {2\,\varepsilon \,\beta \,\gamma \,\pi \,\rho }{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}y\left\lbrace {\sqrt {\frac {\sigma '+\gamma ^{2}}{\sigma '+\beta ^{2}}}}-1\right\rbrace .$

Ist nun $y\,$ endlich, $z=\infty \,$, so wird $\sigma '=\infty \,$ und in Folge dessen $Y=0\,$. Ist $y=\infty \,$, so nimmt der letzte Ausdruck für $Y\,$ die Form $\infty .0\,$ an. Wir schreiben ihn deshalb so:

$Y={\frac {2\,\varepsilon \,\beta \,\gamma \,\pi \,\rho }{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\cdot {\frac {{\sqrt {\frac {\sigma '+\gamma ^{2}}{\sigma '+\beta ^{2}}}}-1}{1:y}}$

und ermitteln den wahren Werth nach den Regeln der Differentialrechnung. Derselbe findet sich

${\begin{aligned}&=\varepsilon \,\beta \,\gamma \,\pi \,\rho {\sqrt {\frac {\sigma '+\beta ^{2}}{\sigma '+\gamma ^{2}}}}\cdot {\frac {-y^{2}}{(\sigma '+\beta ^{2})^{2}}}\cdot {\frac {\partial \sigma '}{\partial y}}\\&=-2\,\varepsilon \,\beta \,\gamma \,\pi \,\rho {\sqrt {\frac {\sigma '+\beta ^{2}}{\sigma '+\gamma ^{2}}}}\cdot {\frac {-y}{\sigma '+\beta ^{2}}}\cdot {\frac {\left({\frac {y}{\sigma '+\beta ^{2}}}\right)^{2}}{\left({\frac {y}{\sigma '+\beta ^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{\sigma '+\gamma ^{2}}}\right)^{2}}},\\\end{aligned}}$

wenn man $\sigma '\,$ und $y\,$ unendlich gross nimmt. Von den drei variabeln Factoren ist der letzte ein positiver echter Bruch, dessen Werth höchstens gleich $1\,$ ist. Der erste hat den Grenzwerth $1\,$, und der zweite den Grenzwerth Null. Denn vermöge der Gleichung (22) muss $y^{2}:(\sigma '+\beta ^{2})\,$ endlich sein, selbst wenn $y\,$ und $\sigma '\,$ unendlich gross genommen werden. Folglich ist

$\lim {\frac {y}{\sigma '+\beta ^{2}}}=0$

für $y=\infty \,$.

 Damit ist bewiesen, dass $Y=0\,$ für $\lim(y^{2}+z^{2})=\infty \,$.

 Auf demselben Wege wird der Beweis geführt, dass $Z=0\,$ für $\lim(y^{2}+z^{2})=\infty \,$.

 Die Richtigkeit der Ausdrücke für $X,\,Y,\,Z$ ist zwar im vorigen Paragraphen vollständig bewiesen. Doch erscheint es nicht unzweckmässig, einen Theil der Untersuchung noch auf einem anderen Wege vorzunehmen. Es ist dies namentlich die Bestimmung der Functionen $\Phi (y,\,z)$ und $\Psi (y,\,z)$, wenn man dabei von den Gleichungen (14) und (18) des vorigen Paragraphen ausgehen will.

 Es handelt sich darum, den Werth von $Y\,$ aus der Gleichung (14) des vorigen Paragraphen zu ermitteln für $x=0\,$. Man hat dabei zu beachten, dass für $x=0\,$ die Grösse $\sigma \,$ übergeht in $\sigma '\,$. Dadurch wird aber der Werth des Integrals in (14) unendlich gross, und der erste Bestandtheil von $Y\,$ nimmt in Gleichung (14) die unbestimmte Form $0.\infty \,$ an.

 Um den wahren Werth zu ermitteln, kann man statt des reellen Integrationsweges einen anderen einschlagen, welcher durch complexe Werthe der Variablen führt.

 Wir denken uns nach dem Vorgange von Gauss eine complexe Zahl $s=\xi +\eta {\sqrt {-1}}\,$ repräsentirt durch den Punkt einer Ebene, dessen rechtwinklige Coordinaten $\xi ,\,\eta \,$ sind. Die Zahl $s\,$ nimmt dann alle möglichen complexen Werthe an, wenn der Punkt $(\xi ,\,\eta )\,$ in der unbegrenzten Ebene in alle möglichen Lagen gebracht wird. Die Werthe von $s\,$ ändern sich stetig, wenn der Punkt $(\xi ,\,\eta )\,$ eine ununterbrochene Linie stetig durchläuft. Wir sagen dafür der Kürze wegen: die complexe Variable $s\,$ durchläuft die Linie.

 Die Ebene, in welcher der Punkt $(\xi ,\,\eta )\,$ beweglich ist, heisst die Zahlenebene. Es ist vortheilhaft, sie im Unendlichen als geschlossen anzusehen, d. h. sie als eine Kugel von unendlich grossem

§. 27. Fortsetzung: Integration durch complexe Werthe der Variablen.

 Die Richtigkeit der Ausdrücke für $X,\,Y,\,Z$ ist zwar im vorigen Paragraphen vollständig bewiesen. Doch erscheint es nicht unzweckmässig, einen Theil der Untersuchung noch auf einem anderen Wege vorzunehmen. Es ist dies namentlich die Bestimmung der Functionen $\Phi (y,\,z)$ und $\Psi (y,\,z)$, wenn man dabei von den Gleichungen (14) und (18) des vorigen Paragraphen ausgehen will.

 Es handelt sich darum, den Werth von $Y\,$ aus der Gleichung (14) des vorigen Paragraphen zu ermitteln für $x=0\,$. Man hat dabei zu beachten, dass für $x=0\,$ die Grösse $\sigma \,$ übergeht in $\sigma '\,$. Dadurch wird aber der Werth des Integrals in (14) unendlich gross, und der erste Bestandtheil von $Y\,$ nimmt in Gleichung (14) die unbestimmte Form $0.\infty \,$ an.

 Um den wahren Werth zu ermitteln, kann man statt des reellen Integrationsweges einen anderen einschlagen, welcher durch complexe Werthe der Variablen führt.

 Wir denken uns nach dem Vorgange von Gauss eine complexe Zahl $s=\xi +\eta {\sqrt {-1}}\,$ repräsentirt durch den Punkt einer Ebene, dessen rechtwinklige Coordinaten $\xi ,\,\eta \,$ sind. Die Zahl $s\,$ nimmt dann alle möglichen complexen Werthe an, wenn der Punkt $(\xi ,\,\eta )\,$ in der unbegrenzten Ebene in alle möglichen Lagen gebracht wird. Die Werthe von $s\,$ ändern sich stetig, wenn der Punkt $(\xi ,\,\eta )\,$ eine ununterbrochene Linie stetig durchläuft. Wir sagen dafür der Kürze wegen: die complexe Variable $s\,$ durchläuft die Linie.

 Die Ebene, in welcher der Punkt $(\xi ,\,\eta )\,$ beweglich ist, heisst die Zahlenebene. Es ist vortheilhaft, sie im Unendlichen als geschlossen anzusehen, d. h. sie als eine Kugel von unendlich grossem Radius aufzufassen. Dem Werthe $s=\infty \,$ entspricht dann nur ein einziger Punkt, welcher auf der unendlich grossen Kugel dem Nullpunkte diametral gegenüberliegt.

 Wir zeichnen in der Zahlenebene eine in sich zurücklaufende Linie $L\,$ (Fig. 18), welche sich selbst nicht durchschneidet und einen

Fig. 18.

Theil der Ebene vollständig begrenzt. Innerhalb dieses abgegrenzten Theiles soll die Axe der positiven $\xi \,$ von $s=\sigma \,$ bis $s=\infty \,$ liegen, ausserhalb dagegen die Punkte, welche die beiden negativen Wurzeln der Gleichung (2) des vorigen Paragraphen repräsentiren. Dann liegen auch die beiden Punkte der Abscissenaxe $(s=-\beta ^{2})\,$ und $(s=-\gamma ^{2})\,$ ausserhalb. Der Punkt $s=0\,$ soll nur dann innerhalb des abgegrenzten Gebietes liegen, wenn $\sigma =\sigma '\,$ und $\sigma '=0\,$ ist, d. h. wenn $x=0\,$ und ${\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}<1$.

 Wir wollen nun zunächst in dem Ausdrucke für $X\,$ den reellen Integrationsweg durch einen complexen ersetzen.

 Für jeden Werth, den die Variable $s\,$ annimmt, hat die Function

$f(s)={\frac {1}{s}}{\sqrt {\frac {t-x^{2}}{\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}$

zwei Werthe, weil die Quadratwurzel zweideutig ist. Diese beiden Werthe sind innerhalb des abgegrenzten Flachenstückes an zwei Stellen einander gleich, und zwar $=0\,$, wenn nemlich $s=\sigma \,$ und wenn $s=\infty \,$. Für alle übrigen Werthe von $s\,$ innerhalb und auf der Begrenzung des Flächenstückes soll nur ein Werth von $f(s)\,$ in Betracht gezogen werden, und zwar nach folgender Vorschrift. Wir zerschneiden die Zahlenebene längs der reellen Zahlenaxe von $s=\sigma \,$ bis $s=+\infty \,$ und setzen fest, dass die Variable $s\,$ bei ihrer Bewegung in der Ebene diesen Schnitt nicht überschreiten, wohl aber umgehen darf. Soll sie also die reelle Zahlenaxe von $\sigma \,$ bis $\infty \,$ durchlaufen, so ist zu unterscheiden, ob dies unendlich nahe an dem Schnitt auf der rechten oder auf der linken Seite geschieht. Für solche Werthe von $s\,$ ist $f(s)\,$ reell. Wir setzen fest, dass der positive Werth von $f(s)\,$ genommen werden soll, wenn $s\,$ unendlich nahe an dem Schnitt auf der rechten (unteren) Seite liegt, und der negative Werth von $f(s)\,$, wenn $s\,$ unendlich nahe an dem Schnitt auf der linken (oberen) Seite liegt. Wir lassen dann die Variable $s\,$ von dem Rande des Schnittes aus im Innern des begrenzten Flächenstückes eine Linie stetig durchlaufen, die im Innern oder auf der Begrenzung $L\,$ endigt. Dabei soll, wie wir ferner festsetzen, von den beiden Werthen der Function $f(s)\,$ nur die stetige Fortsetzung des Anfangswerthes in Betracht kommen. Dadurch wird erreicht, dass auf der Linie $L\,$ und im Innern des von ihr begrenzten und von $\sigma \,$ bis $\infty \,$ zerschnittenen Flächenstückes die Function $f(s)\,$ überall einwerthig, endlich und stetig variabel ist. Nur wenn $\sigma =0\,$ ist, wird die Function an einer Stelle des Flächenstückes unendlich, nemlich an der Stelles $s=0\,$. In diesem besonderen Falle legen wir um den Unstetigkeitspunkt einen Kreis von beliebig kleinem Radius $\delta \,$, schliessen das Innere desselben von dem betrachteten Flächenstück aus und lassen schliesslich $\lim \delta =0\,$ werden.

 Wir setzen nun einen Fundamentalsatz aus der Theorie der Functionen einer complexen Variablen als bekannt voraus. Derselbe lautet:

 Wenn für alle Werthe von $s\,$ innerhalb eines vollständig begrenzten Gebietes der Zahlenebene und auf der Begrenzung die Function $f(s)\,$ überall einwerthig, endlich und stetig variabel ist, so hat das Integral

$\int f(s)\,ds,$

ausgedehnt durch die ganze Begrenzung, den Werth Null.

 Ist $\sigma >\sigma ',\,$ also $x\,$ von Null verschieden, so hat man folgenden Integrationsweg (Fig. 19):

Fig. 19.

Von $\infty \,$ bis $\sigma \,$ unendlich nahe an dem Schnitt auf der rechten (unteren) Seite, von $\sigma \,$ bis $\infty \,$ ebenso auf der linken (oberen) Seite, dann von $\infty \,$ durch die Linie $L\,$ um $\sigma \,$ herum bis $\infty \,$ in der Richtung der Pfeile.

 Das Integral auf dem reellen Wege von $\infty \,$ bis $\sigma \,$ und von $\sigma \,$ bis $\infty \,$ hat den Werth

(2)	$-2\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {{\sqrt {t-x^{2}}}ds}{s{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}},$

wenn die Quadratwurzeln positiv genommen werden. Mit Hülfe des eben citirten Satzes findet sich also

(3)	$X=\rho \int {\frac {{\sqrt {t-x^{2}}}ds}{s{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}},$

und es ist das Integral durch complexe Werthe von $s\,$ zu nehmen längs der Linie $L\,$ von $\infty \,$ bis $\infty \,$ in der Richtung der in Fig. 18 angegebenen Pfeile.

 Die Gleichung (3) bleibt gültig, auch wenn $\sigma =\sigma '\,$ und $\sigma '=0\,$ ist. Der Integrationsweg (Fig. 20) führt jetzt von $\infty \,$ bis $\sigma '+\delta \,$ an dem unteren Rande

Fig. 20.

des Schnittes, dann durch die Peripherie des um $\sigma '\,$ gelegten Kreises, hierauf von $\sigma '+\delta \,$ bis $\infty \,$ an dem oberen Rande des Schnittes und schliesslich längs der Linie $L\,$ von $\infty \,$ bis $\infty \,$, immer in der Richtung der Pfeile. Soweit der Integrationsweg reell ist, erhält man für $\lim \delta =0\,$ das Integral (2). Das Integral, durch die Kreisperipherie erstreckt, hat den Grenzwerth Null. Denn es geht für $x=0\,$ die Function $f(s)\,$ über in

${\sqrt {\frac {1-{\frac {y^{2}}{s+\beta ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{s+\gamma ^{2}}}}{s\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}},$

und diese wird für $s=0\,$ unendlich wie ${\frac {1}{\sqrt {s}}}.$ Folglich wird der Integralwerth an dieser Stelle Null wie ${\sqrt {s}}$. Wir kommen demnach auf die Gleichung (3) zurück. Nur ist jetzt der Integrationsweg $L\,$ so zu legen, dass er die Stelle $s=\sigma '\,$ mit umschliesst.

 Soll nun auch in der Gleichung (14) des vorigen Paragraphen ein complexer Integrationsweg eingeschlagen werden, so haben wir

(4)	$Y=-{\frac {\rho \,x\,y}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\int {\frac {s+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\cdot {\frac {{\frac {\partial t}{\partial s}}ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}+\Phi \left(y,z\right),$

und es ist die Integration durch die Linie $L\,$ (Fig. 18) zu erstrecken von $\infty \,$ bis $\infty \,$ in der Richtung der vorgeschriebenen Pfeile.

 Für $x=0\,$ wird $\sigma =\sigma '.\,$ In diesem Falle ist für das Integral in (4) die Linie $L\,$ so zu legen, dass sie den Punkt $\sigma '\,$ mit umschliesst, nicht aber die beiden anderen Wurzeln der Gleichung $t=0\,$. Das Integral ist mit besonderer Vorsicht zu behandeln, weil für $s=\sigma '\,$ die Function $t=0\,$ wird, und in Folge davon die Function unter dem Integral unendlich gross. Wir wählen auf

Fig. 21.

der Linie $L\,$ zwei Punkte $b\,$ und $c\,$. Durch sie und den unendlich entfernten Punkt wird die ganze Linie in drei Bestandteile $L_{1},L_{2},L_{3}\,$ zerlegt. $L_{1}\,$ läuft von $\infty \,$ bis $b,L_{2}\,$ von $b\,$ bis $c,L_{3}\,$ von $c\,$ bis $\infty \,$. Wir ziehen ferner von $b\,$ nach $c\,$ durch das Innere des von $L\,$ begrenzten Flächenstücks eine Linie $L_{4}\,$ (Fig. 21), so dass $L_{4}\,$ und $L_{2}\,$ ein Flächenstück begrenzen, innerhalb dessen der Punkt $\sigma '\,$ liegt. Das Integral

(5)	$\int {\frac {(s+\gamma ^{2})}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\cdot {\frac {{\frac {\partial t}{\partial s}}ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}},$

durch die ganze Linie $L\,$ erstreckt, soll mit $J\,$ bezeichnet werden, mit $J_{1},J_{2},J_{3}\,$ dagegen die drei Bestandtheile, die sich ergeben bei der Integration von $\infty \,$ bis $b\,$ längs der Linie $L_{1},\,$ von $b\,$ bis $c\,$ längs $L_{2},\,$ von $c\,$ bis $\infty \,$ längs $L_{3}\,$. Endlich soll $J_{4}\,$ der Werth des Integrals von $b\,$ bis $c,\,$ durch $L_{4}\,$ genommen, sein. Dann hat man

$J=\left(J_{1}+J_{4}+J_{3}\right)+\left(J_{2}-J_{4}\right).\,$

Hierin ist $J_{1}+J_{4}+J_{3}\,$ ein Integral von endlichem Werthe. Also hat man

$\lim \lbrace x\left(J_{1}+J_{4}+J_{3}\right)\rbrace =0$ für $x=0.\,$

 Das Integral $J_{2}-J_{4}\,$ kann durch irgend ein anderes ersetzt werden, dessen geschlossener Integrationsweg um $\sigma '\,$ herumführt. Wir machen $\sigma '\,$ zum Mittelpunkt eines Kreises vom Radius $r\,$, der so gewählt ist, dass die Peripherie ganz in das von $L_{2}\,$ und $L_{4}\,$ begrenzte Flächenstück hineinfällt. Wenn man dann das Integral (5) in der Richtung des Pfeiles (Fig. 21) durch die Kreisperipherie erstreckt, so ist sein Werth $=J_{2}-J_{4}\,$. Dieses Integral bedarf noch der Untersuchung. Es ist

$t=s-{\frac {s\,y^{2}}{s+\beta ^{2}}}-{\frac {s\,z^{2}}{s+\gamma ^{2}}},$ $0=\sigma '-{\frac {\sigma '\,y^{2}}{\sigma '+\beta ^{2}}}-{\frac {\sigma '\,z^{2}}{\sigma '+\gamma ^{2}}};$

daraus ergibt sich durch Subtraction

$t=(s-\sigma ')\left\lbrace 1-{\frac {\beta ^{2}\,y^{2}}{(s+\beta ^{2})(\sigma '+\beta ^{2})}}-{\frac {\gamma ^{2}\,z^{2}}{(s+\gamma ^{2})(\sigma '+\gamma ^{2})}}\right\rbrace .$

Wir nehmen auf beiden Seiten Logarithmen und erhalten durch Differentiation

${\frac {1}{t}}{\frac {\partial t}{\partial s}}ds=d\lg(s-\sigma ')+\varphi (s)\,ds,$

wenn mit $\varphi (s)\,$ eine Function bezeichnet wird, die auf der Peripherie und im Innern des Kreises endlich und stetig variabel ist, auch für $s=\sigma '\,$. Dann ist zunächst das Integral

$\int {\frac {(s+\gamma ^{2})\,\varphi (s)\,ds}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)(t-x^{2})}}},$

durch die Kreisperipherie erstreckt, unter keinen Umständen unendlich gross. Denn setzt man $x=0\,$, so erhält man unter dem Integralzeichen ein Product, dessen einer Factor ${\frac {ds}{\sqrt {s-\sigma '}}}$ ist, und dessen anderer Factor auf der Kreisperipherie und im Innern des Kreises überall endlich ist. Da nun das unbestimmte Integral

$\int {\frac {ds}{\sqrt {s-\sigma '}}}=2{\sqrt {s-\sigma '}}$

auf dem ganzen Integrationswege endlich bleibt, so ist auch, durch die Kreisperipherie erstreckt,

$\int {\frac {(s+\gamma ^{2})\varphi (s)\,ds}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)(t-x^{2})}}}$

endlich, und der Werth dieses Integrals nähert sich der Grenze Null, wenn man den Radius des kreisförmigen Integrationsweges unendlich klein werden lässt.

