Benutzer:ThomasKloiber/Projekte/Schwere, Elektricität und Magnetismus/Zusammenstellung

Erster Abschnitt.

Die Potentialfunction.

(2)	$r={\sqrt {(a-x)^{2}+(b-y)^{2}+(c-z)^{2}}},\,$

und die von dem Punkte $(x,\,y,\,z)$ nach dem Punkte $(a,\,b,\,c)$ gerichtete gerade Linie von der Länge $r\,$ schliesst mit den positiven Coordinatenaxen Winkel ein, deren Cosinus die Werthe haben

(3)	$\cos(rx)={\frac {a-x}{r}},\,$ $\cos(ry)={\frac {b-y}{r}},\,$ $\cos(rz)={\frac {c-z}{r}}.\,$

 Die Kraft, mit welcher die Masse $\mu \,$ von der Masse $m\,$ angezogen wird, ist von dem Punkte $(x,\,y,\,z)$ nach dem Punkte $(a,\,b,\,c)$ hin gerichtet. Die Componenten dieser Kraft parallel den Coordinatenaxen sind demnach resp.

(4)	$k\mu \cdot {\frac {m}{r^{2}}}\cdot {\frac {a-x}{r}},\,$ $k\mu \cdot {\frac {m}{r^{2}}}\cdot {\frac {b-y}{r}},\,$ $k\mu \cdot {\frac {m}{r^{2}}}\cdot {\frac {c-z}{r}}.\,$

 Es werde ferner die Masse $\mu \,$ von mehreren Massen $m_{1},\,m_{2},\,m_{3},\,\ldots \,m_{n}$ angezogen. Irgend eine dieser anziehenden Massen werde mit $m_{i}\,$ bezeichnet. Sie sei im Punkte $(a_{i},\,b_{i},\,c_{i})$ concentrirt. Der Abstand $r_{i}\,$ dieses Punktes von dem Punkte $(x,\,y,\,z)$ findet sich, indem man in (2) an die Stelle von $a,\,b,\,c$ resp. $a_{i},\,b_{i},\,c_{i}$ setzt. Die Masse $m_{i}\,$ übt auf die Masse $\mu \,$ eine Anziehung aus, deren Componenten aus (4) hervorgehen, wenn man dort den Grössen $m,\,a,\,b,\,c,\,r$ den Index $i\,$ gibt. Wird dann für $i\,$ der Reihe nach $1,\,2,\,3,\,\ldots \,n$ gesetzt, so ergeben sich die Componenten der einzelnen Kräfte, mit welchen die Masse $\mu \,$ resp. von den Massen $m_{1},\,m_{2},\,m_{3},\,\ldots \,m_{n}$ angezogen wird. Alle diese Componenten greifen im Punkte $(x,\,y,\,z)$ an. Handelt es sich um die Gesammtwirkung, so hat man nur die gleichnamigen Componenten zu summiren. Die Masse $\mu \,$ wird also durch eine Gesammtkraft $\,P$ in Anspruch genommen, deren Componenten parallel den Coordinatenaxen sich berechnen:

(5)	$X=k\mu \sum _{i=1}^{n}{\frac {m_{i}(a_{i}-x)}{r_{i}^{3}}},$ $Y=k\mu \sum _{i=1}^{n}{\frac {m_{i}(b_{i}-y)}{r_{i}^{3}}},$ $Z=k\mu \sum _{i=1}^{n}{\frac {m_{i}(c_{i}-z)}{r_{i}^{3}}}.$

 Die Gesammtkraft $P\,$ selbst ist

(6)	$P={\sqrt {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}.$

 Sie greift im Punkte $(x,\,y,\,z)$ an, und ihre Richtung schliesst mit den positiven Coordinatenaxen Winkel ein, deren Cosinus die Werthe haben

