Benutzer:ThomasKloiber/Projekte/Schwere, Elektricität und Magnetismus/test7

{{Bernhard Riemann - Schwere, Elektricität und Magnetismus|020|021|022|SEITE=7|fertig}}

Die Potentialfunction.

 Die dreifache Integration erstreckt sich auf alle Werthen-Combinationen $a,\,b,\,c$, für welche

$W\leq 0\,$

ist.

§. 2. Die Potentialfunction.

 Wir wollen der Einfachheit wegen $\mu =1\,$ und $k=1\,$ setzen. In dem angezogenen Punkte $(x,\,y,\,z)$ soll also die Masseneinheit sich befinden, und das Maass der Kraft ist so gewählt, dass zwei Masseneinheiten in der Einheit der Entfernung sich mit der Einheit der Kraft anziehen.

 Sind die anziehenden Massen in einzelnen getrennt liegenden Punkten concentrirt, so hat man für die Componenten der auf den Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausgeübten Kraft die Ausdrücke:

(1)	$X=\sum {\frac {m(a-x)}{r^{3}}},\,$ $Y=\sum {\frac {m(b-y)}{r^{3}}},\,$ $Z=\sum {\frac {m(c-z)}{r^{3}}}.\,$

Das Zeichen $\sum \,$ ist so zu verstehen, dass der dahinter stehende Ausdruck der Reihe nach für jeden einzelnen anziehenden Massenpunkt gebildet und dann die Summirung der sämmtlichen entstehenden Werthe vorgenommen werden soll. Die Gleichungen (1) zeigen, dass $X,\,Y,\,Z$ Functionen von den Coordinaten $x,\,y,\,z$ des Punktes sind, in welchem die angezogene Masse sich befindet. Lagrange hat bemerkt, dass diese Functionen $X,\,Y,\,Z$ sich ausdrücken lassen als die partiellen Derivirten einer einzigen Function von $x,\,y,\,z$. Es ist nemlich

${\frac {\partial r}{\partial x}}=-{\frac {a-x}{r}},\qquad {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x}}={\frac {a-x}{r^{3}}},\,$ ${\frac {\partial r}{\partial y}}=-{\frac {b-y}{r}},\qquad {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial y}}={\frac {b-y}{r^{3}}},\,$ ${\frac {\partial r}{\partial z}}=-{\frac {c-z}{r}},\qquad {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial z}}={\frac {c-z}{r^{3}}}.\,$