 Es bleibt also nur noch das Integral

$\int f(s)\,d\,\lg(s-\sigma ')$

zu ermitteln, worin wir der Kürze wegen

(6)	${\frac {s+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)(t-x^{2})}}}=f(s)$

gesetzt haben. Wir führen nun Polar-Coordinaten $r,\,\varphi$ ein, so dass

$s-\sigma '=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{\varphi \,i}$

zu setzen ist $(i={\sqrt {-1}})$. Demnach haben wir $\lg(s-\sigma ')=\lg r+\varphi \,i\,$. Für Punkte auf der Kreisperipherie ist $r\,$ constant, folglich

$d\,\lg(s-\sigma ')=i\,d\varphi .$

Die Richtung des Integrationsweges ist dieselbe wie die Richtung des wachsenden Bogens. Demnach ergibt sich

$\int f(s)\,d\,\lg(s-\sigma ')=i\int \limits _{0}^{2\pi }f(s)\,d\varphi .$

Nun darf man den Radius $r\,$ beliebig klein wählen. Wir lassen ihn unendlich abnehmen und erhalten

(7)	${\begin{aligned}J_{2}-J_{4}&=\lim \int f(s)d\,\lg(s-\sigma ')=2\,\pi \,i\,f(\sigma ')\\&={\frac {2\,\pi (\sigma '+\gamma ^{2})}{\sqrt {x^{2}\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}.\\\end{aligned}}$

 Die gewonnenen Resultate beantworten die Frage, was aus der Gleichung (4) wird für $x=0\,$. Die linke Seite soll nach der Bedingung (12) des vorigen Paragraphen in Null übergehen. Auf der rechten Seite hat man für das Integral einzusetzen $(J_{1}+J_{4}+J_{3})+(J_{2}-J_{4})\,$ und hierauf den Grenzwerth zu ermitteln für $\lim x=0\,$. Es ist aber, wie schon bewiesen:

$\lim \left\lbrace x(J_{1}+J_{4}+J_{3})\right\rbrace =0$ für $x=0.\,$

Ferner ist nach Gleichung (7)

$x(J_{2}-J_{4})={\frac {2\,\varepsilon \,\pi (\sigma '+\gamma ^{2})}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)+\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}},$

und es ist $\varepsilon =+1\,$ oder $=-1\,$, je nachdem das reelle $x\,$ positiv oder negativ genommen wird.

 Soll nun $Y=0\,$ werden für $x=0\,$, so sieht man, dass in Gleichung (4) zu setzen ist:

(8)	$\Phi (y,\,z)=2\,\varepsilon \,\pi \,\rho {\frac {y}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\cdot {\frac {\sigma '+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)+\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}.$

Dies Resultat stimmt mit der im vorigen Paragraphen gewonnenen Gleichung (17) überein.

 In derselben Weise kann man verfahren, um die Function $\Psi (y,\,z)$ zu bestimmen.

§. 28. Fortsetzung: Die Componente $X\,$ kann als Potentialfunction einer Ellipsenfläche aufgefasst werden.

 Es sollte $F(x,\,y,\,z)$ die Potentialfunction bezeichnen für den Fall, dass der von der Fläche (1) des §. 26 begrenzte cylindrische Raum von $x=-\infty \,$ bis $x=0\,$ mit Masse von der constanten Dichtigkeit $-{\frac {1}{2}}\rho$ und von $x=0\,$ bis $x=\infty \,$ mit Masse von der constanten Dichtigkeit $+{\frac {1}{2}}\rho$ erfüllt ist. Dann ist, wie wir gesehen haben,

$F(x,\,y,\,z)-F(x-a,\,y,\,z)$

die Potentialfunction des Cylinders von der Dichtigkeit $\rho \,$, der von den Endflächen $x=0\,$ und $x=a\,$ begrenzt wird. Lässt man nun $a\,$ unendlich klein werden, so erhält man

${\frac {\partial F}{\partial x}}dx,$ d. h. $X\,dx$

als Potentialfunction des Cylinders, der von den Endflächen $x=0\,$ und $x=dx\,$ begrenzt wird. Ein Element dieses Cylinders enthält die Masse $\rho \,dx\,dy\,dz$. Man kann sich dies auch so vorstellen, als ob die Masse mit der Dichtigkeit $\rho \,dx$ auf der Basisfläche des Cylinders ausgebreitet wäre. Folglich ist $X\,$ die Potentialfunction der Ellipsenfläche

$x=0,\quad {\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}-1=0,$

über welche die Masse mit der constanten Dichtigkeit $\rho \,$ ausgebreitet ist.

 Wir wollen nun direct beweisen, dass der Ausdruck (5) des §. 26 allen den Bedingungen Genüge leistet, durch welche die Potentialfunction der eben genannten Ellipsenfläche eindeutig bestimmt ist. Es ist dies eine zweite Art, den Ausdruck für $X\,$ zu verificiren.

 Es kömmt darauf an zu beweisen, dass

(1)	${\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}X}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}X}{\partial z^{2}}}=0$

im ganzen unendlichen Räume, dass

(2)	$\left({\frac {\partial X}{\partial x}}\right)_{+0}-\left({\frac {\partial X}{\partial x}}\right)_{-0}=-4\pi \rho$

für jeden Punkt der anziehenden Fläche, und dass

(3)

$X=0\,$

ist, wenn eine der drei Coordinaten $x,y,z\,$ unendlich gross genommen wird.

 Wir gehen aus von der Gleichung (3) des vorigen Paragraphen, nemlich

(4)	$X=\rho \int {\frac {\sqrt {(t-x^{2}):s}}{\sqrt {s\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}ds.$

Die Integration ist durch die Linie $L\,$ (Fig. 18) zu erstrecken. Zur Abkürzung schreiben wir

${\frac {t-x^{2}}{s}}=m,$ $s\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)=D.$

 Durch Differentiation findet sich

${\frac {\partial (m^{\frac {1}{2}})}{\partial x}}={\frac {1}{2}}m^{-{\frac {1}{2}}}{\frac {\partial m}{\partial x}}$ ${\frac {\partial ^{2}(m^{\frac {1}{2}})}{\partial x^{2}}}=-{\frac {1}{4}}m^{-{\frac {3}{2}}}\left({\frac {\partial m}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}m^{-{\frac {1}{2}}}{\frac {\partial ^{2}m}{\partial x^{2}}}.$

 Ferner hat man

${\frac {\partial m}{\partial x}}=-2{\frac {x}{s}},\quad {\frac {\partial ^{2}m}{\partial x^{2}}}=-{\frac {2}{s}},$ ${\frac {\partial m}{\partial y}}=-2{\frac {y}{s+\beta ^{2}}},\quad {\frac {\partial ^{2}m}{\partial y^{2}}}=-{\frac {2}{s+\beta ^{2}}},$ ${\frac {\partial m}{\partial z}}=-2{\frac {z}{s+\gamma ^{2}}},\quad {\frac {\partial ^{2}m}{\partial ^{2}z}}=-{\frac {2}{s+\gamma ^{2}}}.$[12]

 Daraus berechnet sich

(5)	${\frac {\partial ^{2}\left(m^{\frac {1}{2}}\right)}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\left(m^{\frac {1}{2}}\right)}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\left(m^{\frac {1}{2}}\right)}{\partial z^{2}}}$

${\begin{aligned}=&-m^{-{\frac {3}{2}}}\left\lbrace \left({\frac {x}{s}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{s+\beta ^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{s+\gamma ^{2}}}\right)^{2}\right\rbrace \\&-m^{-{\frac {1}{2}}}\left\lbrace {\frac {1}{s}}+{\frac {1}{s+\beta ^{2}}}+{\frac {1}{s+\gamma ^{2}}}\right\rbrace .\\\end{aligned}}$

 Man findet aber leicht

${\frac {\partial m}{\partial s}}=\left({\frac {x}{s}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{s+\beta ^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{s+\gamma ^{2}}}\right)^{2},$ ${\frac {d\,\lg D}{ds}}={\frac {1}{s}}+{\frac {1}{s+\beta ^{2}}}+{\frac {1}{s+\gamma ^{2}}}.$

 Folglich vereinfacht sich die Gleichung (5). Man erhält nemlich

(6)	${\frac {\partial ^{2}\left(m^{\frac {1}{2}}\right)}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\left(m^{\frac {1}{2}}\right)}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\left(m^{\frac {1}{2}}\right)}{\partial z^{2}}}$

${\begin{aligned}&=-m^{-{\frac {1}{2}}}\left({\frac {1}{m}}{\frac {\partial m}{\partial s}}+{\frac {d\,\lg D}{ds}}\right)\\&=-m^{-{\frac {1}{2}}}{\frac {d\,\lg(m\,D)}{ds}}.\\\end{aligned}}$

 Mit Hülfe dieser Gleichung ergibt sich

(7)	${\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}X}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}X}{\partial z^{2}}}$

${\begin{aligned}&=-\rho \int {\frac {1}{\sqrt {m\,D}}}{\frac {d\lg(m\,D)}{ds}}ds\\&=-\rho \int (m\,D)^{-{\frac {3}{2}}}d(m\,D).\\\end{aligned}}$

Das Integral ist zu erstrecken durch die Linie $L\,$ (Fig. 18) von $\infty$ um $\sigma \,$ herum bis $\infty \,$. Das unbestimmte Integral lässt sich ausrechnen, nemlich

$-\int (m\,D)^{-{\frac {3}{2}}}d(m\,D)={\frac {2}{\sqrt {m\,D}}}.$

Diese Function ist auf dem ganzen Integrationswege einwerthig, endlich und stetig variabel. Man findet also das bestimmte Integral gleich der Differenz der Werthe des unbestimmten Integrals an den Grenzen. Diese Werthe sind aber an den Grenzen $(s=\infty )\,$ beide gleich Null. Folglich

(8)	${\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}X}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}X}{\partial z^{2}}}=0.$

Dies ist die zu beweisende Gleichung (1).

 Um die zweite Eigenschaft der Function $X\,$ nachzuweisen, stellen wir ${\frac {\partial X}{\partial x}}$ her nemlich

(9)	${\frac {\partial X}{\partial x}}=-x\,\rho \int {\frac {ds}{s{\sqrt {t-x^{2}}}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}}$

 Soll hier $x=0\,$ genommen werden, so muss der Integrationsweg von $\infty \,$ nach $\infty \,$ durch eine geschlossene Linie $L\,$ führen, welche den Punkt $\sigma '\,$ mit umschliesst. Dabei ist zu unterscheiden, ob $\sigma '>0\,$ oder $\sigma '=0\,$ ist.

 Es sei erstens $\sigma '>0\,$. Dann können und dürfen wir die Linie $L\,$ so legen, dass der Punkt $s=0\,$ ausserhalb des umschlossenen Flächenstücks liegt. Das Integral auf der rechten Seite von (9) kann ersetzt werden durch den doppelten Werth des Integrals zwischen den reellen Grenzen $\sigma '\,$ und $\infty \,$. Nun wird zwar für $s=\sigma '\,$ die Function unter dem Integralzeichen unendlich wie $(t-x^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\,$, aber das unbestimmte Integral wird an dieser Stelle Null wie $(t-x^{2})^{\frac {1}{2}}\,$, und daher hat das bestimmte Integral einen angebbaren endlichen Werth. Folglich ist für $x=0\,$ auch ${\frac {\partial X}{\partial x}}=0$, gleichgültig, ob $x\,$ von der positiven oder von der negativen Seite in Null übergeht. Wir haben also (für $x=0\,$)

(10)	$\left({\frac {\partial X}{\partial x}}\right)_{+0}-\left({\frac {\partial X}{\partial x}}\right)_{-0}=0,$

wenn $\sigma '>0\,$, d. h. wenn ${\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}>1$. In diesem Falle liegt der Punkt $(x,\,y,\,z)$ zwar in der $yz\,$Ebene, aber nicht an einer mit Masse erfüllten Stelle.

 Es sei zweitens $\sigma '=0\,$. Dann umschliesst die Linie $L\,$ den Punkt $s=0\,$. In ihm wird die Function unter dem Integralzeichen unendlich. Wir zerlegen jetzt das Integral (9) in zwei Bestandtheile. Für den ersten Bestandtheil ist der Integrationsweg zusammengesetzt aus der Linie $L_{1}\,$ (Fig. 21) von $\infty \,$ bis $b\,$, der Linie $L_{4}\,$ von $b\,$ bis $c\,$ und der Linie $L_{3}\,$ von $c\,$ bis $\infty \,$. Für den zweiten Bestandtheil wird die Integration erstreckt von $b\,$ bis $c\,$ längs der Linie $L_{2}\,$ und von $c\,$ bis $b\,$ längs der Linie $L_{4}\,$. Der erste Bestandtheil hat einen endlichen Werth. Multiplicirt man diesen mit $x\,$, so wird für $x=0\,$ das Product zu Null, gleichgültig, ob $x\,$ von der negativen oder von der positiven Seite in Null übergeführt ist. Es bleibt also nur der zweite Bestandtheil des Integrals (9) zu berücksichtigen. Für diesen kann der Integrationsweg ersetzt werden durch einen Kreis, der den Punkt $s=\sigma '=0\,$ zum Mittelpunkt hat. Setzen wir dann zur Abkürzung

${\frac {1}{\sqrt {(t-x^{2})\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}=f(s),$

so ist das Integral, um das es sich handelt,

$=i\int \limits _{0}^{2\pi }f(s)\,d\varphi .$

Der Radius des Kreises darf unendlich klein genommen werden. Das Integral bat also den Werth

$2\,\pi \,i\,f(0),$

d. h. mit Rücksicht auf den Werth von $f(0)\,$:

${\frac {2\,\pi }{\sqrt {x^{2}}}}.$

Folglich erhält man aus der Gleichung (9)

(11)	$\left({\frac {\partial X}{\partial x}}\right)_{x=0}=-{\frac {2\,\pi \,\rho \,x}{\sqrt {x^{2}}}}=-2\,\pi \,\rho \,\varepsilon ,$

wobei $\varepsilon =+1\,$ oder $-1\,$, je nachdem $x\,$ von der positiven oder von der negativen Seite in Null übergeht. Demnach findet sich (für $x=0\,$):

(12)	$\left({\frac {\partial X}{\partial x}}\right)_{+0}-\left({\frac {\partial X}{\partial x}}\right)_{-0}=-4\,\pi \,\rho ,$

unter der Voraussetzung, dass $\sigma '=0\,$, d. h. dass ${\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}<1$ ist.

 Damit ist bewiesen, dass $X\,$ auch der Bedingung (2) Genüge leistet.

 Endlich muss $X=0\,$ sein, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in unendliche Entfernung rückt. Dass dies wirklich eintrifft, ist schon in §. 26 bewiesen.

 Die Function $X\,$ genügt also in der That den Bedingungen (1), (2), (3).

§. 29. Beispiel: Potentialfunction einer nicht homogenen Kugel.

 Wir wollen die Potentialfunction $V\,$ einer kugelförmigen Masse bestimmen, wenn die Dichtigkeit $\rho \,$ nicht constant ist und der Werth von $V\,$ in der Oberfläche als gegeben vorausgesetzt wird. Der Radius der anziehenden Kugel sei $=a\,$. In ihren Mittelpunkt legen wir den Anfangspunkt des rechtwinkligen Coordinatensystems.

 Zunächst kömmt es darauf an, von den rechtwinkligen Coordinaten $x,\,y,\,z$ zu Kugel-Coordinaten $r,\,\theta ,\,\varphi$ als unabhängigen Variabeln überzugehen.

 Wir legen den Mittelpunkt der Kugel-Coordinaten in den Anfangspunkt des rechtwinkligen Systems. Auf der Kugel vom Radius $1\,$, welche diesen Punkt zum Centrum hat, wählen wir den Pol an der Stelle, welche von der Axe der positiven $z\,$ getroffen wird. Als Anfangsmeridian soll der vom Pol zum Gegenpol verlaufende grösste Halbkreis genommen werden, den die Axe der positiven $x\,$ durchschneidet. Der Punkt, dessen rechtwinklige Coordinaten $x,\,y,\,z$ sind, hat den Radiusvector $r\,$. Dieser schneidet die Kugel vom Radius $1\,$ in einem Punkte, dessen Poldistanz mit $\theta \,$ und dessen geographische Länge mit $\varphi \,$ bezeichnet werden möge. Der Zusammenhang von $r,\,\theta ,\,\varphi$ mit $x,\,y,\,z$ wird durch die Gleichungen ausgesprochen:

(1)	$x=r\sin \theta \cos \varphi ,\,$ $y=r\sin \theta \sin \varphi ,\,$ $z=r\cos \theta .\,$

 Auf Grund dieser Gleichungen könnte man den Ausdruck

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$

durch blosse Rechnung transformiren. Wir ziehen es vor, den neuen Ausdruck direct herzuleiten, indem wir den Satz von Gauss

Fig. 22.

(§.12) auf ein Raumelement des Kugelcoordinaten-Systems anwenden. Dieses Raumelement (Fig.22) wird begrenzt von zwei concentrischen Kugelflächen, die mit den Radien $r\,$ und $r+dr\,$ um den Mittelpunkt der Kugel-Coordinaten beschrieben sind, ferner von zwei Kegelflächen, welche die $z\,$Axe zur Axe haben, und deren Erzeugende mit dieser Axe die Winkel $\theta \,$ und resp. $\theta +d\theta \,$ einschliessen, endlich von zwei Meridian-Ebenen, die mit der Ebene des Anfangsmeridians die Winkel $\varphi \,$ und $\varphi +d\varphi \,$ bilden. Die sechs Begrenzungsflächen durchschneiden sich in zwölf Kanten. Je drei von ihnen, welche eine dreiseitige Ecke bilden, stehen rechtwinklig aufeinander.

 Der Satz von Gauss lautet:

(2)	$\int N\,d\sigma =4\,\pi \,M,$

wenn die Integration über die Oberfläche des Raumelementes erstreckt wird. $N\,$ ist die Componente der Anziehung in der Oberfläche, genommen in der Richtung der nach innen gezogenen Normale, und $M\,$ die Masse im Innern des Raumelementes.

 Das Integral zerlegt sich in sechs Bestandteile, deren jeder von einer Seitenfläche herrührt. Wir haben zunächst zwei Seitenflächen, rechtwinklig gegen den Radius vector $r\,$. Der Flächeninhalt derselben ist $r^{2}\,\sin \theta \,d\theta \,d\varphi \,$ und resp. $(r+dr)^{2}\,\sin \theta \,d\theta \,d\varphi$. Für die erste ist $N={\frac {\partial V}{\partial r}}\,$, für die andere $N=-\left({\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r+dr}$. Folglich liefern diese beiden Seitenflächen zu dem Integral den Beitrag

$\left\lbrace r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}-\left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r+dr}\right\rbrace \sin \theta \,d\theta \,d\varphi$ $=-{\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .$

Es kommen ferner in Betracht zwei Seitenflächen, rechtwinklig gegen den Meridian. Ihr Flächeninhalt ist $r\,\sin \theta \,dr\,d\varphi$ und resp. $r\,\sin(\theta +d\theta )\,dr\,d\varphi$. Für die eine ist $N={\frac {\partial V}{r\,\partial \theta }}$, für die andere $N=-\left({\frac {\partial V}{r\,\partial \theta }}\right)_{\theta +d\theta }$. Folglich lautet der Beitrag zu dem Integral

$\left\lbrace {\frac {\partial V}{r\,\partial \theta }}\sin \theta -\left({\frac {\partial V}{r\,\partial \theta }}\sin \theta \right)_{\theta +d\theta }\right\rbrace r\,dr\,d\varphi$ $=-{\frac {\partial \left({\frac {\partial V}{\partial \theta }}\sin \theta \right)}{\partial \theta }}dr\,d\theta \,d\varphi .$

 Endlich handelt es sich noch um zwei Seitenflächen, rechtwinklig gegen den Parallelkreis. Jede von ihnen hat den Flächeninhalt $r\,dr\,d\theta$. Für die eine ist $N={\frac {\partial V}{r\,\sin \theta \,d\varphi }}$, für die andere $N=\left({\frac {\partial V}{r\,\sin \theta \,d\varphi }}\right)_{\varphi +d\varphi }$. Wir erhalten also zu dem Integral den Beitrag

$\left\lbrace {\frac {\partial V}{r\,\sin \theta \,\partial \varphi }}-\left({\frac {\partial V}{r\,\sin \theta \,\partial \varphi }}\right)_{\varphi +d\varphi }\right\rbrace r\,dr\,d\theta$ $=-{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}dr\,d\theta \,d\varphi .$

 Fassen wir diese Beiträge zusammen, so wird aus der linken Seite der Gleichung (2):

$-dr\,d\theta \,d\varphi \left\lbrace {\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}\sin \theta +{\frac {\partial \left(\sin \theta \,{\frac {\partial V}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}\right\rbrace .$

Auf der rechten Seite ist

$M=\rho \,r^{2}\,\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .$

Stellt man hiernach die Gleichung (2) auf und dividirt auf beiden Seiten durch $-r^{2}\,\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi$, so ergibt sich:

(3)

${\frac {1}{r^{2}}}\left\lbrace {\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \left(\sin \theta \,{\frac {\partial V}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin \theta ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}\right\rbrace =-4\,\pi \,\rho .$

Dies ist die partielle Differentialgleichung, welche für Kugel-Coordinaten an die Stelle der Gleichung (4) des §. 13 tritt.