(7)	${\frac {X}{P}},\ {\frac {Y}{P}},\ {\frac {Z}{P}}.$

 Von besonderer Wichtigkeit ist der Fall, dass die Anziehung nicht von einzelnen getrennt liegenden Massenpunkten ausgeübt wird, sondern von den sämmtlichen Molekülen eines physischen Körpers. Dann ist ein Raum von endlichem Volumen mit einer Masse von endlicher Grösse erfüllt, ein unendlich kleines Raumelement mit einer unendlich kleinen Masse. Dagegen enthalten Punkte, Linien und Flächen keine anziehende Masse. In diesem Falle treten in den Ausdrücken (5) Integrale an die Stelle der Summen. Wir betrachten im Innern des Raumes, welchen die anziehende Masse

Fig. 2.

erfüllt, ein unendlich kleines Parallelepipedon (Fig. 2), dessen Kanten den Coordinatenaxen parallel laufen. Der dem Anfangspunkte der Coordinaten zunächst gelegene Eckpunkt habe die Coordinaten $a,\,b,\,c$. Die Länge der von ihm ausgehenden Kanten sei resp. $da,\,db,\,dc$. Die Masse dieses Parallelepipedon ist unendlich klein. Wir bezeichnen sie mit $dm\,$. Da alle drei Dimensionen des Parallelepipedon unendlich klein sind, so darf man seine Masse als in einem Punkte desselben concentrirt ansehen, z. B. in dem Eckpunkte $(a,\,b,\,c)$. Der Factor $\rho \,$, mit welchem man das Volumen

des Parallelepipedon $da\,db\,dc\,$ multipliciren muss, um seine Masse $dm\,$ zu erhalten, wird die Dichtigkeit genannt, und zwar die Dichtigkeit im Punkte $(a,\,b,\,c)$. Im allgemeinen ändert sich die Dichtigkeit, wenn der Punkt $(a,\,b,\,c)$ an eine andere Stelle rückt. Es ist also $\rho \,$ eine Function des Ortes

(8)	$\rho =f(a,\,b,\,c).$

Wenn nichts anderes ausdrücklich festgesetzt wird, soll diese Function im Innern des anziehenden Körpers überall endlich und stetig variabel sein. Ausserhalb des anziehenden Körpers ist sie Null. Die Masse des betrachteten Parallelepipedon ist

$dm=\rho \;da\;db\;dc.$

Sie übt auf die im Punkte $(x,\,y,\,z)$ befindliche Masse $\mu \,$ eine Anziehung aus

$=k\mu \,{\frac {\rho \;da\;db\;dc}{r^{2}}},\,$

deren Componenten parallel den Coordinatenaxen die Werthe haben

$k\mu \,{\frac {(a-x)\;\rho \;da\;db\;dc}{r^{3}}},\,$ $k\mu \,{\frac {(b-y)\;\rho \;da\;db\;dc}{r^{3}}},\,$ $k\mu \,{\frac {(c-z)\;\rho \;da\;db\;dc}{r^{3}}}.\,$

 Die Oberfläche des anziehenden Körpers werde ausgedrückt durch die Gleichung

(9)

$W=0,\,$

wobei $W\,$ eine Function von $a,\,b,\,c$ bezeichnet. Diese Function habe negative oder positive Werthe, je nachdem der Punkt $(a,\,b,\,c)$ im Innern oder ausserhalb des anziehenden Körpers liegt. Die Componenten der Gesammtanziehung, welche auf die Masse $\mu \,$ ausgeübt wird, sind

(10)	${\begin{aligned}X&=k\mu \iiint {\frac {(a-x)\;\rho \;da\;db\;dc}{r^{3}}},\\Y&=k\mu \iiint {\frac {(b-y)\;\rho \;da\;db\;dc}{r^{3}}},\\Z&=k\mu \iiint {\frac {(c-z)\;\rho \;da\;db\;dc}{r^{3}}}.\end{aligned}}$

 Die dreifache Integration erstreckt sich auf alle Werthen-Combinationen $a,\,b,\,c$, für welche

$W\leq 0\,$

ist.

