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§. 46.
Fortsetzung: Lösung der Aufgabe.
Wir wollen mit
die constanten Werthe bezeichnen,
welche nach eingetretenem Gleichgewichtszustande die
Potentialfunction
im Innern und auf der Oberfläche der einzelnen Leiter besitzt. Die Grössen
stehen mit den
Grössen
in einem Zusammenhange, der jetzt näher
untersucht werden soll. Zu dem Ende ist es zweckmässig, die
Potentialfunction
in folgender Weise in einzelne Bestandtheile zu zerlegen.
Es sei
eine Function von
die im ganzen unendlichen
Raume der Gleichung von Laplace Genüge leistet:
(1)
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die in der Oberfläche und im Innern des
ten Leiters den Werth 1,
in der Oberfläche und im Innern aller übrigen Leiter den Werth 0
besitzt. Wir nehmen
der Reihe nach
und
stellen so die
Functionen
her. Dann ist die Differenz
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eine Function, die in der Oberfläche und im Innern sämmtlicher Leiter den Werth Null hat, die überall ausserhalb der Isolatoren
|[185]der Gleichung von Laplace genügt und für einen Punkt im
Innern eines Isolators in derselben Weise wie die Potentialfunction
die Dichtigkeit der Elektricität kundgibt. Wir haben dann also
(2)
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und hieraus
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Nehmen wir nun das Integral
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ausgedehnt über die Oberfläche des
ten Leiters, und setzen zur
Abkürzung
(3)
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(4)
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so gehen die Gleichungen (9) des vorigen Paragraphen in folgende über:
(5)
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Die physikalische Bedeutung dieser Gleichungen ist leicht zu erkennen. Wird ein Leiter durch einen unendlich dünnen Draht mit der Erde in leitende Verbindung gesetzt, so ist in seiner
Oberfläche und in seinem Innern die Potentialfunction gleich Null,
weil sie in der Erde (in unendlicher Entfernung) den Werth Null
hat. Nehmen wir also den Fall, dass in den Isolatoren keine
Elektricität vorhanden und dass alle Leiter, mit Ausnahme des
ten, mit der Erde in leitende Verbindung gesetzt sind, so reducirt
sich die Potentialfunction auf
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und die auf den einzelnen Leitern vorhandenen Elektricitätsmengen
sind resp.
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Ebenso findet sich, dass
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|[186]die Elektricitätsmengen auf den einzelnen Leitern sein würden,
wenn alle ableitend berührt sind und nur die Ladungen der Isolatoren
wirken.
Es lässt sich beweisen, dass
ist. Nehmen wir nemlich das Integral
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ausgedehnt über sämmtliche Leiter-Oberflächen, so ist der Werth desselben nach dem Satze von Green gleich Null. Das Integral
reducirt sich aber wegen der Eigenschaften der Functionen
auf die Differenz
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wobei das erste Integral nur über die Oberfläche des
ten, das
zweite nur über die Oberfläche des
ten Leiters zu erstrecken ist. Demnach haben wir
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oder
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d. h. nach Gleichung (3):
(6)
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Lösen wir die Gleichungen (5) in Beziehung auf
als Unbekannte auf, so ergibt sich
(7)
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Die Coefficienten
genügen in Folge der Gleichung (6) den
Bedingungen, dass
(8)
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