 Die Gleichung von Laplace lautet demnach für dieses Coordinatensystem:

(4)	${\frac {\partial \left(r^{2}\,{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{\sin \theta }}\,{\frac {\partial \left(\sin \theta \,{\frac {\partial V}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin \theta ^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}=0.$

§. 30. Fortsetzung: Die Function $U\,$.

 Soll zunächst die Function $V\,$ für irgend einen Punkt $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$ im Innern der Kugel vom Radius $a\,$ hergestellt werden $(r'<a)\,$, so handelt es sich nach Green's Methode darum, eine Function $U\,$ ausfindig zu machen, die den folgenden Bedingungen Genüge leistet:

(1)	${\frac {\partial \left(r^{2}\,{\frac {\partial U}{\partial r}}\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{\sin \theta }}\,{\frac {\partial \left(\sin \theta \,{\frac {\partial U}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin \theta ^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}U}{\partial \varphi ^{2}}}=0$

im Innern der Kugel vom Radius $a\,(r<a);$

(2)	$U=0\,$ in der Oberfläche $a\,(r=a);$

(3)	$U=\infty$ im Punkte $(r',\,\theta ',\,\varphi '),$

wie der reciproke Werth der Entfernung von diesem Punkte.

 Die partielle Differentialgleichung (1) lässt sich durch eine andere ersetzen, wenn man eine Function $u\,$ einführt durch die Gleichung:

(4)	$U=r^{-{\frac {1}{2}}}u$

und $\lg r\,$ als Variable nimmt statt $r\,$. Es ist nemlich

$r^{2}\,{\frac {\partial U}{\partial r}}=r\,{\frac {\partial U}{\partial \lg r}},$

folglich

${\frac {\partial \left(r^{2}\,{\frac {\partial U}{\partial r}}\right)}{\partial r}}=\,{\frac {\partial ^{2}U}{\partial \lg r^{2}}}+{\frac {\partial U}{\partial \lg r}}.$

 Aus der Gleichung (4) findet sich durch Differentiation

${\frac {\partial U}{\partial \lg r}}=r^{-{\frac {1}{2}}}\,{\frac {\partial u}{\partial \lg r}}-{\frac {1}{2}}\,r^{-{\frac {1}{2}}}u,$

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial \lg r^{2}}}=r^{-{\frac {1}{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \lg r^{2}}}-r^{-{\frac {1}{2}}}\,{\frac {\partial u}{\partial \lg r}}+{\frac {1}{4}}\,r^{-{\frac {1}{2}}}\,u.$

 Führt man dies in die partielle Differentialgleichung (1) ein, so erhält man, nach Wegwerfung des Factors $r^{-{\frac {1}{2}}}$:

(5)	${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \lg r^{2}}}-{\frac {1}{4}}u+{\frac {1}{\sin \theta }}\,{\frac {\partial \left(\sin \theta {\frac {\partial u}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin \theta ^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}=0.$

Ist

(6)	$u=F(\lg r,\,\theta ,\,\varphi )$

eine Lösung dieser partiellen Differentialgleichung, so kann man darin $\lg r\,$ ersetzen durch $const.-\lg r\,$ und erhält dadurch eine neue Lösung. Man überzeugt sich davon leicht, wenn man bemerkt, dass in (5) nur $(d\,\lg r)^{2}$ vorkommt. Es ist also auch

(7)	$u_{1}=c\cdot F(\lg r_{1},\,\theta ,\,\varphi )$

eine Lösung, wenn $\lg r+\lg r_{1}=const.\,$ genommen wird.

 Gehört nun $r\,$ zu einem Punkte innerhalb der Kugel, so lässt es sich leicht einrichten, dass $r_{1}\,$ einem äusseren Punkte angehört. Man hat nur

(8)	$\lg r+\lg r_{1}=2\,\lg a,$ d. h. $r\,r_{1}=a^{2}$

zu setzen. Zwei solche Punkte, welche auf demselben Radius vector liegen, und deren Abstände vom Mittelpunkte $r\,$ und $r_{1}\,$ der Gleichung (8) Genüge leisten, sollen der eine der Bildpunkt des anderen genannt werden.

 Vermöge der Gleichungen (6), (7) und (8) ist es nun leicht, die Function $u\,$ über die Oberfläche der Kugel hinaus so in den äusseren Raum fortzusetzen, dass sie überall der partiellen Differentialgleichung (5) genügt, und dass sie in der Oberfläche der Kugel $(r=a)\,$ an jeder Stelle den Werth Null annimmt.

 Man braucht nur die Bestimmung zu treffen, dass die Functionswerthe $u\,$ und $u_{1}\,$ einander entgegengesetzt gleich sein sollen für zwei Punkte $(r,\,\theta ,\,\varphi )$ und $(r_{1},\,\theta ,\,\varphi )$, von denen der eine des anderen Bildpunkt ist. Also

(9)	$F(\lg r,\,\theta ,\,\varphi )=-F(2\,\lg a-\lg r,\,\theta ,\,\varphi ).$

Daraus geht zunächst hervor

(10)	$F(\lg a,\,\theta ,\,\varphi )=0.$

Ferner, wenn man mit $F'\,$ die Derivirte nach $\lg r\,$ bezeichnet:

(11)	$F'(\lg r,\,\theta ,\,\varphi )=F(\lg {\frac {a^{2}}{r}},\,\theta ,\,\varphi ).$

Für $r=a\,$ zeigt sich, dass die Derivirte in der Oberfläche denselben Werth annimmt, der Punkt mag von aussen oder von innen in die Oberfläche hineinrücken.

 Durch die Bestimmung, die wir über die Fortsetzung der Function $u\,$ getroffen haben, wird auch $U\,$ über die Kugeloberfläche vom Radius $a\,$ nach aussen fortgesetzt. Und zwar genügt bei dieser Art der Fortsetzung die Function $U\,$ im ganzen unendlichen Raume der partiellen Differentialgleichung (1). Sie hat in der Oberfläche $(r=a)\,$ an jeder Stelle den Werth Null. Es ist also nur noch darauf Acht zu geben, dass $U\,$ überall endlich und stetig variabel sein soll, ausser in dem Punkte $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$ und in seinem Bildpunkte $({\frac {a^{2}}{r'}},\,\theta ',\,\varphi ')$.

 Bezeichnen wir mit $U\,$ und $U_{1}\,$ die Werthe der Function $U\,$ für zwei gegenseitige Bildpunkte, so findet sich aus (9) und (4):

$r_{1}^{\frac {1}{2}}\,U_{1}=-r^{\frac {1}{2}}\,U=-a\,r_{1}^{-{\frac {1}{2}}}\,U,$

also

(12)	$U_{1}=-{\frac {a}{r_{1}}}U.$

 Diese Relation lässt sich zur Herstellung des Ausdruckes für die Function $U\,$ verwerthen, wenn man noch ihr Verhalten in der Nähe des Unstetigkeitspunktes im Innern und seines äusseren Bildpunktes beachtet. Es seien $r',\,\theta ',\,\varphi '$ die Coordinaten des inneren Unstetigkeitspunktes und $r_{1}',\,\theta ',\,\varphi '$ die Coordinaten seines äusseren Bildpunktes, so dass $r'\,r_{1}'=a^{2}$. Ferner seien $r'+\varepsilon ,\,\theta ',\,\varphi '$ und resp. $r_{1}'-\varepsilon _{1},\,\theta ',\,\varphi '$ die Coordinaten von zwei gegenseitigen Bildpunkten, welche mit den Unstetigkeitspunkten auf demselben Radius vector liegen. Nehmen wir $\varepsilon \,$ unendlich klein, so hat die Function im Punkte $(r'+\varepsilon ,\,\theta ',\,\varphi )$^[13] den Werth

(13)	$U={\frac {1}{\varepsilon }}+f.\,c.,$

wenn mit $f.\,c.$ eine Function bezeichnet wird, welche für $\varepsilon =0$ endlich und stetig bleibt. In dem äusseren Bildpunkte $(r_{1}'+\varepsilon _{1},\,\theta ',\,\varphi ')$ erhält man nach Gleichung (12)

$U_{1}=-{\frac {a}{r_{1}'-\varepsilon _{1}}}\cdot {\frac {1}{\varepsilon }}+\varphi .\,c.,$

wenn $\varphi .\,c.$ eine Function bezeichnet, welche für $\varepsilon =0\,$ endlich und stetig bleibt. Nun ist aber

$(r'_{1}-\varepsilon _{1})(r'+\varepsilon )=a^{2},$

folglich

$(r'_{1}-\varepsilon _{1})\varepsilon =a^{2}-r'(r_{1}'-\varepsilon _{1})=r'\varepsilon _{1}.$

Demnach kann der Ausdruck für $U_{1}\!$ auch so geschrieben werden

(14)	$U_{1}=-{\frac {a}{r'}}\cdot {\frac {1}{\varepsilon _{1}}}+\varphi .\;c.$

 Jetzt ist es leicht, für eine beliebige Lage des Punktes $(r,\,\theta ,\,\varphi )$ einen Ausdruck aufzustellen, der in (13) oder (14) übergeht, je nachdem der Punkt $(r,\,\theta ,\,\varphi )$ unendlich nahe an den inneren Unstetigkeitspunkt oder an dessen äusseren Bildpunkt heranrückt. Wir bezeichnen mit $t\!$ und $t_{1}\!$ die Abstände des Punktes $(r,\,\theta ,\,\varphi )$ von dem inneren Unstetigkeitspunkte $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$ und resp. von dessen äusserem Bildpunkte $({\frac {a^{2}}{r'}},\,\theta ',\,\varphi ')$. Dann ist

(15)	$U={\frac {1}{t}}-{\frac {a}{r'}}{\frac {1}{t_{1}}}$

die Function, welche allen gestellten Bedingungen Genüge leistet.

Fig. 23.

 Es bleibt noch übrig, die Abstände $t\!$ und $t_{1}\!$ durch die Coordinaten $r,\,\theta ,\,\varphi$ und die Coordinaten des Unstetigkeitspunktes und seines Bildpunktes auszudrücken. Bezeichnen wir mit $\gamma \!$ den Winkel, welchen die Radien $r\!$ und $r'\!$ mit einander einschliessen, so findet man (Fig. 23):

(16)	$t^{2}=r^{2}+r'^{2}-2\;r\;r'\cos \gamma ,$ $t_{1}^{2}=r^{2}+\left({\frac {a^{2}}{r'}}\right)^{2}-2\;r\left({\frac {a^{2}}{r'}}\right)\cos \gamma .$

Fig. 24.

 Um $\cos \gamma \!$ auszudrücken, legen wir um den Mittelpunkt des Kugelcoordinaten-Systems die Kugel vom Radius $1\!$. Auf ihr merken wir ausser dem Pol und dem Anfangsmeridian die Punkte an, welche von den Radien $r\!$ und $r'\!$ getroffen werden (Fig. 24). Die Poldistanzen dieser beiden Punkte sind $\theta \!$ und $\theta '\!$, und ihre sphärische Entfernung ist $\gamma \!$. Die Meridiane, auf welchen $\theta \!$ und $\theta '\!$ gezählt werden, schliessen den sphärischen Winkel $\varphi -\varphi '\!$ ein. Folglich haben wir

(17)	$\cos \gamma =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ').$

 Wenn die Wahl des Coordinatensystems freisteht, so dient es zur Vereinfachung, die $z\!$Axe des rechtwinkligen Systems (und folglich auch die Polaraxe des Kugelcoordinaten-Systems) durch den Unstetigkeitspunkt zu legen. Dann ist $x'=0,\,y'=0,\,z'=r',\!$ ferner $\theta '=0,\,\varphi '\!$ beliebig und folglich $\gamma =\theta \!$. Die Gleichung (15) geht dadurch über in

(18)	${\begin{aligned}U=&{\frac {1}{\sqrt {r^{2}+r'^{2}-2\;r\;r'\cos \theta }}}\\&-{\frac {a}{r'}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {a^{2}}{r'}}\right)^{2}-2\;r\left({\frac {a^{2}}{r'}}\right)\cos \theta }}}.\\\end{aligned}}$

 Aus der Gleichung (15) kann man noch die mechanische Bedeutung der Function $U\!$ herauslesen. Es ist $U\!$ die Potentialfunction für den Fall, dass im Punkte $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$ die Masse $1\!$, in seinem Bildpunkte $({\frac {a^{2}}{r'}},\,\theta ',\,\varphi ')$ die Masse $-{\frac {a}{r'}}$ concentrirt ist.

 Uebrigens kann auch der Punkt $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$ ausserhalb der Kugel liegen. Dann ist sein Bildpunkt $({\frac {a^{2}}{r'}},\,\theta ',\,\varphi ')$ ein innerer Punkt. Der Ausdruck für $U\!$ wird derselbe wie in Gleichung (15).

 Versteht man unter $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$ einen Punkt ausserhalb der Kugel, so ist $U\!$ die Hülfsfunction, welche dazu dient, die Function $V\!$ für den äusseren Raum herzustellen. Denn in der That genügt diese Function $U\!$ im ganzen äusseren Raume der partiellen Differentialgleichung (1). Sie hat den Werth Null in der Begrenzung des äusseren Raumes, d. h. in der Oberfläche der Kugel vom Radius $a\!$ und in einer Kugelfläche von unendlich grossem Radius. Sie ist im ganzen äusseren Räume endlich und stetig variabel, ausser im Punkte $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$, wo sie in vorgeschriebener Weise unendlich wird.

§. 31. Fortsetzung: Die Masse ist nur in der Oberfläche ausgebreitet, $V\!$ in der Oberfläche gegeben.

 Wir wollen speciell voraussetzen, dass im Innern der Kugel und in dem ganzen äusseren Räume keine anziehende Masse vor- handen sei. Die Masse soll vielmehr über die Oberfläche vertheilt sein, und zwar in der Weise, dass für jeden Punkt der Oberfläche die Potentialfunction einen gegebenen Werth besitzt.

(1)	$V=f(\theta ,\,\varphi )$ für $r=a.\;$

Die Function $f(\theta ,\,\varphi )\!$ soll einwerthig und endlich sein für jede Werthencombination der Variablen $\theta \!$ und $\varphi \!$ zwischen den äussersten Werthen $0\!$ und $\pi \!$ von $\theta \!$ und den äussersten Werthen $0\!$ und $2\;\pi \!$ von $\varphi \!$.

 Für das Innere der Kugel und ausserhalb gilt dann überall die Gleichung von Laplace:

(2)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.$

 Der Satz von Green (§.21) gibt für irgend einen Punkt $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$ den Werth $V'\!$ der Potentialfunction durch die Gleichung

(3)	$4\;\pi \;V'=\int V\,{\frac {\partial U}{\partial n}}\,d\sigma .$

Die Integration hat man über die Kugeloberfläche auszudehnen. Die Function $U\!$ ist in Gleichung (15) des vorigen Paragraphen ausgedrückt, und es ist

${\frac {\partial U}{\partial n}}=\pm \left({\frac {\partial U}{\partial r}}\right)_{r=a},$

wobei das obere oder das untere Zeichen gilt, je nachdem $r'\!$ grösser oder kleiner als $a\!$ ist, d. h. je nachdem der Punkt $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$) ausserhalb oder innerhalb der Kugel liegt.

 Folglich haben wir

(4)	$4\;\pi \;V'=\pm a^{2}\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{\pi }\left({\frac {\partial U}{\partial r}}\right)_{a}f(\theta ,\,\varphi )\sin \theta \;d\theta ,$

je nachdem $r'\,{\begin{matrix}>\\<\end{matrix}}\,a\!$.

 Diese Formel drückt den Werth der Potentialfunction aus, wenn die anziehende Masse nur in der Oberfläche der Kugel vertheilt und der Werth der Potentialfunction in jedem Punkte dieser Oberfläche bekannt ist.

 Es fragt sich dann noch, wie gross die Dichtigkeit $\rho \!$ in jedem Punkte der Kugeloberfläche ist. Diese Frage ist nach §. 14 Gleichung (6) zu beantworten. Man erhält

$-4\;\pi \;\rho =\left({\frac {\partial V'}{\partial r'}}\right)_{a+0}-\left({\frac {\partial V'}{\partial r'}}\right)_{a-0},$

oder, was auf dasselbe hinausläuft:

$-(4\;\pi )^{2}\,\rho =\left({\frac {\partial (4\pi V')}{\partial r'}}\right)_{a+0}-\left({\frac {\partial (4\pi V')}{\partial r'}}\right)_{a-0}\,.$

Nun ist aber

$\left({\frac {\partial (4\pi V')}{\partial r'}}\right)_{a+0}=+\,a^{2}\int \limits _{0}^{2\pi }\partial \varphi \int \limits _{0}^{\pi }\left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial r\,\partial r'}}\right)_{r=a,\,r'=a}\,f(\theta ,\,\varphi )\sin \theta \,d\theta$

$\left({\frac {\partial (4\pi V')}{\partial r'}}\right)_{a-0}=-\,a^{2}\int \limits _{0}^{2\pi }\partial \varphi \int \limits _{0}^{\pi }\left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial r\,\partial r'}}\right)_{r=a,\,r'=a}\,f(\theta ,\,\varphi )\sin \theta \,d\theta .$

Folglich ergibt sich

(5)	$-(4\;\pi )^{2}\,\rho =2a^{2}\int \limits _{0}^{2\pi }\partial \varphi \int \limits _{0}^{\pi }\left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial r\,\partial r'}}\right)_{r=a,\,r'=a}\,f(\theta ,\,\varphi )\sin \theta \,d\theta .$

 Der bei ${\frac {\partial ^{2}U}{\partial r\,\partial r'}}$ angehängte doppelte Index soll bedeuten, dass nach Ausführung der Differentiation $r=a\!$ und $r'=a\!$ gesetzt werden soll.