Wenn also die anziehenden Massen in einzelnen getrennt liegenden Punkten concentrirt sind, so hat man

$X=\sum m\,{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x}},\,$ $Y=\sum m\,{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial y}},\,$ $Z=\sum m\,{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial z}}.\,$

Wir bezeichnen mit $V\,$ die Function

(2)	$V=\sum {\frac {m}{r}}.\,$

Dann zeigt sich, dass $X,\,Y,\,Z$ die partiellen Derivirten von $V\,$ sind:

(3)	$X=\,{\frac {\partial V}{\partial x}},\,$ $Y=\,{\frac {\partial V}{\partial y}},\,$ $Z=\,{\frac {\partial V}{\partial z}}.\,$

Die Function $V\,$ und ihre ersten Derivirten sind endlich und stetig variabel, so lange der angezogene Punkt $(x,\,y,\,z)$ in endlicher, wenn auch noch so kleiner, Entfernung von jedem der anziehenden Massenpunkte sich befindet. Fällt er in einen dieser Punkte hinein, so wird in (1) und in (2) einer der Summanden unendlich gross. Die Function $V\,$ wird dann also unendlich wie ${\frac {1}{r}}$, und ihre ersten Derivirten werden unendlich wie ${\frac {1}{r^{3}}}$.

 Wenn die anziehende Masse einen körperlichen Raum stetig ausfüllt, so lauten die Ausdrücke für die Componenten der Anziehung:

(4)	$X=\iiint {\frac {a-x}{r^{3}}}\rho \;da\;db\;dc,\,$ $Y=\iiint {\frac {b-y}{r^{3}}}\rho \;da\;db\;dc,\,$ $Z=\iiint {\frac {c-z}{r^{3}}}\rho \;da\;db\;dc.\,$

Auch hier sind $\,X,\,Y,\,Z$ die partiellen Derivirten einer Function $V\,$, und es gelten die Gleichungen (3). Die Function $V\,$ ist aber in diesem Falle

(5)	$V=\iiint {\frac {\rho \;da\;db\;dc}{r}}.\,$

Die Grenzen der Integration in (4) und (5) sind dieselben wie in den Ausdrücken (10) des vorigen Paragraphen.

 Die Function $V\,$, welche durch die Gleichung (2), resp. durch die Gleichung (5) definirt wird, nennt man die Potentialfunction des anziehenden Massensystems auf den angezogenen Punkt.

 Es ist nun leicht, den Satz in Worte zu fassen, der sich in den Gleichungen (3) ausspricht. Er lautet:

 Soll die Componente der Anziehung in der Richtung einer der Coordinatenaxen berechnet werden, so hat man den angezogenen Punkt in dieser Richtung um eine unendlich kleine Strecke zu verschieben und die daraus hervorgehende Aenderung der Potentialfunction durch die Grösse der Verschiebung zu dividiren. Der Quotient ist die gesuchte Componente.

 Bisher ist über die Lage des Coordinatensystems keine besondere Voraussetzung gemacht. Man kann die Axen legen, wie man will. Handelt es sich also um die Componente der Anziehung in irgend einer Richtung, so braucht man nur ein Coordinatensystem zu Hülfe zu nehmen, von welchem eine Axe dieser Richtung parallel gelegt ist. Auf diese Weise gelangt man zu dem erweiterten Satze:

 Soll die Componente der Anziehung in irgend einer Richtung berechnet werden, so hat man den angezogenen Punkt in dieser Richtung um eine unendlich kleine Strecke zu verschieben und die daraus hervor- gehende Aenderung der Potentialfunction durch die Grösse der Verschiebung zu dividiren. Der Quotient ist die gesuchte Componente.

 Der Fall, dass die anziehende Masse in einzelnen getrennt liegenden Punkten concentrirt ist, wird in der Folge nur ausnahmsweise vorkommen. Bis auf weiteres halten wir die Voraussetzung fest, dass sie einen körperlichen Raum stetig ausfüllt.

rivirten. Ebenso sind die Functionen $V,\,X,\,Y,\,Z\,$ des vorigen Paragraphen [Gleichungen (4) und (5)] endliche und stetig veränderliche Functionen von $(x,\,y,\,z)\,$. Sollen von der Function $V\,$ die ersten Derivirten nach $x\,$, nach $y\,$, nach $z\,$ gebildet werden, so darf man die Differentiation unter dem Integralzeichen vornehmen, weil ihr Resultat einen durchaus bestimmten endlichen Werth hat. Darauf beruht die Gültigkeit der Gleichungen (3) des vorigen Paragraphen. Auch die Herstellung der zweiten Derivirten und aller Derivirten höherer Ordnung kann durch Differentiation unter dem Integralzeichen ausgeführt werden, weil die Resultate dieser Differentiation bestimmte endliche Werthe haben, die bei einer stetigen Verschiebung des Punktes $(x,\,y,\,z)\,$ sich ebenfalls stetig ändern.

