Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 9.

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§. 9. Die zweiten Derivirten von $V\,$ für einen inneren Punkt.

 Nun ist es leicht, die zweiten partiellen Derivirten ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}},{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ in einer Form herzustellen, die bestimmte endliche Werthe liefert, der angezogene Punkt mag ausserhalb oder innerhalb der anziehenden Masse liegen. Man erhält

(1)

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=\int {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x}}\rho \;\cos \alpha \;d\sigma +\iiint {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x}}{\frac {\partial \rho }{\partial a}}da\;db\;dc,$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}=\int {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial y}}\rho \;\cos \beta \;d\sigma +\iiint {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial y}}{\frac {\partial \rho }{\partial b}}da\;db\;dc,$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=\int {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial z}}\rho \;\cos \gamma \;d\sigma +\iiint {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial z}}{\frac {\partial \rho }{\partial c}}da\;db\;dc.$

Diese Ausdrücke gehen durch Differentiation aus den Gleichungen (2) des vorigen Paragraphen hervor. Auf der rechten Seite ist die Differentiation unter dem Integralzeichen vorgenommen. Das darf geschehen, weil die Integrale, die daraus hervorgehen, durchaus bestimmte, endliche Werthe besitzen. Bei den über die Oberfläche ausgedehnten Integralen auf der rechten Seite der Gleichungen (1) sind nemlich sämmtliche Elemente unendlich klein wie $d\sigma \,$, weil wir den angezogenen Punkt ausserhalb oder innerhalb der anziehenden Masse in endlicher, wenn auch noch so kleiner, Entfernung von der Oberfläche voraussetzen. Dass die sämmtlichen Elemente der dreifachen Integrale unendlich klein von dritter Ordnung sind, erkennt man ohne weiteres, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb der anziehenden Masse liegt. Für einen inneren Punkt beweist man es auf dem in §. 6 vorgezeichneten Wege.

 Legt man den Punkt $(x,\,y,\,z)$ in die Oberfläche des anziehenden Körpers, so behalten die Integrale, durch welche die Function $V\,$ und ihre ersten Derivirten ausgedrückt sind, bestimmte, endliche Werthe. Anders ist es aber mit den Integralen auf der rechten Seite der eben hergestellten Gleichungen (1). Die dreifachen Integrale haben zwar auch jetzt noch bestimmte, endliche Werthe. Aber die über die Oberfläche ausgedehnnten Integrale verlieren alle Bedeutung. Soll also von den Derivirten ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}},{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ die Rede sein für einen Punkt $(x,\,y,\,z)$ in der Oberfläche des anziehenden Körpers, so ist darüber noch eine besondere Untersuchung anzustellen.

 Die Transformation, welche zu den Gleichungen (2) des vorigen Paragraphen geführt hat und also auch für die Gleichungen (1) dieses Paragraphen die Grundlage bildet, ist nur dann zulässig, wenn die Dichtigkeit $\rho \,$ der anziehenden Masse eine durchweg stetige Function des Ortes ist. Es kann aber auch der Fall eintreten, dass der anziehende Körper aus einzelnen Bestandtheilen zusammengesetzt ist, so dass in jedem von ihnen die Dichtigkeit endlich und stetig variabel ist, aber beim Uebergange aus einem Bestandtheile in den andern sich sprungweise ändert. Die Trennungsflächen der einzelnen Bestandtheile sind dann Unstetigkeitsstellen der Dichtigkeit. Wir betrachten nun einen Punkt im Innern des anziehenden Körpers. Es ist zu unterscheiden, ob er in endlicher, wenn auch noch so kleiner, Entfernung von den Unstetigkeitsstellen sich befindet oder ob er in eine solche Stelle hineinfällt. Im ersten Falle kann man die anziehende Masse in zwei Bestandtheile zerlegen. Der erste Bestandtheil wird so gewählt, dass er den angezogenen Punkt $(x,\,y,\,z)$ in sich enthält, aber keine Unstetigkeits- stelle der Dichtigkeit, und dass der Punkt $(x,\,y,\,z)$ nicht in die Begrenzung dieses Bestandtheils fällt. Was nach Ausschluss des ersten Bestandtheils an Masse noch übrig ist, bildet den zweiten Bestandtheil. Er enthält alle Stellen, an denen die Dichtigkeit sich sprungweise ändert. Dem entsprechend zerfällt auch die Potentialfunction $V\,$ in zwei Bestandtheile

$V=V_{1}+V_{2},\,$

so dass $V_{1}\,$ nur von dem ersten, $V_{2}\,$ nur von dem zweiten Bestandtheile der anziehenden Masse herrührt. Für den ersten Bestandtheil der Masse ist die Zulässigkeits-Bedingung der Transformation erfüllt. Die Function $V_{1}\,$, ihre ersten und ihre zweiten Derivirten können also durch die Gleichung (4) des §. 6, die Gleichungen (2) des §. 8 und resp. die Gleichungen (1) des §. 9 ausgedrückt werden. Für den zweiten Bestandtheil der anziehenden Masse ist der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ein äusserer Punkt. Die Function $V_{2}\,$ und ihre Derivirten der ersten und der zweiten Ordnung werden demnach durch die Gleichungen (5) und (4) des §. 2 und resp. die Gleichungen (1) des §. 3 unzweideutig ausgedrückt. Folglich haben auch die Function $V\,$ und ihre partiellen Derivirten der ersten und der zweiten Ordnung bestimmte, angebbare, endliche Werthe fur jede Lage des inneren Punktes $(x,\,y,\,z)$, in welcher er in endlicher, wenn auch noch so kleiner, Entfernung von den Unstetigkeitsstellen der Dichtigkeit bleibt.

 Fällt aber der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in eine Unstetigkeitsstelle der Dichtigkeit, so behalten zwar die Function $V\,$ und ihre ersten Derivirten bestimmte, endliche Werthe. Aber die Ausdrücke für die zweiten Derivirten sind unbestimmt. Denn es ist in diesem Falle nicht möglich, um den Punkt herum einen Raum abzugrenzen, für welchen die Transformation des §. 8 zulässig wäre. Die Integrale auf der rechten Seite der Gleichungen (1) des §. 3 oder der Gleichungen (1) des §. 9 sind dann ohne alle Bedeutung.

 Handelt es sich also um die Werthe der zweiten Derivirten ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}},{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ für den Fall, dass der angezogene Punkt in eine Unstetigkeitsstelle der Dichtigkeit hineinfällt, so ist jedenfalls noch eine besondere Untersuchung anzustellen.

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