 Es bleibt noch übrig, in (4) und (5) die Function $U\!$ des vorigen Paragraphen wirklich einzusetzen und die vorgeschriebenen Differentiationen auszuführen. Wir wollen dabei die Polaraxe des Kugelcoordinaten-Systems durch den Punkt legen, für welchen der Werth $V'\!$ der Potentialfunction ausgedrückt werden soll. Dann ist $\theta '=0,\;\varphi '$ beliebig, und es gilt für $U\!$ die Gleichung (18) des vorigen Paragraphen. Danach findet sich

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial U}{\partial r}}\right)_{r=a}=&-{\frac {a-r'\cos \theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\,a\,r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}\\&+{\frac {{\frac {a}{r'}}\left(a-{\frac {a^{2}}{r'}}\,\cos \theta \right)}{\left(a^{2}+\left({\frac {a^{2}}{r'}}\right)^{2}-2\,a\,{\frac {a^{2}}{r'}}\,\cos \theta \right)^{\frac {3}{2}}}}\\=&{\frac {\left({\frac {r'}{a}}\right)^{2}\left(a-\,{\frac {a^{2}}{r'}}\,\cos \theta \right)-(a-r'\cos \theta )}{(a^{2}+r'^{2}-2\,a\,r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}\\=&{\frac {r'^{2}-a^{2}}{a(a^{2}+r'^{2}-2\,a\,r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}.\,\\\end{aligned}}$

 Setzt man dies in Gleichung (4) ein, so erhält man

(6)	$4\;\pi \;V'=\pm a(r'^{2}-a^{2})\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{\pi }{\frac {f(\theta ,\,\varphi )\sin \theta \;d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}},$

und es gilt das obere oder das untere Zeichen, je nachdem $r'^{2}-a^{2}\!$ positiv oder negativ ist.

 Es fragt sich, welchen Werth $V'\!$ annimmt für $r'=a\!$. Dies ist leicht vorauszusagen, wenn man daran denkt, dass der Punkt $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$ auf der Polaraxe liegt $(x'=0,\,y'=0,\,z'=r)$. Für $r'=a\!$ rückt er also in den Pol der Kugeloberfläche, und für diesen ist $\theta '=0\!$ und $\varphi '\!$ beliebig. Es muss also dann $V'\!$ in den Werth übergehen, den $f(\theta ,\,\varphi )\!$ für $\theta =0\!$ annimmt, und dieser Werth muss von $\varphi \!$ unabhängig sein. Wir wollen zeigen, dass das wirklich aus der Gleichung (6) sich ergibt.

 Wir setzen zur Abkürzung

${\frac {1}{2\,\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }f(\theta ,\,\varphi )d\varphi =F(\theta ).$

Dann ist $F(\theta )\!$ der Mittelwerth von allen den Werthen, welche die Function $f(\theta ,\,\varphi )\!$ auf dem Parallelkreis von der Poldistanz $a\,\theta \!$ annimmt. Bei dieser abgekürzten Schreibweise geht die Gleichung (6) in folgende über:

$2\,V'=\pm a(r'^{2}-a^{2})\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F(\theta )\sin \theta \;d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}.\,$

 Betrachten wir zunächst das unbestimmte Integral, so gibt die Integration nach Theilen:

${\begin{aligned}&\int F(\theta )\left\lbrace a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta \right\rbrace ^{-{\frac {3}{2}}}d(-\cos \theta )\\=&-F(\theta ){\frac {(a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta )^{-{\frac {1}{2}}}}{a\;r'}}\\&+{\frac {1}{a\;r'}}\int {\frac {F'(\theta )d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta )^{\frac {1}{2}}}}.\,\\\end{aligned}}$

 Geht man also zu der Integration zwischen den vorgeschriebenen Grenzen $0\!$ und $\pi \!$ über, so findet sich

${\begin{aligned}2\,V'=&\mp {\frac {r'-a}{r'}}\,F(\pi )\pm {\frac {1}{r'}}{\frac {(r'^{2}-a^{2})}{\pm (r'-a)}}\,F(0)\\&\pm {\frac {r'^{2}-a^{2}}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F'(\theta )\,d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta )^{\frac {1}{2}}}}.\,\\\end{aligned}}$

In dieser Gleichung gelten überall gleichzeitig die oberen Zeichen, wenn $r'>a\!$, und die unteren, wenn $r'<a\!$ ist. Die Gleichung lässt sich kürzer schreiben:

(7)	${\begin{aligned}2\;V'=&\mp {\frac {r'-a}{r'}}\,F(\pi )+{\frac {r'+a}{r'}}\,F(0)\\&\pm {\frac {r'^{2}-a^{2}}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F'(\theta )\,d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta )^{\frac {1}{2}}}}.\,\\\end{aligned}}$

 Soll nun $r'=a\!$ gesetzt werden, so erhält man

$2\;V=2\;F(0)\pm \lim \,{\frac {r'^{2}-a^{2}}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F'(\theta )}{2\;a\sin {\frac {1}{2}}\,\theta }}\,d\theta .$

Das letzte Integral hat dann, aber auch nur dann, einen endlichen Werth, wenn $F'(0)=0\!$ ist. Wir wollen nachher zeigen, dass diese Bedingung im allgemeinen erfüllt ist. Unter dieser Voraussetzung reducirt sich die letzte Gleichung auf folgende:

$V=F(0)={\frac {1}{2\;\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }f(\theta ,\,\varphi )\,d\varphi$ für $\theta =0.\!$

Der letzte Ausdruck ist aber das arithmetische Mittel von allen den Werthen, welche die Function $f(\theta ,\,\varphi )$ auf einem Parallelkreis von unendlich kleiner Poldistanz annimmt, d. h. da $f(\theta ,\,\varphi )$ einwerthig vorausgesetzt ist, gleich dem Werthe dieser Function im Pole selbst. Und das war zu beweisen.

§. 32. Fortsetzung: Die Dichtigkeit in jedem Punkte der Oberfläche.

 Für die Dichtigkeit haben wir die Gleichung abgeleitet

(1)	$-4\;\pi \;\rho =\left({\frac {\partial V'}{\partial r'}}\right)_{a+0}-\left({\frac {\partial V'}{\partial r'}}\right)_{a-0}.$

Für $V'\!$ nehmen wir am besten den Ausdruck (7) des vorigen Paragraphen. Dann findet sich

(2)

${\begin{aligned}2{\frac {\partial V'}{\partial r'}}=&\mp {\frac {a}{r'^{2}}}F(\pi )-{\frac {a}{r'^{2}}}F(0)\\&\pm \left(1+{\frac {a^{2}}{r'^{2}}}\right)\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F(\theta )d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\,a\,r'\cos \theta )^{\frac {1}{2}}}}\\&\pm {\frac {r'^{2}-a^{2}}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {(-r'+a\cos \theta )}{a^{2}+r'^{2}-2\,a\,r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}F'(\theta )d\theta ,\\\end{aligned}}$

und daraus wird für $r'=a\pm 0\!$

(3)

${\begin{aligned}2\left({\frac {\partial V'}{\partial r'}}\right)_{a\pm 0}=&\mp {\frac {1}{a}}F(\pi )-{\frac {1}{a}}F(0)\pm 2\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F'(\theta )d\theta }{2a\sin {\frac {1}{2}}\theta }}\\&\pm \lim {\frac {r'^{2}-a^{2}}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {(-r'+a\cos \theta )F'(\theta )d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\,a\,r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}.\\\end{aligned}}$

Das letzte Integral ist noch zu transformiren. Wir schreiben

${\begin{aligned}a\cos \theta -r'&=(a-r')-a(1-\cos \theta )\\&=(a-r')-2\,a\sin {\frac {1}{2}}\theta ^{2}.\\\end{aligned}}$

Demnach ist

${\begin{aligned}&\lim {\frac {r'^{2}-a^{2}}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {(-r'+a\cos \theta )F'(\theta )d\theta }{a^{2}+r'^{2}-2\,a\,r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}\\=&\lim {\frac {(r'+a)}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {-(r'-a)^{2}F'(\theta )d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\,a\,r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}\\-&\lim {\frac {(r'^{2}-a^{2})}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {2\,a\sin {\frac {1}{2}}\theta ^{2}}{\left(2\,a\sin {\frac {1}{2}}\theta \right)^{3}}}F'(\theta )d\theta .\\\end{aligned}}$

Der letzte Bestandtheil der rechten Seite verschwindet, wenn das Integral einen endlichen Werth hat, d. h. wenn $F'(0)=0\!$ ist. Den ersten Bestandtheil zerlegen wir weiter. Es ist nemlich

$-(r'-a)^{2}=-(a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta )+4\;a\;r'\sin \,{\frac {1}{2}}\,\theta ^{2}.$

Folglich

$\lim {\frac {(r'^{2}-a^{2})}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {(-r'+a\cos \theta )\,F'(\theta )\,d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}$ $=-2\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F'(\theta )\,d\theta }{2\;a\sin \,{\frac {1}{2}}\,\theta }}\,+2\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {4\;a^{2}\sin \,{\frac {1}{2}}\,\theta ^{2}\;F'(\theta )\,d\theta }{8\;a^{3}\sin \,{\frac {1}{2}}\,\theta ^{3}}}=0.$

 Danach geht die Gleichung (3) über in

$2\left({\frac {\partial V'}{\partial r'}}\right)_{a\pm 0}=\mp \,{\frac {1}{a}}\,F(\pi )-\,{\frac {1}{a}}\,F(0)\pm \,{\frac {1}{a}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F'(\theta )\,d\theta }{sin\,{\frac {1}{2}}\,\theta }},\,$

und die Gleichung (1) gibt jetzt

(4)	$\rho =\,{\frac {1}{4\;a\;\pi }}\,\left\lbrace F(\pi )-\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F'(\theta )\,d\theta }{sin\,{\frac {1}{2}}\,\theta }}\right\rbrace .$

 Man sieht aus dieser Gleichung, wie die Dichtigkeit $\rho \!$ in irgend einem Punkte der Kugeloberfläche abhängig ist von den Werthe, welche die Potentialfunction in allen Punkten dieser Oberfläche besitzt.

 Zur Berechnung von $\rho \!$ ist die Formel nicht brauchbar. Vielmehr hat man zu diesem Zweck sie in eine Reihe von Kugelfunctionen zu entwickeln. Die Convergenz der Reihe darf nicht a priori angenommen, sie muss vielmehr bewiesen werden. Das hat Dirichlet*)^[14] gethan, indem er die Reihe summirt und allgemein nachweist, dass ihre Summe gleich dem obigen Integral-Ausdruck ist.

 Wir haben noch zu zeigen, dass im allgemeinen, d. h. abgesehen von einzelnen Ausnahmefällen, $F'(\theta )=0\!$ ist für $\theta =0\!$. Zu dem Ende ziehen wir im Pol der Kugel (Fig. 25) zwei Tangenten, parallel resp. zu den Axen der positiven $x\!$ und der positiven $y\!$, und

Fig. 25.

bezeichnen die auf ihnen gezählten Strecken resp. mit $\xi \!$ und $\eta \!$. Nehmen wir dann auf irgend einem Meridian, der mit dem Anfangsmeridian den Winkel $\varphi \!$ einschliesst, vom Pol aus eine unendlich kleine Strecke $\theta \!$, so darf man diese durch ihre Tangente ersetzen und hat (unter Vernachlässigung der höheren Potenzen von $\theta \!$) die Gleichungen

$\xi =\theta \cos \varphi ,\!$ $\eta =\theta \cos \varphi .\!$

Setzen wir voraus, dass $f(\theta ,\,\varphi )$ in der Nähe des Pols endliche Derivirte hat, so können wir nach Taylor's Satze entwickeln

$f(\theta ,\,\varphi )=V=V_{0}+\xi \,\left({\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right)_{0}+\eta \,\left({\frac {\partial V}{\partial \eta }}\right)_{0}+\dotsb$

Dabei sind die nicht hingeschriebenen Glieder der zweiten und höheren Potenzen von $\theta \!$ proportional. Hieraus erhalten wir

${\begin{aligned}F(\theta )=V_{0}&+{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\left[\theta \cos \varphi \,\left({\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right)_{0}+\theta \sin \varphi \,\left({\frac {\partial V}{\partial \eta }}\right)_{0}\right]d\varphi \\&+\dotsb \\=V_{0}&+{\frac {1}{2\pi }}\theta \,\left({\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right)_{0}\int \limits _{0}^{2\pi }\cos \varphi \,d\varphi \,+{\frac {1}{2\pi }}\theta \,\left({\frac {\partial V}{\partial \eta }}\right)_{0}\int \limits _{0}^{2\pi }\sin \varphi \,d\varphi \\&+\dotsb \\=V_{0}&+\theta \cdot 0+\dotsb \\\end{aligned}}$

In der Entwicklung von $F(\theta )\!$ nach Potenzen von $\theta \!$ ist also der Coefficient der ersten Potenz gleich Null, d. h.

$F'(\theta )=0\!$ für $\!\theta =0,$

was zu beweisen war.

 In besonderen Fällen können Ausnahmen eintreten, die dann eine besondere Untersuchung nöthig machen.

§. 33. Allgemeine Eigenschaften der Green'schen Function $U\!.$

 Wir gehen zu der Betrachtung der allgemeinen Eigenschaften der Function $\!U$ über. Sie ist im §. 21 durch drei charakteristische Merkmale definirt:

 Erstens: Sie genügt im Innern des Raumes $\!S$ der partiellen Differentialgleichung

(1)	${\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}=0.$

 Zweitens: Sie hat in der Oberfläche des Raumes $\!S$ überall den Werth Null.

 Drittens: Sie ist im Innern des Raumes $\!S$ überall endlich und stetig variabel, ausser im Punkte $(x',\,y',\,z')$, wo sie unendlich wird wie ${\frac {1}{t}}$, wenn

$t={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}.$

 Hiernach ist $U\!$ eine Function einerseits von den Coordinaten $x',\,y',\,z'$ des Unstetigkeitspunktes, andererseits von den Coordinaten $x,\,y,\,z$ irgend eines Punktes im Innern oder auf der Oberfläche des Raumes $S\!$. Wir wollen mit $U_{\varepsilon }\!$ die Function $U\!$ bezeichnen,

Fig. 26.

welche im Punkte $\varepsilon \!$ unendlich wird, und mit $U_{\varepsilon }(\varepsilon ')$ den Werth, welchen sie im Punkte $\varepsilon '$ annimmt. Ebenso soll $U_{\varepsilon }'$ die Function $U\!$ sein, welche im Punkte $\varepsilon '\!$ unendlich wird, und $U_{\varepsilon }'(\varepsilon )$ soll den Werth bezeichnen, den sie im Punkte $\varepsilon \!$ annimmt. Um die Punkte $\varepsilon \!$ und $\varepsilon '\!$ als Mittelpunkte legen wir zwei Kugelflächen mit den Radien $t\!$ und $t'\!$. Den inneren Raum dieser Kugeln schliessen wir

von dem Raume $S\!$ aus und bezeichnen mit $S_{1}\!$ den Raum, der übrig bleibt. Dann sind $U_{\varepsilon }$ und $U_{\varepsilon '}$, sowie ihre ersten Derivirten im Innern von $S_{1}\!$ überall endlich und stetig variabel. Ausserdem genügen im Innern von $S_{1}\!$ beide Functionen der partiellen Differentialgleichung (1). Folglich ist nach dem Satze von Green (§. 20)

(2)	$\int \left(U_{\varepsilon }{\frac {\partial U_{\varepsilon '}}{\partial n}}-U_{\varepsilon '}{\frac {\partial U_{\varepsilon }}{\partial n}}\right)d\sigma =0,$

wenn das Integral über die Begrenzung von $S_{1}\!$ erstreckt wird und $n\!$ die in der Begrenzung nach dem Innern von $S_{1}\!$ gezogene Normale bezeichnet. Die Begrenzung von $S_{1}\!$ besteht aus der Oberfläche des Raumes $S\!$ und aus den beiden Kugelflächen um $\varepsilon \!$ und $\varepsilon '.\!$ In der Oberfläche von $S\!$ sind $U_{\varepsilon }\!$ und $U_{\varepsilon '}\!$ beide gleich Null, folglich liefert diese Oberfläche zu dem Integral (2) ebenfalls den Beitrag Null. Für die Kugelfläche um $\varepsilon \!$ (Fig. 26) fällt die Richtung von $n\!$ mit der Richtung der wachsenden $t\!$ zusammen. Das Oberflächen-Element $d\sigma \!$ ist $t^{2}d\omega \!$, wenn mit $d\omega \!$ das Element auf einer Kugel vom Radius 1 bezeichnet wird. Die um $\varepsilon \!$ gelegte Kugelfläche liefert also zu dem Integral (2) den Beitrag

$\int \left(U_{\varepsilon }{\frac {\partial U_{\varepsilon '}}{\partial t}}-U_{\varepsilon '}{\frac {\partial U_{\varepsilon }}{\partial t}}\right)t^{2}d\omega .$

Nun sind $U_{\varepsilon '},\!$ und ${\frac {\partial U_{\varepsilon '}}{\partial t}}\!$ in der Kugelfläche endlich. Ferner ist in ihr

$U_{\varepsilon }={\frac {1}{t}}+f.\;c.$ ${\frac {\partial U_{\varepsilon }}{\partial t}}=-{\frac {1}{t^{2}}}+f'.\;c.$

Folglich haben wir für ein unendlich abnehmendes $t\!$

$\lim t^{2}U_{\varepsilon }{\frac {\partial U_{\varepsilon '}}{\partial t}}=0,$ $\lim t^{2}U_{\varepsilon '}{\frac {\partial U_{\varepsilon }}{\partial t}}=-U_{\varepsilon '}(\varepsilon ),$

und der Beitrag, welchen die Kugelfläche um $\varepsilon \!$ zu dem Integral (2) liefert, hat für $\lim t=0\!$ den Grenzwerth

$4\,\pi \,U_{\varepsilon '}(\varepsilon ).$

 Ebenso findet sich der Beitrag, welchen die um $\varepsilon \!$ gelegte Kugelfläche zu dem Integral (2) liefert. Sein Grenzwerth für $\lim t=0\!$ ist

$-4\,\pi \,U_{\varepsilon '}(\varepsilon ).$

Der in Gleichung (2) ausgesprochene Satz lautet jetzt also

$4\;\pi \lbrace U_{\varepsilon '}(\varepsilon )-U_{\varepsilon }(\varepsilon ')\rbrace =0$

oder kürzer

(3)	$U_{\varepsilon '}(\varepsilon )=U_{\varepsilon }(\varepsilon ').$

 D. h. die Function $U\!$ ist eine symmetrische Function von $(x,\,y,\,z)$ und von $(x',\,y',\,z')$.

§. 34. Eindeutige Existenz der Function $U\!$. Dirichlet's Princip.

 Die Herstellung der Potentialfunction ist zuerst von Green auf die Herstellung der Function $U\!$ zurückgeführt in der oben (§. 20) citirten Abhandlung: an essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism. Green gibt aber keinen Beweis dafür, dass für jede Gestalt des Raumes $S\!$ auch wirklich eine Function $U\!$ und nur eine existirt, die den gestellten Bedingungen Genüge leistet. Er beruft sich einfach auf die physikalische Bedeutung der Function $U\!$.*)^[15] Diese Lücke hat Gauss ausgefüllt.**)^[16] Er bezeichnet mit $U\!$ eine Grösse, die in jedem Punkte der Oberfläche von $S\!$ einen bestimmten, endlichen, nach der Stetigkeit sich ändernden Werth hat, und mit $V\!$ die Potentialfunction einer über dieselbe Oberfläche auszubreitenden Masse $M\!$. Die Ausbreitung der Masse darf so geschehen, dass die Dichtigkeit $\rho \!$ entweder überall positiv ist, oder dass sie in einzelnen Theilen der Fläche auch negativ sein kann. In dem zweiten Falle ist $M\!$ die algebraische Summe der positiven und der negativen Massen. Gauss beweist dann, dass es allemal eine und nur eine Vertheilung der Masse gibt, bei welcher die Differenz $V-U\!$ in allen Punkten der Fläche einen constanten Werth hat, und dass die Gesammtmasse $M\!$ so gewählt werden kann, dass dieser constante Werth $=0\!$ ist. Bezeichnet man nun mit $r\!$ den Abstand eines Punktes der Oberfläche von dem gegebenen Unstetigkeitspunkte im Innern von $S\!$, so hat $-{\frac {1}{r}}$ die Eigenschaften, welche Gauss seiner Function $U\!$ zuschreibt. Man darf also den Satz von Gauss speciell so aussprechen: Auf der Oberfläche eines gegebenen Raumes $S\!$ lassen sich immer in einer und nur in einer Weise entweder positive, oder theils positive, theils negative Massen so ausbreiten, dass die Function $V+{\frac {1}{r}}$ für jeden Punkt der Oberfläche den Werth Null hat. Diese Function befriedigt alle Bedingungen, welche Green für seine Function $U\!$ aufstellt.