 Wenn aber der Punkt $(x,\,y,\,z)\!$ im Innern der anziehenden Masse liegt, so behalten zwar, wie später (§§. 6. 10.) gezeigt werden soll, die durch die Gleichungen (4) und (5) des §. 2 definirten Functionen $V,\,X,\,Y,\,Z\,$ bestimmte endliche Werthe, und es gelten deshalb auch noch die Gleichungen (3) desselben Paragraphen. Aber die Integrale auf der rechten Seite der Gleichungen (1) des gegenwärtigen Paragraphen haben dann gar keine Bedeutung, weil in einem Element der Integration ein unendlich grosser Factor auftritt. Liegt also der angezogene Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ im Innern der anziehenden Masse, so sind die Gleichungen (1) nicht gültig und ebenso wenig die Gleichung (2). Für diesen Fall ist vielmehr eine besondere Untersuchung anzustellen.

rentialgleichung (2) des vorigen Paragraphen vereinfacht sich zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung.

 Es ist

(1)	$s^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\$

und

(2)	$V=F(s).\,$

 Daraus findet man durch Differentiation

${\frac {\partial V}{\partial x}}={\frac {dV}{ds}}\cdot {\frac {\partial s}{\partial x}}$

und

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}={\frac {d^{2}V}{ds^{2}}}\left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {dV}{ds}}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}.\,$

 Berechnet man in derselben Weise ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}$ und ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$, so ergibt sich durch Addition

(3)

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ $={\frac {d^{2}V}{ds^{2}}}\left\lbrace \left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial z}}\right)^{2}\right\rbrace$ $+{\frac {dV}{ds}}\left\lbrace {\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}s}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}s}{\partial z^{2}}}\right\rbrace .$

 Die partiellen Derivirten von $s\,$ sind aus der Gleichung (1) herzuleiten. Man erhält

$s{\frac {\partial s}{\partial x}}=x,\quad \left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right)^{2}+s{\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}=1,$ $s{\frac {\partial s}{\partial y}}=y,\quad \left({\frac {\partial s}{\partial y}}\right)^{2}+s{\frac {\partial ^{2}s}{\partial y^{2}}}=1,$ $s{\frac {\partial s}{\partial z}}=z,\quad \left({\frac {\partial s}{\partial z}}\right)^{2}+s{\frac {\partial ^{2}s}{\partial z^{2}}}=1.$

 Hiernach ergibt sich ohne weiteres

$\left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial z}}\right)^{2}=1,$ ${\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}s}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}s}{\partial z^{2}}}={\frac {2}{s}}.\,$

 Setzt man diese Werthe in die Gleichung (3) ein, so geht sie über in folgende

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}={\frac {d^{2}V}{ds^{2}}}+{\frac {2}{s}}{\frac {dV}{ds}}.$

 Die Gleichung von Laplace lautet demnach hier

(4)	${\frac {d^{2}V}{ds^{2}}}+{\frac {2}{s}}{\frac {dV}{ds}}=0.\,$

 Dividirt man auf beiden Seiten dieser Differentialgleichung durch ${\frac {dV}{ds}}$, so lässt eine Integration sich ausführen. Sie ergibt

$\lg {\frac {dV}{ds}}+2\lg s=\lg {\text{const.}}\,$

oder, was auf dasselbe hinauskommt:

(5)	${\frac {dV}{ds}}={\frac {\text{const.}}{s^{2}}}=-{\frac {\alpha }{s^{2}}}.$

Dabei ist mit $-\alpha \,$ die willkürliche Integrationsconstante bezeichnet. Die Gleichung (5) lässt sich unmittelbar weiter integriren. Man erhält

(6 )	$V={\frac {\alpha }{s}}+\beta ,$

wobei unter $\beta \,$ eine neue Integrationsconstante verstanden ist.