 Dieser Beweis ist, wie man sieht, nicht rein analytisch. Seine Einkleidung ist der Theorie der Potentialfunction selbst entnommen. Einen rein analytischen Beweis hat später Dirichlet gegeben.*)^[17]

 Der Satz von Dirichlet lautet:

 Ist die Function $v\!$ einwerthig, endlich und stetig variabel für jeden Punkt in der Oberfläche eines begrenzten Raumes $S\!$ gegeben, so lässt sie sich immer und nur auf eine Weise für das Innere so bestimmen, dass sie auch da einwerthig, endlich und stetig variabel ist und der partiellen Differentialgleichung

(1)	${\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}=0$

Genüge leistet.

 Um diesen Satz zu beweisen, bilden wir das über den Raum $S\!$ auszudehnende Integral

(2)	$\Omega (u)=\iiint \left\lbrack \left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial z}}\right)^{2}\right\rbrack dx\;dy\;dz.$

 Darin soll mit $u\!$ eine Function bezeichnet werden, die in der Oberfläche des Raumes $S\!$ überall mit der gegebenen Function $v\!$ übereinstimmt, die aber im Innern des Raumes nur an die Bedingung geknüpft ist, dass sie selbst und ihre ersten Derivirten überall einwerthig, endlich und stetig variabel seien. Solcher Functionen $u\!$ gibt es unendlich viele. Bezeichnet man eine von ihnen mit $u_{1},\!$ so lässt jede andere sich in die Form bringen

$u=u_{1}+h\;s,$

wenn $h\!$ eine passend zu wählende Constante bedeutet und $s\!$ eine Function von $x,\,y,\,z$ ist, die in der Oberfläche des Raumes $S\!$ den Werth Null hat, im Innern aber an dieselbe Bedingung geknüpft ist wie die Functionen $u\!$.

 Das Integral (2) hat unter dieser Voraussetzung einen endlichen, positiven Werth, der im allgemeinen ein anderer sein wird, wenn man von einer Function $u\!$ zu einer andern übergeht. Nun gibt es zwar unendlich viele Functionen $u\!$, die den aufgestellten Bedingungen genügen, und folglich wird man ihnen entsprechend auch unendlich viele Integralwerthe erhalten. Die letzteren sind aber sämmtlich positiv und endlich. Demnach ist unter ihnen jedenfalls einer vorhanden, der kleiner als alle übrigen ist. Dieser kleinste Werth des Integrals $\Omega (u)\!$ kann nur in einem Falle gleich Null sein, nemlich wenn im Innern des Raumes $S\!$ die ersten Derivirten der zugehörigen Function $u\!$ überall gleich Null sind. Es müsste also diejenige Function $u\!$, welche das Minimum zu Stande bringt, im Innern von $S\!$ constant sein, und da sie eine stetige Fortsetzung der in der Oberfläche gegebenen Function $v\!$ ist, so müsste auch diese an jeder Stelle der Oberfläche denselben constanten Werth haben. Schliessen wir diesen Specialfall durch die Voraussetzung aus, dass $v\!$ in der Oberfläche stetig variabel sein soll, so ist der Minimalwerth des Integrals um eine positive endliche Grösse von Null verschieden.

 Diejenige Function $u\!$, für welche das Integral (2) seinen kleinsten Werth annimmt, soll für das Innere des Raumes $S\!$ mit $v\!$ bezeichnet werden. Dann lässt sich jede andere Function $u\!$ in die Form bringen

$u=v+h\;s.$

Wir wollen nun die Constante $h\!$ unendlich klein nehmen. Dann lautet die Bedingung des Minimum

(3)	$\Omega (v)\leq \Omega (v+h\;s).$

 Nun hat man aber

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial x}}+h\,{\frac {\partial s}{\partial x}},\,$ ${\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial y}}+h\,{\frac {\partial s}{\partial y}},\,$ ${\frac {\partial u}{\partial z}}={\frac {\partial v}{\partial z}}+h\,{\frac {\partial s}{\partial z}}.\,$

Folglich ist

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial z}}\right)^{2}=&\left\{\left({\frac {\partial v}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial z}}\right)^{2}\right\}\\&+2h\left\{{\frac {\partial v}{\partial x}}\,{\frac {\partial s}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\,{\frac {\partial s}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\,{\frac {\partial s}{\partial z}}\right\}\\&+h^{2}\left\{\left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial z}}\right)^{2}\right\},\\\end{aligned}}$

und danach findet sich

(4)	$\Omega (v+h\;s)$

${\begin{aligned}=\Omega (v)&+2h\iiint \left({\frac {\partial v}{\partial x}}\,{\frac {\partial s}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\,{\frac {\partial s}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\,{\frac {\partial s}{\partial z}}\right)dx\;dy\;dz\\&+h^{2}\Omega (s).\!\\\end{aligned}}$

 Wird nun für $u=v+h\,s\!$ die Bedingung (3) befriedigt, so ist der Coefficient von $2h\!$ auf der rechten Seite der Gleichung (4) nothwendigeweise gleich Null. Denn sonst könnte man das Vorzeichen von $h\!$ so wählen, dass das Product

$2h\iiint \left({\frac {\partial v}{\partial x}}\,{\frac {\partial s}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\,{\frac {\partial s}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\,{\frac {\partial s}{\partial z}}\right)dx\;dy\;dz$

negativ ausfiele, und den Zahlwerth von $h\!$ so klein, dass das positive Glied $h^{2}\Omega (s)\!$ kleiner würde als der absolute Werth des vorhergehenden negativen Gliedes. Dann hätte man

$\Omega (v+h\;s)<\Omega (v),$

was mit (3) im Widerspruch steht. Also ist

(5)	$\iiint \left({\frac {\partial v}{\partial x}}\,{\frac {\partial s}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\,{\frac {\partial s}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\,{\frac {\partial s}{\partial z}}\right)dx\;dy\;dz=0$

die nothwendige und, wie man leicht sieht, auch die ausreichende Bedingung für das Zustandekommen des Minimum $\Omega (v).\!$ Die linke Seite der Gleichung (5) transformiren wir nach §. 20 und erhalten

(6)	$\iiint \left({\frac {\partial v}{\partial x}}\,{\frac {\partial s}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\,{\frac {\partial s}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\,{\frac {\partial s}{\partial z}}\right)dx\;dy\;dz$

$=-\int s\,{\frac {\partial v}{\partial n}}\,d\sigma -\iiint s\left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)dx\;dy\;dz.$

Das erste Integral auf der rechten Seite ist über die Oberfläche des Raumes $S\!$ zu erstrecken. Sein Werth ist null, da nach der Voraussetzung in jedem Punkte der Oberfläche $s=0\!$ ist. Die Bedingung (5) für das Minimum geht also über in

(7)	$\iiint s\left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)dx\;dy\;dz=0.$

Da aber im Innern des Raumes $S\!$ die Function $s\!$ gänzlich unbestimmt ist, so kann diese Gleichung nur dadurch erfüllt werden, dass im Innern überall

(8)	${\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}=0.$

Nun existirt immer ein Minimum des Integrals $\Omega (u)\!$. Folglich muss es unter den unendlich vielen Functionen $u,\!$ welche in der Oberfläche von $S\!$ mit der dort gegebenen Function $v\!$ zusammenfallen, eine geben, welche jenes Minimum zu Stande bringt, und das kann nicht anders geschehen als durch Befriedigung der Gleichung (8). Diese Function ist die für das Innere von $S\!$ verlangte stetige Fortsetzung der in der Oberfläche gegebenen Function $v.\!$

 Die Transformation (6), durch welche die Bedingung (5) in (8) übergeht, ist nach §. 20 nur dann zulässig, wenn die Functionen $s\!$ und $v\!$ und die ersten Derivirten von $v\!$ im Innern des Raumes $S\!$ überall endlich und stetig variabel sind. Diese Bedingung ist für $s\!$ und $v\!$ erfüllt. Denn wir haben von allen Functionen $u\!$ und $s\!$ vorausgesetzt, dass jede von ihnen mit ihren ersten Derivirten einwerthig, endlich und stetig variabel sei. Denken wir uns aber den Fall, dass die ersten Derivirten von $v\!$ im Innern des Raumes $S\!$ sich sprungweise änderten, wenn der Punkt $(x,\;y,\;z)\!$ von der negativen auf die positive Seite einer gewissen Fläche übertritt, so würde zu dem Oberflächen-Integral auf der rechten Seite von (6) noch der Beitrag hinzutreten

(9)	$-\int s\left\lbrace \left({\frac {\partial v}{\partial p}}\right)_{+0}-\left({\frac {\partial v}{\partial p}}\right)_{-0}\right\rbrace d\sigma .$

In diesem Beitrage ist $d\sigma \!$ ein Element der Unstetigkeitsfläche, $p\!$ die Normale. Die Integration ist über die ganze Unstetigkeitsfläche zu erstrecken. Zur Erfüllung der Bedingung (5) würde dann die Gleichung (8) nicht genügen. Es müsste ausserdem das Integral (9) den Werth Null haben, und das ist bei der Unbestimmtheit von $s\!$ nicht anders möglich, als wenn an jeder Stelle der angenommenen Unstetigkeitsfläche

(10)	$\left({\frac {\partial v}{\partial p}}\right)_{+0}=\left({\frac {\partial v}{\partial p}}\right)_{-0}.$

Diese Gleichung sagt aber aus, dass, wenn $\Omega (v)\!$ ein Minimum ist, die ersten Derivirten von $v\!$ im Innern des Raumes $S\!$ nicht unstetig sind.

 Es fragt sich noch, ob ausser der einen Function $u=v\!$, welche das Integral $\Omega (u)\!$ zu einem Minimum macht, noch eine andere $u=v+s\!$ dieselbe Eigenschaft besitzt. Unter $s\!$ soll hier wieder eine Function verstanden werden, welche in der Oberfläche von $S\!$ den Werth Null hat und im Innern derselben Bedingung genügt wie die Functionen $u\!$. Nun ist $\Omega (v+s)\!$ ein Minimum, wenn für eine Constante $h\!$, die unendlich nahe an 1 heranrückt, die Bedingung erfüllt ist:

(11)	$\Omega (v+s)\leq \Omega (v+hs).$

 Wir haben nach den Gleichungen (4) und (5)

$\Omega (v+hs)=\Omega (v)+h^{2}\Omega (s),\!$

und wenn man hierin $h=1\!$ setzt:

$\Omega (v+s)=\Omega (v)+\Omega (s).\!$

Dadurch geht die Bedingung (11) in folgende über

(12)	$\Omega (s)\leq h^{2}\Omega (s)$

Da man aber die Constante $h^{2}\!$, die unendlich nahe an 1 liegen soll, nicht bloss grösser, sondern auch kleiner als 1 nehmen darf, so kann der Bedingung (12) nur dadurch genügt werden, dass man setzt:

(13)	$\Omega (s)=0.\!$

Bei der eigenthümlichen Form des Integrals $\Omega (s)\!$ kann diese Gleichung nur dann zu Stande kommen, wenn im Innern des Raumes $S\!$ überall

(14)	${\frac {\partial s}{\partial x}}=0,\quad {\frac {\partial s}{\partial y}}=0,\quad {\frac {\partial s}{\partial z}}=0,$

d. h. $s={\text{const.}}\!$ ist. Der constante Werth von $s\!$ muss aber Null sein, weil in der Oberfläche $s=0\!$ ist.

 Von allen den Functionen $u\!$, welche die in der Oberfläche des Raumes $S\!$ gegebene Function $v\!$ ins Innere stetig fortsetzen, gibt es also eine und nur eine, die das Integral (2) zu einem Minimum macht. Diese Function und ihre ersten Derivirten sind im Innern von $S\!$ überall endlich und stetig variabel, und sie selbst erfüllt die partielle Differentialgleichung (8).

 Mit Hülfe dieses Satzes ist nun leicht zu beweisen, dass für jede Gestalt des Raumes $S\!$ eine und nur eine Function $U\!$ existirt, welche die von Green aufgestellten charakteristischen Eigenschaften besitzt. Wir setzen

(15)	$U=U_{1}+{\frac {1}{r}},$

wobei $r\!$ den Abstand des Punktes $(x,\,y,\,z)$ von dem inneren Unstetigkeitspunkte $(x',\,y',\,z')$ der Function $U\!$ bezeichnet. Dann hat man $U_{1}\!$ in der Oberfläche gleich $-{\frac {1}{r}}$ zu nehmen und diese Function ins Innere des Raumes $S\!$ endlich und stetig variabel so fortzusetzen, dass

${\frac {\partial ^{2}U_{1}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U_{1}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U_{1}}{\partial z^{2}}}=0.$

Das kann nach dem Satze von Dirichlet immer in einer und nur in einer Weise geschehen. Da nun ${\frac {1}{r}}$ der Gleichung von Laplace ebenfalls genügt, so ist die in (15) ausgedrückte Function $U\!$ in der That die von Green verlangte. Sie ist Null in der Oberfläche von $S\!$, sie ist im Innern überall endlich und stetig variabel ausser im Punkte $(x',\,y',\,z'),$ wo sie unendlich wird wie der reciproke Werth des Abstandes, und genügt im Innern von $S\!$ der Gleichung von Laplace.*)^[18]

§. 35. Eine Function $V\!$, die der Gleichung von Laplace genügt, hat weder Maximum noch Minimum.

 Wir wollen noch zeigen, dass eine endliche und stetige Function $V\!$ in keinem Theile des Raumes, wo sie die Gleichung von Laplace erfüllt, ein Maximum oder ein Minimum haben kann.

 Die Function $V\!$ und die Function $\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)$ genügen beide der Gleichung von Laplace. Nach dem Satze von Green ist also

(1)	$\int \left\lbrace \left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}\right){\frac {\partial V}{\partial n}}-V{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial n}}\right\rbrace d\sigma =0,$

wenn man das Integral über die Oberfläche eines Raumes erstreckt, in welchem $V\!$ und $\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)$ nebst ihren ersten Derivirten endlich und stetig variabel sind. Einen solchen Raum erhalten wir zwischen zwei concentrischen Kugelflächen von den Radien $a\!$ und $a'\!$,

Fig. 27.

deren Centrum in dem Punkte liegt, von welchem aus $r\!$ gezählt wird. Wir nehmen $a'<a\!$ und lassen schliesslich $\lim a'=0\!$ werden. Die äussere Oberfläche (Fig. 27) gibt als Beitrag zu dem Integral (1)

$\int \left\lbrace -\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}\right){\frac {\partial V}{\partial r}}-V{\frac {1}{r^{2}}}\right\rbrace r^{2}\;d\omega$

für $r=a\!$, d. h.

$-\int V_{a}d\omega .$

Die innere Oberfläche liefert dagegen den Beitrag

$\int \left\lbrace \left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}\right){\frac {\partial V}{\partial r}}+V{\frac {1}{r^{2}}}\right\rbrace r^{2}\;d\omega$

für $r=a'\!$, d. h.

$\int \left\lbrace \left(a'-{\frac {a'^{2}}{a}}\right)\left({\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{a'}+V_{a'}\right\rbrace d\omega .$

Lässt man $a'\!$ in Null übergehen, so nimmt dieser Beitrag den Grenzwerth an

$\int V_{0}\;d\omega .$

Folglich erhalten wir aus Gleichung (1)

$\int (V_{0}-V_{a})d\omega =0,$

d. h. es kann $V_{0}-V_{a}\!$ nicht in allen Punkten der Kugeloberfläche vom Radius $a\!$ dasselbe Vorzeichen haben, und deshalb ist $V_{0}\!$ weder ein Maximum noch ein Minimum.

Zweiter Abschnitt.

Der Satz von Green.

§. 36. Princip der Erhaltung der lebendigen Kraft für einen materiellen Punkt.

 Um nicht allein die Kräfte, sondern auch die durch sie hervorgebrachten Bewegungen untersuchen zu können, ist es nöthig, an einige Sätze der Dynamik zu erinnern.

 Wir betrachten einen materiellen Punkt von der Masse $m\!$. Seine Coordinaten $x,\,y,\,z$ sind Functionen der Zeit $t\!$, und die Aufgabe der Dynamik besteht darin, diese Functionen ausfindig zu machen, wenn zu jeder Zeit die bewegende Kraft $K\!$ gegeben ist. Zur Lösung dieser Aufgabe sind Integrationen auszuführen. Den dabei auftretenden Integrations-Constanten hat man dann Specialwerthe beizulegen, so dass gewisse Nebenbedingungen des Problems erfüllt werden. Als solche Nebenbedingungen können z. B. gegeben sein die Anfangslage und die Anfangsgeschwindigkeit des bewegten materiellen Punktes, oder auch seine Anfangs- und seine Endlage.

 Die bewegende Kraft, welche auf den materiellen Punkt wirkt, sei $K\!$. Ihre Componenten in den Richtungen der positiven Coordinatenaxen bezeichnen wir resp. mit $X,\,Y,\,Z$. Dann haben wir die Differentialgleichungen

(1)	$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=X,$ $m{\frac {dy}{dt^{2}}}=Y,$ $m{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=Z.$

In diesen Gleichungen multipliciren wir auf beiden Seiten der Reihe nach mit ${\frac {dx}{dt}}dt,\,{\frac {dy}{dt}}dt,\,{\frac {dz}{dt}}dt$, verbinden die Resultate links und rechts durch Addition und integriren nach $t\!$. Dadurch ergibt sich

(2)	${\frac {1}{2}}\,m\left\{\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right\}$

$={\text{const.}}+\int \left(X\,{\frac {dx}{dt}}+Y\,{\frac {dy}{dt}}+Z\,{\frac {dz}{dt}}\right)dt.$

Wir bezeichnen mit $s\!$ die Länge der Bahn, welche der materielle Punkt bis zum Ablauf der Zeit $t\!$ durchlaufen hat, so dass $s=0\!$ ist für $t=0\!$. Dann haben wir $\!ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$, und die Gleichung (2) geht über in

(3)	${\frac {1}{2}}\,m\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\text{const.}}+\int \left(X\,{\frac {dx}{dt}}+Y\,{\frac {dy}{dt}}+Z\,{\frac {dz}{dt}}\right)dt.$

Auf der rechten Seite dieser Gleichung können wir auch $s\!$ als Integrations-Variable einführen und unter dem Integralzeichen schreiben

$\left(X\,{\frac {dx}{ds}}+Y\,{\frac {dy}{ds}}+Z\,{\frac {dz}{ds}}\right)ds.$

Hier sind ${\frac {dx}{ds}},\,{\frac {dy}{ds}},\,{\frac {dz}{ds}}$ die Cosinus der Winkel, welche das Bahnelement $ds\!$ mit den positiven Coordinatenaxen einschliesst. Bezeichnet man nun ferner mit $\alpha \!$, $\beta \!$, $\gamma \!$ die Winkel, welche die Richtung von $K\!$ mit den Richtungen der Componenten bildet, so findet sich

$X\,{\frac {dx}{ds}}+Y\,{\frac {dy}{ds}}+Z\,{\frac {dz}{ds}}$ ${\begin{aligned}&=K\,\left({\frac {dx}{ds}}\,\cos \alpha +{\frac {dy}{ds}}\,\cos \beta +{\frac {dz}{ds}}\,\cos \gamma \right)\\&=K\,\cos(K\,s).\\\end{aligned}}$

Dabei ist unter $(K\,s)\!$ der Winkel zu verstehen, welchen die im Punkte $(x,\,y,\,z)$ angelegte Tangente der Bahn mit der Richtung der bewegenden Kraft einschliesst.

 Die Gleichung (3) lautet hiernach in anderer Form

(4)	${\frac {1}{2}}\,m\,\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\text{const.}}+\int K\,\cos(K\,s)\,ds.$

Wir bezeichnen die Geschwindigkeit ${\frac {ds}{dt}}$ mit $v\!$ und den Werth, den sie zur Zeit $t=0\!$ hat, mit $v_{0}\!$. Nehmen wir die bestimmte Integration vor und setzen für die Zeit die Grenzen $0\!$ und $t\!$, also für den Weg die Grenzen $0\!$ und $s\!$ fest, so ergibt sich

(5)	${\frac {1}{2}}m\;v^{2}-{\frac {1}{2}}m\;v_{0}^{2}=\int \limits _{0}^{s}K\cos(K\;s)ds.$

In dieser Gleichung spricht sich der Satz aus, dass die in dem Zeitintervall von $t=0\!$ bis $t\!$ gewonnene lebendige Kraft gleich ist der während derselben Zeit verrichteten mechanischen Arbeit. Im allgemeinen ist die Arbeit nicht allein von der Anfangs- und Endlage des bewegten Punktes abhängig, sondern auch von der Bahn, die er durchläuft. Sie setzt sich ja aus allen den Producten zusammen, die man erhält, wenn jedes Bahnelement mit der in seine Richtung fallenden Componente der bewegenden Kraft multiplicirt wird. Von besonderer Wichtigkeit ist der Fall, dass die Arbeit für alle Bahnen, die aus einer gegebenen Anfangslage in eine gegebene Endlage überführen, dieselbe ist, dass sie nur von der Anfangs- und Endlage des bewegten Punktes abhängig ist. Dieser Fall tritt ein, wenn die Componenten $X,\,Y,\,Z$ die resp. nach $x,\,y,\,z$ genommenen partiellen Derivirten einer und derselben Function $m\;V\!$sind, welche direct nur von $x,\,y,\,z$ abhängt, deren Ausdruck also die Zeit $t\!$ nicht explicite enthält. In diesem Falle geht die Gleichung (3) über in

(6)	${\frac {1}{2}}m\;v^{2}={\text{const.}}+m\;V,$

und die Gleichung (5) geht über in

(7)	${\frac {1}{2}}m\;v^{2}-{\frac {1}{2}}m\;v_{0}^{2}=m(V-V_{0}).$

Dabei ist $V_{0}\!$ der Werth, welchen die Function $V\!$ annimmt, wenn man den Coordinaten $x,\,y,\,z$ des bewegten Punktes ihre Anfangswerthe beilegt.

 In den Gleichungen (6) und (7) spricht sich der Satz aus:

 Wenn die Componenten $X,\,Y,\,Z$ die resp. nach $x,\,y,\,z$ genommenen Derivirten derselben Function $m\;V$ sind, welche direct nur von $x,\,y,\,z$ abhängt, so ist die während einer Bewegung gewonnene lebendige Kraft gleich der Differenz der Werthe, welche die Function $m\;V$ in der Anfangs- und in der Endlage des bewegten Punktes annimmt.

 Dieser Satz ist das Princip der Erhaltung der lebendigen Kraft.

§. 37. Princip der Erhaltung der lebendigen Kraft für ein freies System von materiellen Punkten. Die Gleichung: $T-P={\text{const.}}\!$

 Wir gehen über zu der Betrachtung eines Systems von bewegten materiellen Punkten. Ihre Massen seien $m_{1},\;m_{2},\ldots m_{n}\!$. Die Coordinaten des Punktes von der Masse $m_{i}\!$ bezeichnen wir mit $x_{i},\,y_{i},\,z_{i}$ und die Componenten der auf ihn wirkenden bewegenden Kraft mit $X_{i},\,Y_{i},\,Z_{i}.$ Diese Componenten sollen von der gegenseitigen Lage der Punkte abhängig sein. Deshalb können wir jetzt nicht jeden Punkt einzeln betrachten, wir fassen sie gleichzeitig in ihrer Gesammtheit auf, wir untersuchen die Bewegung des Systems.

 Das System soll frei sein, d.h. jeder Punkt soll der auf ihn wirkenden bewegenden Kraft ohne Hindernis Folge leisten. Dann gelten für jeden einzelnen Punkt die Gleichungen (1) des vorigen Paragraphen. Wir können demnach für den Punkt $m_{i}\!$ die Gleichung (3) des vorigen Paragraphen ableiten, welche jetzt lautet:

${\frac {1}{2}}m_{i}\left({\frac {ds_{i}}{dt}}\right)^{2}={\text{const.}}+\int \left(X_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}+Y_{i}{\frac {dy_{i}}{dt}}+Z_{i}{\frac {dz_{i}}{dt}}\right)dt,$

oder, wenn man ${\frac {ds_{i}}{dt}}=v_{i}$ setzt:

${\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}={\text{const.}}+\int \left(X_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}+Y_{i}{\frac {dy_{i}}{dt}}+Z_{i}{\frac {dz_{i}}{dt}}\right)dt.$

Diese letzte Gleichung stellt $n\!$ einzelne Gleichungen vor, die man erhält, wenn für $i\!$ der Reihe nach die ganzen Zahlen $1,2,3,l\dots n\!$ gesetzt werden. Wir wollen diese $n\!$ Gleichungen durch Addition verbinden. Dadurch ergibt sich

(1)	$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}={\text{const.}}+\int dt\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}+Y_{i}{\frac {dy_{i}}{dt}}+Z_{i}{\frac {dz_{i}}{dt}}\right).$

Hier ist wieder der Fall von besonderer Wichtigkeit, dass $X_{i},\,Y_{i},\,Z_{i}.$ die resp. nach $x_{i},\,y_{i},\,z_{i}$ genommenen partiellen Derivirten einer und derselben Function $P\!$ sind, welche direct nur von den Coordinaten der sämmtlichen bewegten Punkte abhängt, deren Ausdruck also die Zeit $t\!$ nicht explicite enthält. Dann ist

$dt\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}+Y_{i}{\frac {dy_{i}}{dt}}+Z_{i}{\frac {dz_{i}}{dt}}\right)={\frac {dP}{dt}}dt$

das vollständige Differential der Function $P\!$. Es gibt die Arbeit an, welche das System in dem auf die abgelaufene Zeit $t\!$ folgenden Zeitelement $dt\!$ verrichtet.

 Setzen wir noch zur Abkürzung

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}m_{i}\;v_{i}^{2}=T,$

so kann unter der eben gemachten Voraussetzung die Gleichung (1) geschrieben werden

(2)	$\!T-P={\text{const.}}$

 Die Differenz der beiden Functionen $T\!$ und $P\!$ nennt man die mechanische Kraft des Systems. Die Function $T\!$ heisst die virtuelle mechanische Kraft, $P\!$ die potentielle mechanische Kraft.

 Wir bezeichnen mit $T_{0}\!$ und $P_{0}\!$ die Werthe, welche die Functionen $T\!$ und $P\!$ zur Zeit $t=0\!$ haben. Dann ergibt sich aus (2) unmittelbar

(3)	$\!T-T_{0}=P-P_{0}.$

Wenn also die Bedingung für das Vorhandensein der Function $P\!$ erfüllt ist, so berechnet sich der Zuwachs an lebendiger Kraft (virtueller mechanischer Kraft), welche das freie System von materiellen Punkten bei einer wirklich ausgeführten Bewegung erfährt, als die Differenz der Werthe, welche die Function $P\!$ für die Anfangs- und die Endlage der Punkte des Systems besitzt. Diese Differenz ist aber unabhängig von den Wegen, auf welchen die Punkte aus ihrer Anfangslage in die Endlage übergeführt werden. Dieser Satz, welcher in Gleichung (3), oder auch in Gleichung (2) sich ausspricht, ist für das freie System von bewegten materiellen Punkten das Princip der Erhaltung der lebendigen Kraft.

§. 38. Das Potential.

 Wir gehen zu einem besonderen Falle über. Die Kräfte, von welchen die materiellen Punkte des freien Systems in Anspruch genommen werden, sollen gegenseitige Anziehungen oder Abstossungen sein, deren Grösse nur von den Massen der auf einander wirkenden Punkte und von ihrer Entfernung abhängt. Dann gibt es eine Function $P\!$, wie sie im vorigen Paragraphen eingeführt

ist. Um dies zu beweisen, betrachten wir irgend welche zwei von den $n\!$ Punkten und bezeichnen ihre Masse resp. mit $m_{i}\!$ und $m_{k}.\!$ Diese beiden Punkte sollen in der Richtung ihrer Verbindungslinie

Fig. 28.

eine bewegende Kraft auf einander ausüben, die wir mit $f_{ik}(r_{ik})\!$ bezeichnen. Die Kraft ist Abstossung oder Anziehung, je nachdem der Werth dieser Function positiv oder negativ ist. In dem Zeitelement $dt\!$ durchlaufe der Punkt $m_{i}\!$ den Weg $ds_{i}\!$ und der Punkt $m_{k}\!$ den Weg $ds_{k}\!$ (Fig. 28). Dabei verrichtet der Punkt $m_{i}\!$ die mechanische Arbeit

$-f_{ik}(r_{ik})ds_{i}\cos(r_{ik},\;ds_{i}),$

und der Punkt $m_{k}\!$ verrichtet die Arbeit

$f_{ik}(r_{ik})ds_{k}\cos(r_{ik},\;ds_{k}).$

Es findet sich aber leicht

${\begin{aligned}\cos(r_{ik},\;ds_{i})&={\frac {x_{k}-x_{i}}{r}}{\frac {dx_{i}}{ds_{i}}}+{\frac {y_{k}-y_{i}}{r}}{\frac {dy_{i}}{ds_{i}}}+{\frac {z_{k}-z_{i}}{r}}{\frac {dz_{i}}{ds_{i}}}\\&=-{\frac {1}{2r_{ik}}}{\frac {\partial (r_{ik}^{2})}{\partial s_{i}}}=-{\frac {\partial r_{ik}}{\partial s_{i}}},\\\end{aligned}}$

und auf demselben Wege

$\cos(r_{ik},\;ds_{k})={\frac {\partial r_{ik}}{\partial s_{k}}}.$

Die von beiden Punkten im Zeitelement $dt\!$ verrichtete Arbeit ist demnach

$=f_{ik}(r_{ik})\left\lbrace {\frac {\partial r_{ik}}{\partial s_{i}}}ds_{i}+{\frac {\partial r_{ik}}{\partial s_{k}}}ds_{k}\right\rbrace$ $=f_{ik}(r_{ik})dr_{ik}.\!$

Bezeichnen wir nun mit $F_{ik}(r_{ik})\!$ eine Function von $r_{ik}\!$, deren Differentialquotient $f_{ik}(r_{ik})\!$ ist:

${\frac {dF_{ik}(r_{ik})}{dr_{ik}}}=f_{ik}(r_{ik}),$

so ist die von $t=0\!$ bis zur abgelaufenen Zeit $t\!$ vermöge der Wechselwirkung zwischen den Massen $m_{i}\!$ und $m_{k}\!$ geleistete Arbeit:

$\int \limits _{0}^{t}f_{ik}(r_{ik}){\frac {dr_{ik}}{dt}}dt=F_{ik}(r_{ik})-[F_{ik}(r_{ik})]_{t=0}.$

Die Gesammtarbeit aller Massen des ganzen Systems findet sich, indem man in dem letzten Ausdruck für $i\;k\!$ alle Combinationen zweiter Klasse aus den Elementen $1,2,3,\ldots n\!$ setzt und die entstehenden einzelnen Werthe summirt. Die Gesammtarbeit ist also

(1)	$\sum F_{ik}(r_{ik})-\sum [F_{ik}(r_{ik})]_{t=0}.$

Die Summe $\sum F_{ik}(r_{ik})$ ist die potentielle mechanische Kraft $P\!$. Wir nennen sie kürzer das Potential. Die Integrations-Constante soll so gewählt werden, dass $P=0\!$ ist, wenn alle Punkte in unendlicher Entfernung liegen.

 Das Potential ist also die Arbeit, welche verrichtet würde bei der Uebertragung der Punkte aus unendlicher Entfernung in ihre wirkliche Lage.

 Das Potential ist unabhängig von den Wegen, auf welchen man diese Uebertragung vornehmen will. Ebenso ist aber die Gesammtarbeit (1) des Massensystems, die bei dem Uebergange aus einer Lage im endlichen Gebiete in eine andere solche Lage verrichtet wird, unabhängig von den Wegen, welche die einzelnen Punkte durchlaufen. Sie hängt allein von der Anfangs- und von der Endlage der Punkte des Systems ab. Man kann also, wenn es nur auf die Berechnung der verrichteten mechanischen Arbeit ankommt, alle Punkte aus ihrer Anfangslage in unendliche Entfernung rücken und hierauf in ihre Endlage übergehen lassen. Bei der ersten Bewegung erhält man als Arbeit den negativen Werth des Potentials für die Anfangslage, bei der zweiten das Potential selbst für die Endlage. Dies ist die Bedeutung des Ausdrucks (1).

 Bei Anziehung im umgekehrten Verhältnis des Quadrates der Entfernung ist das Potential

(2)	$P=\sum {\frac {m_{i}\;m_{k}}{r_{ik}}}.$

Hier ist wieder für $i\;k$ jede Combination zweiter Klasse aus den Elementen $1,2,3,\ldots n\!$ zu nehmen, und die entstehenden einzelnen Ausdrücke sind zu summiren.

 Wir haben bis jetzt vorausgesetzt, dass jeder Punkt des Systems mit allen anderen in Wechselwirkung stehe. Das Potential, welches man dabei erhält, nennt man das Potential des Massensystems auf sich selbst.

 Es ist aber auch der Fall zu betrachten, dass jeder Punkt des einen Massensystems in Wechselwirkung steht mit jedem Punkte eines zweiten Systems.

 Wir wollen die Massen des einen Systems mit $m_{1},\;m_{2},\ldots m_{n}$, die des anderen Systems mit $M_{1},\;M_{2},\ldots M_{\nu }$ bezeichnen. Wenn die Wechselwirkung in Anziehung oder Abstossung besteht, deren Grösse eine Function der Entfernung ist, so erhalten wir für die geleistete Arbeit wieder den Ausdruck (1). Die Entfernung $r_{ik}\!$ bezieht sich aber jetzt auf einen Punkt $m_{i}\!$ des einen Systems und einen Punkt $M_{k}\!$ des anderen. Es ist also jetzt

$r_{ik}^{2}=(\xi _{i}-x_{k})^{2}+(\eta _{i}-y_{k})^{2}-(\zeta _{i}-z_{k})^{2}.$

Die Summirung ist so zu verstehen, dass je ein Punkt des ersten Systems $(m_{1},\;m_{2},\ldots m_{n})$ mit je einem Punkte des andern $(M_{1},\;M_{2},\ldots M_{R})$ zusammengestellt, für jede Zusammenstellung die Function $F_{ik}(r_{ik})\!$ gebildet und alle entstehenden Functionen summirt werden. In dem Integral

$F_{ik}(r_{ik})=\int f_{ik}(r_{ik})dr_{ik}$

ist die Integrationsconstante so zu wählen, dass $F_{ik}(r_{ik})=0\!$ wird für $r_{ik}=\infty$. Dann ist

(3)	$P=\sum F_{ik}(r_{ik})$

das Potential des einen Massensystems auf das andere.

 Bei Anziehung im umgekehrten Verhältnis des Quadrates der Entfernung hat man jetzt das Potential

$P=\sum _{k=1}^{\nu }M_{k}\sum _{i=1}^{n}{\frac {m_{i}}{r_{ik}}}.$

 Bei Abstossung nach demselben Gesetze ist in (2) und (4) auf der rechten Seite negatives Vorzeichen zu setzen.

 Die Potentialfunction einer anziehenden (oder abstossenden) Masse auf einen Punkt $(x,\,y,\,z)$ ist das Potential dieser Masse auf die in dem Punkte $(x,\,y,\,z)$ concentrirte Masseneinheit.

§. 39. Das Princip des Lagrange für ein freies System. Die Gleichung: $\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)dt=0.$

 Das Princip des Lagrange ist für ein freies System in der Gleichung ausgesprochen:

(1)	$\sum _{i=1}^{n}\left\lbrace \left(X_{i}-m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta x_{i}+\left(Y_{i}-m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta y_{i}+\left(Z_{i}-m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta z_{i}\right\rbrace$

$=0.\!$

Darin sind die 3 $n\!$ Variationen der Coordinaten von einander unabhängig. Man hat also zur Erfüllung der Gleichung (1) für sich gleich Null zu setzen, was mit jeder einzelnen Variation multiplicirt ist. Auf diese Weise erhält man für die $n\!$ Punkte des Systems die 3 $n\!$ Differentialgleichungen der Bewegung.

 Wenn die auf die Punkte einwirkenden Kräfte so beschaffen sind, dass ein Potential vorhanden ist, so lässt die Gleichung (1) sich schreiben:

(2)

$\sum _{i=1}^{n}\left\lbrace \left({\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta x_{i}+\left({\frac {\partial P}{\partial y_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta y_{i}+\left({\frac {\partial P}{\partial z_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta z_{i}\right\rbrace$

$=0.\!$

Dafür gibt es aber einen kürzeren Ausdruck, nemlich

(3)	$\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)dt=0.$

Diese Gleichung ist so zu verstehen. Aus einer gegebenen Anfangslage (für $t=0\!$) kann man sich die Punkte des Systems in eine gegebene Endlage (zur Zeit $t\!$) auf unendlich vielen verschiedenen Wegen übergeführt denken. Für jeden Uebergang auf bestimmten Wegen hat das Integral

(4)	$\int \limits _{0}^{t}(T+P)dt$

einen bestimmten Werth, der aber sich ändert, sobald die Wege der einzelnen Punkte des Systems geändert werden. Vergleicht man nun zwei Uebergänge mit einander, bei denen die Wege, die jeder einzelne Punkt durchläuft, nur unendlich wenig von einander abweichen, so sind auch die Werthe des Integrals (4) für den einen und für den anderen Uebergang nur unendlich wenig von einander verschieden. Die Aenderung, welche dem Integralwerth für den ersten Uebergang zu ertheilen ist, damit der Integralwerth für den zweiten Uebergang herauskomme, wird die Variation des Integrals (4) genannt.

 Die Gleichung (3) sagt aus, dass von allen denkbaren Uebergängen aus der gegebenen Anfangslage in die gegebene Endlage in Wirklichkeit derjenige zu Stande kommt, für welchen die Variation des Integrals (4) gleich Null ist.

 Um zu beweisen, dass dieser Satz nichts anderes ist als das Princip des Lagrange, führen wir die Variation wirklich aus.