 Die Gleichung (6), welche zwei willkürliche Constanten $\alpha \,$ und $\beta \,$ enthält, ist das vollständige Integral der Differentialgleichung (4). Es kommt nur noch darauf an, den Grössen $\alpha \,$ und $\beta \,$ solche Werthe beizulegen, wie das vorliegende Problem sie erfordert. Dabei ist zu unterscheiden, ob die angezogene Masseneinheit in einem Punkte des inneren Hohlraumes sich befindet, oder in dem von anziehender Masse nicht erfüllten Raume ausserhalb.

 Die Begrenzungsflächen der anziehenden Masse seien ausgedrückt durch die Gleichungen

$s=p\,$ und resp. $s=q\,$,

und es sei $q>p\,$.

 Erstens. Die angezogene Masseneinheit befinde sich in einem Punkte des inneren Hohlraumes, also in einem Punkte, für welchen $s<p\,$ ist. In diesem Falle berechnen wir zunächst direct die Anziehung, welche die Masseneinheit im Anfangspunkte der Coordinaten erfährt. Zu dem Zwecke denken wir uns die Kugelschale, welche die anziehende Masse enthält, in unendlich dünne Elementarschalen zerlegt. Eine solche, deren Begrenzungsflächen die Radien $s\,$ und $s+ds\,$ haben, kann als ein Cylinder mit der kugel- förmigen Basis $4s^{2}\pi \,$ und der Höhe $ds\,$ angesehen werden. Ihre Masse ist also

$4\rho \pi s^{2}ds.\,$

Dividirt man durch $s\,$, so ergibt sich die Potentialfunction der Elementarschale auf den Anfangspunkt der Coordinaten. Um die Potentialfunction der gesammten anziehenden Masse zu erhalten, hat man in Beziehung auf $s\,$ zwischen den Grenzen $p\,$ und $q\,$ zu integriren. Diese ist demnach

(7)	$V_{0}=4\pi \int \limits _{p}^{q}\rho sds.\,$

Das Integral hat einen endlichen Werth, wenn die Dichtigkeit, wie wir voraussetzen, an keiner Stelle unendlich gross ist.

 Soll auf der anderen Seite $V_{0}\,$ aus dem vollständigen Integral (6) berechnet werden, so hat man dort $s=0\,$ zu setzen. Dadurch würde aber $V_{0}\,$ unendlich gross werden, wenn nicht in (6) die Constante $\alpha =0\,$ gesetzt wird. Und da, wie bewiesen, $V_{0}\,$ nicht unendlich gross ist, so muss $\alpha =0\,$ sein. Hierdurch geht die Gleichung (6) über in

(8)	$V=\beta .\,$

Die Potentialfunction auf einen Punkt im inneren Hohlraume ist also constant, und da ihr Werth für den Anfangspunkt bereits berechnet ist, so hat man überhaupt für jeden Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ im inneren Hohlraume

(9)	$V=4\pi \int \limits _{p}^{q}\rho sds.$

 Ist die Dichtigkeit $\rho \,$ constant, so ergibt sich speciell

(10)	$V=2\pi \rho (q^{2}-p^{2}).\,$

 Die Derivirten von $V\,$ sind gleich Null. Die Kugelschale übt also auf einen Punkt im inneren Hohlraume gar keine Anziehung aus.

 Zweitens. Die angezogene Masseneinheit befinde sich in einem Punkte des äusseren Raumes, d. h. in einem Punkte, für welchen $s>q\,$ ist.

 In diesem Falle ist der Werth leicht zu bestimmen, den $V\,$ annimmt für $s=\infty$. Wenn nemlich wie hier kein Theil der an- ziehenden Masse in unendlicher Entfernung liegt, so ergibt sich unmittelbar aus der Definition [§. 2, Gleichung (5)], dass $V=0\,$ ist für $s=\infty$. Folglich ist jetzt $\beta =0\,$. Um $\alpha \,$ zu bestimmen, stellen wir folgende Betrachtung an.