 Es ist zunächst

$T=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}m_{i}\left\lbrace \left({\frac {dx_{i}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy_{i}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz_{i}}{dt}}\right)^{2}\right\rbrace ,$

also findet sich

$\delta T=\sum m_{i}\left\lbrace {\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta x_{i}}{dt}}+{\frac {dy_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta y_{i}}{dt}}+{\frac {dz_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta z_{i}}{dt}}\right\rbrace$

und in Folge davon

${\begin{aligned}\delta \int \limits _{0}^{t}T\;dt&=\int \limits _{0}^{t}\sum m_{i}\left\lbrace {\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta x_{i}}{dt}}+{\frac {dy_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta y_{i}}{dt}}+{\frac {dz_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta z_{i}}{dt}}\right\rbrace dt\\&=\sum m_{i}\int \limits _{0}^{t}\left\lbrace {\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta x_{i}}{dt}}+{\frac {dy_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta y_{i}}{dt}}+{\frac {dz_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta z_{i}}{dt}}\right\rbrace dt.\\\end{aligned}}$

 Den Ausdruck

$\int \limits _{0}^{t}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta x_{i}}{dt}}dt$

wollen wir durch Integration nach Theilen umformen. Dadurch ergibt sich

$\int \limits _{0}^{t}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta x_{i}}{dt}}dt=\left({\frac {dx_{i}}{dt}}\delta x_{i}\right)_{t}-\left({\frac {dx_{i}}{dt}}\delta x_{i}\right)_{t=0}-\int \limits _{0}^{t}\delta x_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}dt.$

Für die Anfangslage $(t=0)\!$ und für die Endlage (nach Ablauf der Zeit $t\!$) ist aber $\delta x_{i}=0,\!$ also fällt der vom Integralzeichen freie Bestandtheil auf der rechten Seite der letzten Gleichung weg, und wir erhalten

$\int \limits _{0}^{t}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {d\,\delta x_{i}}{dt}}dt=-\int \limits _{0}^{t}\delta x_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}dt.$

Auf demselben Wege findet sich

$\int \limits _{0}^{t}{\frac {dy_{i}}{dt}}{\frac {d\,\delta y_{i}}{dt}}dt=-\int \limits _{0}^{t}\delta y_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}dt,$

$\int \limits _{0}^{t}{\frac {dz_{i}}{dt}}{\frac {d\,\delta z_{i}}{dt}}dt=-\int \limits _{0}^{t}\delta z_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}dt.$

 Folglich geht jetzt die Gleichung (3) in folgende über:

(5)	$0=\int \limits _{0}^{t}dt\left\lbrack \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta x_{i}\right.$

${\begin{aligned}&+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial P}{\partial y_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta y_{i}\\&+\sum _{i=1}^{n}\left.\left({\frac {\partial P}{\partial z_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta z_{i}\right\rbrack .\\\end{aligned}}$

Zu ihrer Erfüllung ist nothwendig und hinreichend, dass für jeden Zeitmoment die Function unter dem Integralzeichen gleich Null sei, also:

(6)

$\sum _{i=1}^{n}\left\lbrace \left({\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta x_{i}+\left({\frac {\partial P}{\partial y_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta y_{i}+\left({\frac {\partial P}{\partial z_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta z_{i}\right\rbrace$

$=0.\!$

Dies ist aber die Gleichung (2). Folglich ist bewiesen, dass das Princip des Lagrange bei dem Vorhandensein eines Potentials durch die Gleichung (3) ausgedrückt wird.

 In unserm Falle ist das System frei. Die 3 $n\!$ Variationen der Coordinaten sind also von einander unabhängig. Demnach zerfällt die Gleichung (6) in 3 $n\!$ einzelne Gleichungen, indem — wie schon oben bemerkt — für sich gleich Null zu setzen ist, was mit jeder einzelnen von den 3 $n\!$ Variationen multiplicirt vorkommt. Also findet sich

(7)	${\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}=0,$ ${\frac {\partial P}{\partial y_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}=0,$ ${\frac {\partial P}{\partial z_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}=0.$

Hierin ist $i\!$ der Reihe nach $=1,2,3,\ldots n$ zu setzen. Dann sind die Gleichungen (7) nichts anderes als die Differentialgleichungen der Bewegung, wie sie aus dem Prinzip des Lagrange hervorgehen.

§. 40. Das nicht freie System.

 Das System der $n\!$ Punkte ist nicht frei, wenn zwischen den Punkten oder zwischen einigen von ihnen, solche Verbindungen vorhanden sind, vermöge deren die einzelnen Punkte zu anderen Bewegungen gezwungen werden, als sie bloss unter dem Einfluss der auf sie wirkenden Kräfte ausgeführt hätten. Dieser Fall soll jetzt betrachtet werden.

 Nehmen wir den Punkt $(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})$ von der Masse $m_{i}\,$. In Folge der vorhandenen Verbindungen vollführt er eine andere Bewegung, als wenn er frei und nur dem Antriebe der Kraftcomponenten $X_{i},\,Y_{i},\,Z_{i}$ ausgesetzt wäre. Es fragt sich dann, welche Kräfte $X_{i}^{\prime },\,Y_{i}^{\prime },\,Z_{i}^{\prime }$ man noch hinzufügen müsse, damit sie mit jenen Componenten zusammen den völlig frei gedachten Punkt gerade in die Bewegung versetzen, die wirklich zu Stande kommt. Kennt man diese Zusatzkräfte $X_{i}^{\prime },\,Y_{i}^{\prime },\,Z_{i}^{\prime }$ für jeden Punkt, so kann man die Bewegung des Systems aus einem doppelten Gesichtspunkte betrachten. Einmal kommt sie wirklich zu Stande unter Einwirkung der gegebenen bewegenden Kräfte und der vorhandenen Verbindungen. Das andere mal würde sie in genau derselben Weise zu Stande kommen, wenn die Punkte des völlig frei gemachten Systems von den gegebenen Kräften und von den eben betrachteten Zusatzkräften getrieben würden. Da nun die Wirkung in beiden Fällen dieselbe ist, und nur die Wirkung in Betracht kommt, so hat man das Recht, die eine Ursache durch die andere zu ersetzen. D. h. man darf die Bewegung so auffassen, als ob die Punkte des Systems frei wären und ausser den gegebenen Kräften noch die Zusatzkräfte in Wirksamkeit träten. Die gegebenen Kräfte sollen wieder so beschaffen sein, dass ein Potential vorhanden ist. Dann spricht sich das Princip des Lagrange in der Gleichung aus:

(1)	$\sum _{i=1}^{n}\left\lbrace \left({\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}+X_{i}^{\prime }\right)\right.\delta x_{i}$

${\begin{aligned}&+\left({\frac {\partial P}{\partial y_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}+Y_{i}^{\prime }\right)\delta y_{i}\\&\left.+\left({\frac {\partial P}{\partial z_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}+Z_{i}^{\prime }\right)\delta z_{i}\right\rbrace =0.\\\end{aligned}}$

Es kömmt nun darauf an, für jeden Punkt des Systems die Zusatzkräfte $X_{i}^{\prime },\,Y_{i}^{\prime },\,Z_{i}^{\prime }$ wirklich ausfindig zu machen. Zu dem Ende kann man die Sache auch so auffassen. Es ist erlaubt, für jeden Punkt des unfreien Systems solche Kräfte hinzuzufügen, die sich gegenseitig im Gleichgewicht halten. Für den Punkt $(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})$ fügen wir parallel den Coordinatenaxen die Kräfte

$X_{i}^{\prime },\,Y_{i}^{\prime },\,Z_{i}^{\prime }$

und die Kräfte

$-X_{i}^{\prime },\,-Y_{i}^{\prime },\,-Z_{i}^{\prime }$

hinzu. Die letztgenannten sollen so gewählt werden, dass ihre Wirkung und die Wirkung der vorhandenen Verbindungen sich gegenseitig vernichten. Dadurch wird eben das System zu einem freien, und zu den gegebenen Kräften treten die Zusatzkräfte $X_{i}^{\prime },\,Y_{i}^{\prime },\,Z_{i}^{\prime }$ hinzu. Diese sind aber völlig bestimmt, sobald man die

Fig. 29.

Fig. 30.

Kräfte $-X_{i}^{\prime },\,-Y_{i}^{\prime },\,-Z_{i}^{\prime }$ kennt, durch welche die Wirkung der Verbindungen aufgehoben wird.

 Es ist also vor allem nothwendig, zu untersuchen, wie die Kräfte beschaffen sind, welche durch die Verbindungen aufgehoben werden und ihrerseits die Wirkungen der Verbindungen aufheben. Wir betrachten deshalb die verschiedenen Arten der Verbindungen.

 Erstens. Zwei Punkte $(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})$ und $(x_{k},\,y_{k},\,z_{k})$ seien durch eine starre Verbindungslinie gezwungen, in constanter Entfernung von einander zu bleiben (Fig. 29 u. 30). Die Bedingung, welche dadurch eingeführt wird, lässt sich durch die Gleichung aussprechen:

(2)	$U=r-{\text{const.}}=0,\!$

wenn

$r={\sqrt {(x_{k}-x_{i})^{2}+(y_{k}-y_{i})^{2}+(z_{k}-z_{i})^{2}}}$

gesetzt wird. Durch diese Verbindung können nur solche Kräfte aufgehoben werden, welche die Entfernung der beiden Punkte zu vermehren oder zu vermindern streben, d. h. zwei gleich grosse Kräfte, deren Richtungen einander entgegengesetzt in die Verbindungslinie der beiden Punkte fallen, und von denen die eine auf den Punkt $m_{i}\!$, die andere auf den Punkt $m_{k}\!$ wirkt. Folglich sind auch $X_{i}^{'},\,Y_{i}^{'},\,Z_{i}^{'}$ die Componenten einer Kraft $\lambda \!$, welche in der Richtung $m_{i}\,m_{k}$ oder in der Richtung $m_{k}\,m_{i}$ auf den Punkt $m_{i}\!$ wirkt. Und es sind $X_{k}^{'},\,Y_{k}^{'},\,Z_{k}^{'}$ die Componenten einer ebenso grossen Kraft $\lambda \!$, die der vorigen entgegengesetzt auf den Punkt $m_{k}\!$ wirkt. Es ist also

(3)

$X_{i}^{'}=\lambda \cdot {\frac {x_{i}-x_{k}}{r}}=\lambda {\frac {\partial r}{\partial x_{i}}},$ $Y_{i}^{'}=\lambda \cdot {\frac {y_{i}-y_{k}}{r}}=\lambda {\frac {\partial r}{\partial y_{i}}},$ $Z_{i}^{'}=\lambda \cdot {\frac {z_{i}-z_{k}}{r}}=\lambda {\frac {\partial r}{\partial z_{i}}},$ $X_{i}^{'}=\lambda \cdot {\frac {x_{k}-x_{i}}{r}}=\lambda {\frac {\partial r}{\partial x_{k}}},$ $Y_{i}^{'}=\lambda \cdot {\frac {y_{k}-y_{i}}{r}}=\lambda {\frac {\partial r}{\partial y_{k}}},$ $Z_{i}^{'}=\lambda \cdot {\frac {z_{k}-z_{i}}{r}}=\lambda {\frac {\partial r}{\partial z_{k}}}.$

 Das virtuelle Moment der Zusatzkräfte ist demnach

(4)

${\begin{aligned}&\lambda \left({\frac {\partial r}{\partial x_{i}}}\delta x_{i}+{\frac {\partial r}{\partial y_{i}}}\delta y_{i}+{\frac {\partial r}{\partial z_{i}}}\delta z_{i}\right)\\+&\lambda \left({\frac {\partial r}{\partial x_{k}}}\delta x_{k}+{\frac {\partial r}{\partial y_{k}}}\delta y_{k}+{\frac {\partial r}{\partial z_{k}}}\delta z_{k}\right),\\\end{aligned}}$

d. h.

$\lambda \,\delta r$ oder auch $\lambda \,\delta u.$

Die Grösse der Kraft $\lambda \!$ bleibt vorläufig unbestimmt. Ihr Vorzeichen kann sowohl positiv als auch negativ sein. Es ist positiv für Fig. 29, negativ für Fig. 30. Man hat aber zu bemerken, dass $\lambda \,\delta u=0$ ist in Folge der Bedingungsgleichung (2).

 Zweitens. Die beiden Punkte $(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})$ und $(x_{k},\,y_{k},\,z_{k})$ seien durch einen biegsamen, aber unausdehnsamen Faden verbunden. Sie werden dadurch an eine Bedingung geknüpft, deren analytischer Ausdruck ist

(5)	$u\geq 0,\!$

wenn $u={\text{const.}}-r\!$ gesetzt wird. In diesem Falle bildet die Verbindung gar kein Hindernis, so lange $u>0\!$ ist, und es ist ebenso lange die Zusatzkraft $\lambda =0\!$. Wenn aber $u=0\!$ ist, so hebt die Verbindung zwei gleich grosse Abstossungskräfte auf, deren Richtungen einander entgegengesetzt in die Verbindungslinie der beiden Punkte fallen, und von denen die eine auf den Punkt $m_{i}\!$, die andere auf den Punkt $m_{k}\!$ wirkt. Bezeichnet man also mit $\lambda \!$ die absolute Grösse der beiden Zusatzkräfte, welche im Punkte $m_{i}\!$ und im Punkte $m_{k}\!$ anzubringen sind, so hat man (Fig. 30) für die Componenten die Gleichungen

(6)

$X_{i}^{'}=\lambda \cdot {\frac {x_{k}-x_{i}}{r}}=-\lambda {\frac {\partial r}{\partial x_{i}}},$ $Y_{i}^{'}=\lambda \cdot {\frac {y_{k}-y_{i}}{r}}=-\lambda {\frac {\partial r}{\partial y_{i}}},$ $Z_{i}^{'}=\lambda \cdot {\frac {z_{k}-z_{i}}{r}}=-\lambda {\frac {\partial r}{\partial z_{i}}},$ $X_{k}^{'}=\lambda \cdot {\frac {x_{i}-x_{k}}{r}}=-\lambda {\frac {\partial r}{\partial x_{k}}},$ $Y_{k}^{'}=\lambda \cdot {\frac {y_{i}-y_{k}}{r}}=-\lambda {\frac {\partial r}{\partial y_{k}}},$ $Z_{k}^{'}=\lambda \cdot {\frac {z_{i}-z_{k}}{r}}=-\lambda {\frac {\partial r}{\partial z_{k}}}.$

 Das virtuelle Moment dieser Zusatzkräfte ist

(7)	$-\lambda \,\delta r=\lambda \,\delta u.$

Dieses Moment ist gleich Null für $u>0\!$, weil dann $\lambda =0\!$ ist. Es ist gleich Null oder positiv, wenn $u=0\!$ ist. Denn dann ist $\delta u\geq 0\!$ vermöge der Bedingung (5). Der Werth der absoluten Grösse $\lambda \!$ bleibt für $u=0\!$ vorläufig unbestimmt.

 Drittens. Die beiden Punkte $(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})$ und $(x_{k},\,y_{k},\,z_{k})$ seien so mit einander verbunden, dass ihr Abstand von einer gegebenen Grösse an beliebig vermehrt, aber unter diese Grösse herab nicht vermindert werden kann. Diese Bedingung lässt sich durch (5) ausdrücken, wenn

$u=r-{\text{const.}}\!$

gesetzt wird. Die Verbindung bildet kein Hindernis, so lange $u>0\!$, und ebenso lange ist demnach die Zusatzkraft $\lambda =0\!$. Wenn aber $k=0\!$ ist, so hebt die Verbindung zwei gleich grosse Anziehungskräfte auf, deren Richtungen einander entgegengesetzt in die Verbindungslinie der beiden Punkte fallen, und von denen die eine auf den Punkt $m_{i}\!$ die andere auf den Punkt $m_{k}\!$ wirkt. Bezeichnet man wieder mit $\lambda \!$ die absolute Grösse der beiden Zusatzkräfte, welche im Punkte $m_{i}\!$ und im Punkte $m_{k}\!$ anzubringen sind, so gelten (Fig. 29) für die Componenten die Gleichungen (3). Das virtuelle Moment dieser Zusatzkräfte ist demnach

(8)	$\lambda \;\delta r=\lambda \;\delta u.$

Es ist gleich Null für $u>0,\!$ weil dann $\lambda =0.\!$ Es ist gleich Null oder positiv, wenn $u=0,\!$ ist. Denn dann ist $\delta u\geq 0,\!$ vermöge der Bedingung (5). Der Werth der absoluten Grösse $\lambda \!$ bleibt für $u=0\!$ wieder vorläufig unbestimmt.

 Viertens. Der Punkt $(x_{i},\;y_{i},\;z_{i})$ sei gezwungen, in einer Fläche zu bleiben, welche durch die Gleichung

(9)	$F(x,\;y,\;z)=0$

charakterisirt wird. Die Fläche scheidet zwei Räume von einander. Für jeden Punkt $(x,\;y,\;z)$ in dem einen Raume $F(x,\;y,\;z)>0,$ für jeden Punkt in dem anderen Raume ist $F(x,\;y,\;z)<0.$ Für irgend einen Punkt $(x,\;y,\;z)$ in der Fläche selbst unterscheiden wir die positive und die negative Normale. Die positive Normale geht von dem Punkte aus in den Raum, für welchen $F(x,\;y,\;z)$ positiv ist. Sie schliesst mit den positiven Richtungen der Coordinatenaxen Winkel ein, deren Cosinus die Werthe haben

${\frac {\partial F}{\partial x}}:{\sqrt {\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial z}}\right)^{2}}},$ ${\frac {\partial F}{\partial y}}:{\sqrt {\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial z}}\right)^{2}}},$ ${\frac {\partial F}{\partial z}}:{\sqrt {\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial z}}\right)^{2}}}.$

Die Bedingung, an welche die Bewegung des Punktes $(x_{i},\;y_{i},\;z_{i})$ geknüpft ist, lässt sich durch die Gleichung ausdrücken:

(10)

$u=0,\,$

wenn $u=F(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})$ gesetzt wird. Das Hindernis, welches dadurch der freien Bewegung des Punktes entgegengesetzt wird, kann nur eine Kraft aufheben, deren Richtung stets in die negative oder in die positive Normale der Fläche fällt. Also wird auch die Zusatzkraft $\mu \!$ welche im Punkte $(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})$ anzubringen ist, die Richtung der positiven oder der negativen Normale haben. Setzen wir zur Abkürzung

(11)	$\mu :{\sqrt {\left({\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial z_{i}}}\right)^{2}}}=\lambda ,$

so hat jene Zusatzkraft die Componenten

$\lambda \,{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}},\quad \lambda \,{\frac {\partial u}{\partial y_{i}}},\quad \lambda \,{\frac {\partial u}{\partial z_{i}}},$

und ihr virtuelles Moment ist

(12)	$\lambda \,{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\,\delta x_{i}+\lambda \,{\frac {\partial u}{\partial y_{i}}}\,\delta y_{i}+\lambda \,{\frac {\partial u}{\partial z_{i}}}\,\delta z_{i}=\lambda \,\delta u.$

Das Vorzeichen von $\lambda \!$ ist positiv oder negativ, je nachdem die Zusatzkraft in die positive oder in die negative Normale fällt. Der Werth von $\lambda \!$ bleibt vorläufig unbestimmt. Aber das virtuelle Moment $\lambda \,\delta u\!$ ist gleich Null, weil $\delta u=0\!$ vermöge der Gleichung (10).

 Fünftens. Der Punkt $(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})$ soll sich frei bewegen können in dem Raume, für welchen $F(x,\,y,\,z)>0$ ist, und auf der Fläche (9). Er werde aber verhindert, durch diese Fläche hindurch in den Raum überzutreten, für welchen $F(x,\,y,\,z)<0\,.$ Diese Bedingung lässt sich so aussprechen:

(13)	$u\geq 0,$

wenn $u=F(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})$ gesetzt wird. Hier ist die Zusatzkraft $\mu \!$, welche dieselbe Wirkung ausübt wie das Hindernis, gleich Null, so lange $u>0.\,$ Sie ist positiv, wenn $u=0\,.$ Ihr virtuelles Moment ist

(14)	$\lambda \,\delta u,$

wobei $\lambda \!$ wieder durch die Gleichung (11) definirt wird. Dieses Moment ist $=0\,,$ so lange $u>0\,,$ weil dann $\lambda =0\!$ ist. Es ist Null oder positiv für $u=0\,.$ Denn dann ist $\lambda \!$ positiv und $\delta u\geq 0\!$ vermöge der Bedingung (13).

 Fassen wir die gewonnenen Resultate zusammen. Die Bedingungen, welche den Punkten des unfreien Systems durch die vorhandenen Verbindungen auferlegt werden, lassen sich analytisch ausdrücken durch Gleichungen oder Ungleichungen von der Form

$u_{1}\geq 0,\quad u_{2}\geq 0,\ldots$

Die Functionen $u_{1},\,u_{2},\ldots$ sind abhängig von den Coordinaten der Punkte des Systems oder von einigen derselben. Das Princip des Lagrange ist jetzt in der Gleichung enthalten

(15)	$\int \limits _{0}^{t}dt\lbrace \delta (T+P)+\sum \lambda \,\delta u\rbrace =0.\,$

Dafür kann man auch schreiben

(16)	$\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)dt=-\sum \int \limits _{0}^{t}\lambda \,\delta u\,dt.\,$

Die durch das Zeichen $\Sigma \!$ vorgeschriebene Summirung bezieht sich auf sämmtliche Functionen $u_{1},\,u_{2},\ldots$, die in den Bedingungen des Systems vorkommen. Die Variationen $\delta u_{1},\,\delta u_{2},\ldots$ sind der Reihe nach mit den vorläufig noch unbestimmten Grössen $\lambda _{1},\,\lambda _{2},\ldots$ zu multipliciren. Die rechte Seite der Gleichung (16) ist entweder Null oder negativ, weil jedes einzelne $\lambda \,\delta u$ gleich Null oder positiv ist.