 Der angezogene Punkt, welcher vom Anfangspunkte der Coordinaten um die Strecke $s\,$ entfernt ist, hat von den einzelnen Punkten der Kugelschale verschiedene Abstände. Der grösste Abstand ist $s+q\,$, der kleinste $s-q\,$. Man hat also die doppelte Ungleichung

${\frac {1}{s-q}}>{\frac {1}{r}}>{\frac {1}{s+q}}.\,$

Wir multipliciren an allen drei Stellen mit $\rho \;da\;db\;dc$ und integriren über die gesammte anziehende Masse. An der mittleren Stelle ist das Resultat $=V\,$. An den beiden äusseren Stellen kann man die Nenner $s-q\,$ und $s+q\,$, die bei der Integration constant bleiben, vor das Integralzeichen nehmen. Beachtet man also, dass

$\iiint \rho \;da\;db\;dc=M,$

d. h. gleich der gesammten anziehenden Masse ist, so ergibt sich

${\frac {M}{s-q}}>V>{\frac {M}{s+q}}.\,$

Nun ist aber $V={\frac {\alpha }{s}}$, folglich

${\frac {M}{1-{\frac {q}{s}}}}>{\frac {\alpha }{M}}>{\frac {M}{1+{\frac {q}{s}}}}.$

Diese Ungleichung gilt für jedes $s\,$, das grösser als $q\,$ ist, also auch für $s=\infty$. Sie geht aber für $s=\infty$ über in die Gleichung

${\frac {\alpha }{M}}=1.\,$

Folglich ist die Potentialfunction der Kugelschale von der Masse $M\,$ in Beziehung auf einen Punkt im äusseren Raume

(11)	$V={\frac {M}{s}}.$

 In der Richtung des Radius vector wirkt die Kraft

$-{\frac {M}{s^{2}}},$

und in jeder Richtung, die zum Radius vector rechtwinklig liegt $(s=\mathrm {const} .)\,$, ist die Componente gleich Null.

 Demnach fällt die gesammte Kraft, welche die Kugelschale auf einen Punkt im äusseren Raume ausübt, in die Richtung des Radius vector, und da sie negativ ist, in die Richtung des abnehmenden Radius vector. Es ist also eine anziehende Kraft, und zwar dieselbe, die sich ergeben würde, wenn die gesammte anziehende Masse in dem Mittelpunkte der die Schale begrenzenden Kugelflächen concentrirt wäre.

 Die Gleichung (11) behält für einen Punkt im äusseren Raume ihre Gültigkeit auch für $p=0\,$, d. h. wenn die anziehende Masse eine volle Kugel ist.

${\frac {4}{3}}\pi \rho s^{2}.\,$

Für die Kugelschale liegt der angezogene Punkt im inneren Hohlraume, speciell auf der inneren Begrenzung. Folglich ist die Potentialfunction nach §. 4, Gleichung (10) zu berechnen und $s\,$ an die Stelle von $p\,$ zu schreiben.

 Die Potentialfunction der gesammten anziehenden Kugel vom Radius $q\,$ auf einen inneren Punkt $(s<q)\,$ ist also

$V={\frac {4}{3}}\pi \rho s^{2}+2\pi \rho (q^{2}-s^{2})\,$

oder kürzer

(1)	$V=2\pi \rho q^{2}-{\frac {2}{3}}\pi \rho s^{2}.\,$

 Dagegen ist die Potentialfunction derselben kugelförmigen Masse auf einen äusseren Punkt $(s>q)\,$

(2)	$V={\frac {4\pi \;\rho \;q^{3}}{3s}},\,$

wie sich unmittelbar aus §. 4, Gleichung (11) ergibt. Der Ausdruck für $V\,$ ist also durchaus verschieden, je nachdem der angezogene Punkt innerhalb oder ausserhalb der anziehenden Kugel liegt. Ebenso weichen auch die Ausdrücke für die ersten Derivirten ab. Denn es ist für $s<q\,$:

(3)

${\frac {\partial \;V}{\partial x}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;s{\frac {\partial s}{\partial x}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;x,$ ${\frac {\partial \;V}{\partial y}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;s{\frac {\partial s}{\partial y}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;y,$ ${\frac {\partial \;V}{\partial z}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;s{\frac {\partial s}{\partial z}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;z.$

 Dagegen hat man für $s<q\,$:

(4)	${\frac {\partial \;V}{\partial x}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;\;q^{3}{\frac {x}{s^{3}}},$ ${\frac {\partial \;V}{\partial y}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;\;q^{3}{\frac {y}{s^{3}}},$ ${\frac {\partial \;V}{\partial z}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;\;q^{3}{\frac {z}{s^{3}}}.$

 Es ist nicht überflüssig zu bemerken, dass für $s=q\,$ die beiden Ausdrücke für $V\,$ in (1) und (2) denselben Werth geben, und ebenso die Ausdrücke für die gleichnamigen Derivirten in (3) und in (4). Obgleich also die Function $V\,$ durch zwei ganz verschiedene analytische Ausdrücke dargestellt wird, je nachdem der Punkt $(x,\,y,\,z)$ innerhalb oder ausserhalb der anziehenden Masse liegt, so hat sie doch überall einen endlichen Werth, der sich stetig ändert, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ sich stetig bewegt, auch dann noch, wenn er durch die Oberfläche der anziehenden Masse hindurchgeht. Dasselbe gilt von den ersten Derivirten ${\frac {\partial \;V}{\partial x}},{\frac {\partial \;V}{\partial y}},{\frac {\partial \;V}{\partial z}}$. Es gilt aber nicht von den zweiten Derivirten. Man erhält nemlich für $s<q\,$.

(5)

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho ,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y\;\partial z}}=0,$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho ,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z\;\partial x}}=0,$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho ,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x\;\partial y}}=0.$

 Dagegen ergibt sich für $s>q\,$:

(6)

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho q^{3}\left({\frac {1}{s^{3}}}-{\frac {3x^{2}}{s^{5}}}\right),{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y\;\partial z}}=4\pi \rho q^{3}{\frac {yz}{s^{5}}},$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho q^{3}\left({\frac {1}{s^{3}}}-{\frac {3y^{2}}{s^{5}}}\right),{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z\;\partial x}}=4\pi \rho q^{3}{\frac {zx}{s^{5}}},$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho q^{3}\left({\frac {1}{s^{3}}}-{\frac {3z^{2}}{s^{5}}}\right),{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y\;\partial z}}=4\pi \rho q^{3}{\frac {xy}{s^{5}}},$

 Hier geben auch für $s=q\,$ die Ausdrücke der gleichnamigen Derivirten in (5) und in (6) nicht dieselben Werthe. Die zweiten Derivirten von $V\,$ ändern sich also sprungweise, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ durch die Oberfläche der anziehenden Masse hindurchgeht.

 Zu bemerken ist noch, dass für $s>q\,$ sich ergibt

(7)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.\,$

Dies ist die Gleichung von Laplace, die wir für einen Punkt ausserhalb der anziehenden Masse bereits allgemein bewiesen haben.

 Für $s<q\,$, d. h. wenn der angezogene Punkt innerhalb der anziehenden Kugel liegt, erhalten wir

(8)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-4\pi \rho .\,$

 Diese Gleichung ist hier vorläufig nur für einen Specialfall bewiesen. Der allgemeine Fall soll ausführlich behandelt werden.

parallelen Radius liegt. Die vom Punkte $(x,\;y,\;z)\,$ nach dem Punkte $(a,\;b,\;c)\,$ gezogene gerade Linie $r\,$ schneidet die Kugel in einem Punkte, welcher durch seine Poldistanz $\theta \,$ und seine geographische Länge $\varphi \,$ eindeutig festgelegt wird. Die Poldistanz des Punktes ist sein sphärischer Abstand vom Pol. Seine geographische Länge ist der sphärische Winkel, welchen sein Meridian mit dem Anfangsmeridian einschliesst. Irgend ein Punkt im Innern der anziehenden Masse wird dann einerseits durch seine rechtwinkligen Coordinaten $a,\;b,\;c$, andererseits durch seine Kugel-Coordinaten $r,\;\varphi ,\;\theta$ festgelegt. Zur Transformation der Coordinaten dienen die Gleichungen