§.41. Fortsetzung: Bestimmung der Grössen $\lambda \!$.

 Es handelt sich nun noch darum, die Grössen $\lambda _{1},\,\lambda _{2},\ldots$ zu bestimmen. Ihrer Bedeutung nach sind diese Grössen entweder gleich oder proportional den Zusatzkräften, welche man einzuführen hat, damit das System als völlig frei betrachtet werden könne. Nach Einführung der Grössen $\lambda \!$ sind demnach die Variationen der 3 $\,n$ Coordinaten $x_{1},\,y_{1},\,z_{1},\ldots x_{n},\,y_{n},\,z_{n}$ wieder von einander unabhängig. Man hat also in Gleichung (15) des vorigen Paragraphen für jedes $\delta u\!$ zu schreiben

${\begin{aligned}\delta u&=\,{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}\,\delta x_{1}+\,{\frac {\partial u}{\partial y_{1}}}\,\delta y_{1}+\,{\frac {\partial u}{\partial z_{1}}}\,\delta z_{1}\\&+\,{\frac {\partial u}{\partial x_{2}}}\,\delta x_{2}+\,{\frac {\partial u}{\partial y_{2}}}\,\delta y_{2}+\,{\frac {\partial u}{\partial z_{1}}}\,\delta z_{2}\\&+\dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \\&+\,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}\,\delta x_{n}+\,{\frac {\partial u}{\partial y_{n}}}\,\delta y_{n}+\,{\frac {\partial u}{\partial z_{n}}}\,\delta z_{n}.\\\end{aligned}}$

Man hat ferner, wie in §. 39, das Integral

$\int \limits _{0}^{t}\delta T\,dt$

zu transformiren. Nachher findet sich unter dem Integralzeichen, wenn alles zusammengefasst wird, eine Summe von $\ 3n$ Gliedern, welche der Reihe nach die Variationen $\delta x_{1},\delta y_{1},\delta z_{1},...\,\delta x_{n},\delta y_{n},\delta z_{n}$ als Factoren enthalten. Zur Erfüllung der Gleichung ist dann nothwendig und hinreichend, dass für sich besonders gleich Null gesetzt werde, was mit jeder einzelnen Variation multiplicirt ist. Dadurch erhält man die $\ 3n$ Differentialgleichungen der Bewegung, welche jetzt lauten

(1)

${\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}+\sum \lambda {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=0,$ ${\frac {\partial P}{\partial y_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}+\sum \lambda {\frac {\partial u}{\partial y_{i}}}=0,$ ${\frac {\partial P}{\partial z_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}+\sum \lambda {\frac {\partial u}{\partial z_{i}}}=0.$

Als unbekannt sind in diesen Gleichungen anzusehen die $\ 3n$ Coordinaten, insofern ihre Abhängigkeit von $\ t$ gesucht wird, ausserdem aber ebenso viele Grössen $\lambda \!$, als Bedingungen in der Form $u\geq 0$ gegeben sind. Die Gleichungen (1) und die analytischen Ausdrücke der Bedingungen sind also an Zahl ebenso gross wie die Anzahl der Unbekannten. So lange eine Ungleichung von der Form $\ u>0$ erfüllt ist, hat man das zugehörige $\ \lambda =0$ zu setzen. Erst wenn die Coordinaten aufhören, die Ungleichung zu erfüllen, tritt die Gleichung $\ u=0$ in Kraft, und das zugehörige $\ \lambda$ hat dann einen unbekannten Werth. Umgekehrt bleibt, wenn die Bedingung in der doppelten Form $u\geq 0$ auftritt, die Gleichung $\ u=0$ allein nur so lange bestehen, als das zugehörige $\ \lambda$ von Null verschieden ist, und von dem Augenblicke an, in welchem $\ \lambda =0$ wird, erhält neben der Gleichung $\ u=0$ auch die Ungleichung $\ u>0$ ihre Gültigkeit. Man hat also immer ebenso viele Gleichungen als Unbekannte, und daraus geht hervor, dass die Grössen $\ \lambda$ vermöge der vorhandenen Gleichungen bestimmte Werthe besitzen. Hat man diese ermittelt und in die Gleichungen (1) eingesetzt, so handelt es sich nur noch um die Integration von $\ 3\ n$ simultanen Differentialgleichungen, in welchen die Coefficienten sämmtlich bekannt sind.

 Um die Werthe der von Null verschiedenen Grössen $\ \lambda$ zu ermitteln , hat man in den Gleichungen von der Form $\ u=0$ zweimal hinter einander nach $\ t$ zu differentiiren. Aus den so gewonnenen neuen Gleichungen, deren Zahl wieder gleich der Zahl der unbekannten $\ \lambda$ ist, werden mit Hülfe der Gleichungen (1) die nach $\ t$ genommenen zweiten Differentialquotienten der Coordinaten eliminirt. Dadurch hat man die Gleichungen erlangt, aus welchen die Grössen $\ \lambda$ sich berechnen lassen.  Diese Methode rührt von Lagrange her.

§. 42. Fortsetzung: Andere Methode.

 Die Berücksichtigung der Bedingungen des Systems lässt sich auch noch in anderer Weise bewerkstelligen. Es seien diese Bedingungen in $\ 3n-k$ Gleichungen ausgesprochen:

(1)	$u_{1}=0,\quad u_{2}=0\quad \ldots \quad u_{3n-k}=0$

Die Grössen $\ u_{1},u_{2},\ldots u_{3n-k}$ sind gegebene Functionen der $\ 3n$ Coordinaten. Mit Hülfe der Gleichungen (1) kann man $\ 3n-k$ von den Coordinaten als Functionen der übrigen ausdrücken, und es werden dann, wenn man diese Abhängigkeit beachtet, die Gleichungen (1) identisch erfüllt. Man kann aber auch, — und das ist noch allgemeiner — $\ k$ neue Variable $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}$ einführen und jede der $\ 3n$ Coordinaten $\ x_{1},y_{1},z_{1}\ldots x_{n},y_{n},z_{n}$ als Function dieser neuen Variabeln so ausdrücken, dass die Gleichungen (1) identisch erfüllt sind. Geht man dann darauf aus, die Grössen $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}$ nach dem Princip des Lagrange als Functionen von $\ t$ zu bestimmen, so ist dieses Problem von Nebenbedingungen frei.

 Um den eben ausgesprochenen Grundgedanken zu verwirklichen, hat man zunächst in die Functionen $T\!$ und $P\!$ die neuen Variabeln $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}$ einzuführen. Es ist

(2)	$T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left\lbrace \left({\frac {dx_{i}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dx_{i}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dx_{i}}{dt}}\right)^{2}\right\rbrace .$

Man hat aber

(3)

${\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{1}}}q_{1}^{\prime }+{\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{2}}}q_{2}^{\prime }+\dotsb +{\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{k}}}q_{k}^{\prime },$ ${\frac {dy_{i}}{dt}}={\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{1}}}q_{1}^{\prime }+{\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{2}}}q_{2}^{\prime }+\dotsb +{\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{k}}}q_{k}^{\prime },$ ${\frac {dz_{i}}{dt}}={\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{1}}}q_{1}^{\prime }+{\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{2}}}q_{2}^{\prime }+\dotsb +{\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{k}}}q_{k}^{\prime },$

wenn zur Abkürzung $q^{\prime }$ für ${\frac {dq}{dt}}$ gesetzt wird. In den Gleichungen (3) sind ${\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{1}}},{\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{2}}},\ldots \,$ bekannte Functionen von $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}\,$. Führt man also in die Gleichung (2) für ${\frac {dx_{i}}{dt}},{\frac {dy_{i}}{dt}},{\frac {dz_{i}}{dt}}$ die Ausdrücke ein, welche die rechten Seiten von (3) angeben, so geht dadurch $T\!$ in eine homogene Function zweiten Grades von den Grössen $q_{1}^{\prime },q_{2}^{\prime },\ldots q_{k}^{\prime }$ über, und die auftretenden Coefficienten sind Functionen von $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}\,$.

 Das Potential $\ P$ ist eine Function von $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}\,$.

 In unserm Problem wird die Anfangs- und die Endlage des Systems als bekannt vorausgesetzt. Es sind also die Anfangs- und die Endwerthe von $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}\,$ bekannt.

 Gehen wir nun daran, das Prinzip des Lagrange in Anwendung zu bringen, so ist die Variation

$\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)\,dt$

herzustellen. Es findet sich

$\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)\,dt$ $=\int \limits _{0}^{t}\left\lbrace \sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}\delta q_{i}^{\prime }+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial P_{i}}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}\right\rbrace dt.$

 Der Bestandtheil

$\int \limits _{0}^{t}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}\delta q_{i}^{\prime }dt$

ist zu transformiren. Wir erhalten

$\int \limits _{0}^{t}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}\delta q_{i}^{\prime }\,dt=\int \limits _{0}^{t}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}{\frac {d\,\delta q_{i}}{dt}}\,dt$ $=\left\lbrack {\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}\delta q_{i}\right\rbrack _{t}-\left\lbrack {\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}\delta q_{i}\right\rbrack _{t=0}$ $-\int \limits _{0}^{t}\delta q_{i}{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}dt.$

Der vom Integralzeichen freie Theil auf der rechten Seite dieser Gleichung fällt weg, weil für die Anfangs- und die Endlage des Systems $\delta q_{i}=0\!$ ist. Also erhalten wir

(4)	$\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)\,dt$

$=\int \limits _{0}^{t}\left\lbrace \sum _{i=1}^{k}\delta q_{i}\left(-{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}+{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial P}{\partial q_{i}}}\right)\right\rbrace dt.$

Nach dem Princip des Lagrange ist nun

$\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)\,dt=0,$

und zur Erfüllung dieser Gleichung ist nothwendig und hinreichend, dass während der Dauer der Bewegung zu jeder Zeit

(5)	$\sum _{i=1}^{k}\delta q_{i}\left(-{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}+{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial P}{\partial q_{i}}}\right)=0$

sei. Diese Gleichung zerfällt in $\ k$ einzelne Gleichungen. Da nemlich die Variationen von $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}$ völlig willkürlich und von einander unabhängig sind, so muss in (5) für sich gleich Null gesetzt werden, was mit jeder einzelnen Variation multiplicirt ist. Dadurch ergibt sich

(6)	$-{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}+{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial P}{\partial q_{i}}}=0,$

und hierin ist $\ i$ der Reihe nach $=1,2,\ldots k\,$ zu setzen. Dann hat man in (6) ein System von $\ k$ simultanen Differentialgleichungen, durch deren Integration die Grössen $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}\,$ als Functionen von $\ t$ gefunden werden.

§. 43. Der Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft hergeleitet aus dem Princip des Lagrange.

 Aus dem Princip des Lagrange lässt sich die Gültigkeit des Satzes von der Erhaltung der lebendigen Kraft herleiten, unter der Voraussetzung, dass das Potential $P\!$ die Variable $t\!$ nicht explicite enthält. Da der Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft in der Gleichung sich ausspricht:

$\ T-P={\text{const.}},$

so kommt es nur darauf an, zu beweisen, dass

${\frac {d(T-P)}{dt}}=0$

ist. Nun berechnet sich aber

(1)	${\frac {d(T-P)}{dt}}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}q_{i}^{\prime }+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}q_{i}^{\prime \prime }-\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial P}{\partial q_{i}}}q_{i}^{\prime },$

wenn $\ P$, wie vorausgesetzt wird, die Variable $\ t$ nicht explicite enthält. Wir haben im vorigen Paragraphen gesehen, dass $\ T$ eine homogene Function zweiten Grades von den Grössen $q_{1}^{\prime },q_{2}^{\prime },\ldots q_{k}^{\prime }\,$ ist, also:

(2)	$T=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot q_{i}^{\prime }\cdot q_{j}^{\prime }.$

 Hier sollen $\ i$ und $\ j$ irgend welche ganzen Zahlen aus der Reihe $\ 1,2,3,\ldots k\,$ sein. Jeder Werth, den $\ i$ annehmen kann, soll mit jedem Werthe von $\ j$ einmal zusammengestellt, und die entstehenden einzelnen Ausdrücke sollen addirt werden. Danach ist $\ T$ eine Summe von $\ k^{2}$ Gliedern, von denen jedes seinen eigenen Coefficienten $\ a_{ij}$ hat. Diese Coefficienten, für welche wir allgemein die Relation $\ a_{ij}=a_{ji}$ feststellen, sind Functionen der Grössen $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}\,$.

 Aus der Gleichung (2) ergibt sich durch Differentiation

${\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}=2\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot q_{i}^{\prime }$

und ferner

${\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}=2\sum _{j=1}^{k}{\frac {da_{ij}}{dt}}\cdot q_{j}^{\prime }+2\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot q_{j}^{\prime \prime }.\,$

In dieser letzten Gleichung wollen wir auf beiden Seiten mit $q_{i}^{\prime }$ multipliciren, dann für $\ i$ der Reihe nach alle ganzen Zahlen $\ 1,2,...\,k$ einsetzen und die Resultate rechts und links vom Gleichheitszeichen addiren. Dadurch findet sich

(3)

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{k}{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}\cdot q_{i}^{\prime }&=2\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}{\frac {da_{ij}}{dt}}\cdot q_{i}^{\prime }\cdot q_{j}^{\prime }\\&+2\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot q_{i}^{\prime }\cdot q_{j}^{\prime \prime }\\\end{aligned}}$

Betrachten wir zunächst den ersten Bestandtheil der rechten Seite. Es ist

${\frac {da_{ij}}{dt}}=\sum _{h=1}^{k}{\frac {\partial a_{ij}}{\partial q_{h}}}\cdot q_{h}^{\prime }$

und in Folge davon

(4)	$\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}{\frac {da_{ij}}{dt}}\cdot q_{i}^{\prime }\cdot q_{j}^{\prime }=\sum _{h=1}^{k}q_{h}^{\prime }\cdot \left\lbrace \sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}{\frac {\partial a_{ij}}{\partial q_{h}}}q_{i}^{\prime }\cdot q_{j}^{\prime }\right\rbrace$

$=\sum _{h=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{h}}}\cdot q_{h}^{\prime },$

Der zweite Bestandteil auf der rechten Seite der Gleichung (3) lässt sich schreiben

$\sum _{i=1}^{k}q_{i}^{\prime \prime }\cdot \left\{2\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot q_{j}^{\prime }\right\},$

und demnach hat man

(5)	$2\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot q_{i}^{\prime }\cdot q_{j}^{\prime \prime }=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}\cdot q_{i}^{\prime \prime }.$

Benutzt man die Gleichungen (4) und (5), so geht die Gleichung (3) in folgende über

(6)	$\sum _{i=1}^{k}{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}\cdot q_{i}^{\prime }=2\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}\cdot q_{i}^{\prime }+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}\cdot q_{i}^{\prime \prime }$

Das Princip des Lagrange spricht sich aus in der Gleichung (6) des vorigen Paragraphen, in welcher man $i\!$ der Reihe nach $=1,2,\ldots k\,$ setzen darf. Multiplicirt man nun in dieser Gleichung auf beiden Seiten mit $q_{i}^{\prime }$ und summirt über alle Werthe von $i\!$, so ergibt sich

$-\sum _{i=1}^{k}{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}\cdot q_{i}^{\prime }+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}\cdot q_{i}^{\prime }+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial P}{\partial q_{i}}}\cdot q_{i}^{\prime }=0.$

Hier braucht man aber nur die eben abgeleitete Gleichung (6) zu berücksichtigen, um zu finden

(7)	$\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}\,q_{i}^{\prime }\,+\,\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}q_{i}^{\prime \prime }-\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial P}{\partial q_{i}^{\prime }}}\,q_{i}^{\prime }=0,$

d. h. mit Rücksicht auf (1):

(8)	${\frac {d(T-P)}{dt}}=0,$

und das sollte bewiesen werden.

 Die Untersuchungen der §§. 40 bis 43 sind in dem besonderen Falle anwendbar, dass die materiellen Punkte des Systems ihre gegenseitige Lage nicht ändern. Sie gelten demnach auch für die Bewegung eines starren Körpers. Die Lage eines solchen starren Körpers ist im Raume völlig bestimmt, wenn man sechs von einander unabhängige Grössen kennt, nemlich die drei Coordinaten eines mit dem Körper fest verbundenen Punktes, z. B. des Schwerpunktes, dann zwei Winkel, welche die Richtung einer geraden Linie festlegen, die durch jenen Punkt geht und mit dem Körper fest verbunden ist, und endlich ein Winkel, welcher die Lage einer Ebene bestimmt, die jene Linie in sich enthält und mit dem Körper ebenfalls fest verbunden ist. Bei der Bewegung eines starren Körpers hat man also diese sechs Grössen als die Variabeln $\ q$ zu nehmen.

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1. *) Théorie des attractions des Sphéroïdes et de la figure des Planètes. Par M. de la Place. (Histoire de l’Académie des Sciences 1782.)
2. **) Bulletin de la société philomatique. Tome 3, Page 368. - Ferner: Poisson. Mémoire sur la théorie du magnétisme en mouvement. (Mémoires de l’Académie royale des Sciences de l’Institut de France. Tome 6, Page 463.) - Mémoire sur l’attraction des sphéroïdes. (Connaissance des temps. 1829. Page 360.)
3. *) Commentationes Societ. reg. Gotting, recent. Vol. 2. Gottingae 1813. – Carl Friedrich Gauss’ Werke. Bd. 5. Göttingen 1867.
4. **) Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins im Jahre 1839. Herausgegeben von Gauss und Weber. Leipzig 1840. – Gauss’ Werke. Bd. 5. Göttingen 1867.
5. *) Allgemeine Lehrsätze etc. Art. 22.
6. *) Gauss. Allgemeine Lehrsätze etc. Art. 15. 16.
7. *) An essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism.
8. WS: Der letzte Term muss $\left(1+{\frac {s}{c^{2}}}\right)$ lauten.
9. WS: Fehler korrigiert. Im Original: Intetegrationsgrenzen.
10. *) Ueber diesen Satz vergleiche man die Abhandlung von Gauss: Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum. In dem Artikel 1 findet man auch die Geschichte des Problems.
11. *) Man vergleiche auch: Ivory. (Philosophical Transactions. 1809.) Dirichlet. (Abhandlungen der Berliner Akademie. 1839.)
12. WS: Sollte ${\frac {\partial ^{2}m}{\partial z^{2}}}=$ lauten.
13. WS: Sollte $\varphi '\,$ lauten.
14. *) Dirichlet. Ueber einen neuen Ausdruck zur Bestimmung der Dichtigkeit einer unendlich dünnen Kugelschale, wenn der Werth des Potentials in jedem Punkte der Oberfläche gegeben ist. (Abhandlungen der K. Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1850. Seite 99.)
15. *) Green. An essay on the application etc. Art. 5. (Crelle, Bd. 44, S. 366, 367.) „To convince ourselves that there does exist a function as we have supposed U to be, conceive the surface to be a perfect conductor put in communication with the earth and a unit of positive electricity to be concentrated in the point p', then the total potential function arising from p' and from the electricity it will induce upon the surface, will be the required value of U.“
16. **) Allgemeine Lehrsätze etc. Art. 31 bis 34.
17. *) In seinen Vorlesungen über die dem umgekehrten Quadrat der Entfernung proportional wirkenden Kräfte.
18. *) Man vergleiche die Abhandlung von Dirichlet: Sur un moyen général de vérifier l'expression du potentiel relatif à une masse quelconque, homogène ou hétérogène, (Crelle. Journal, Bd. 32. S. 80.)