(2)	$a=x+r\sin \theta \cos \varphi ,\,$ $b=y+r\sin \theta \sin \varphi ,\,$ $c=z+r\cos \theta .\,$

Auf der Kugel vom Radius 1 wählen wir vier Punkte mit den sphärischen Coordinaten

$(\theta ,\varphi ),\;(\theta +d\theta ,\varphi ),\;(\theta +d\theta ,\varphi +d\varphi ),\;(\theta ,\varphi +d\varphi )$

und ziehen durch sie vom Punkte $(x,\;y,\;z)$ aus vier Strahlen, welche die Kanten einer vierseitigen Ecke bilden. Aus dieser Ecke schneiden die um $(x,\;y,\;z)$ als Mittelpunkt mit den Radien $r\,$ und $r+dr\,$ gelegten Kugelflächen ein unendlich kleines Raumelement aus, dessen einer Eckpunkt im Punkte $(a,\;b,\;c)$ liegt. Die Masse dieses Raumelementes ist

$\rho \cdot dr\cdot r\;d\theta \cdot \sin \theta \;d\varphi .$

Man kann sich dieselbe im Punkte $(a,\;b,\;c)$ concentrirt denken. Sie liefert zu der Potentialfunction den Beitrag

(3)	${\frac {\rho \;r^{2}\;\sin \theta \;dr\ d\theta \;d\varphi }{r}}.$

Die Potentialfunction selbst wird hiernach

(4)	$V=\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{\pi }\sin \theta \;d\theta \int \limits _{0}^{R}\rho \;r\;dr.$

 Darin ist mit $R\,$ der Werth bezeichnet, welchen $r\,$ annimmt, wenn der Punkt $(a,\;b,\;c)\,$ in der Oberfläche der anziehenden Masse liegt. $R\,$ ist eine Function von $\theta \,$ und $\varphi \,$. Man erhält den Zusammenhang zwischen $R,\;\theta ,\;\varphi$, indem man in die Gleichung der Oberfläche statt $a,b,c\,$ die Variabeln $r,\;\varphi ,\;\theta$ einführt und $R\,$ für $r\,$ an die Stelle setzt.

 Aus (3) geht hervor, dass man zu der Potentialfunction den Beitrag Null erhält, wenn man den anziehenden Punkt $(a,\,b,\,c)$ mit dem angezogenen Punkte zusammenfallen lässt. Damit ist bewiesen, dass $V\,$ auch dann eine endliche Function von $x,\,y,\,z$ ist, wenn der angezogene Punkt im Innern der anziehenden Masse liegt.

 Ebenso lässt sich zeigen, dass unter derselben Voraussetzung die Ausdrücke für die Componenten der auf den Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausgeübten Anziehung bestimmte endliche Werthe geben. Es sind dies die Ausdrücke (4) des §. 2. Sie gehen durch Einführung von Kugel-Coordinaten über in

(5)

$x=\int \limits _{0}^{2\pi }\cos \varphi \;d\varphi \ \int \limits _{0}^{\pi }\sin \theta ^{2}\;d\theta \ \int \limits _{0}^{R}\rho \;dr,$ $y=\int \limits _{0}^{2\pi }\sin \varphi \ d\varphi \;\int \limits _{0}^{\pi }\sin \theta ^{2}\;d\theta \ \int \limits _{0}^{R}\rho \;dr,$ $z=\int \limits _{0}^{2\pi }\ d\varphi \ \int \limits _{0}^{\pi }\cos \theta \;\sin \theta \;d\theta \ \int \limits _{0}^{R}\rho \;dr.$

 Auch hier erhält man zu den Integralen einen unendlich kleinen Beitrag, wenn der anziehende Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ mit dem angezogenen Punkte zusammenfällt. Sämmtliche Elemente in den Integralen (5) sind unendlich klein von der dritten Ordnung, auch diejenigen, welche von Massenelementen herrühren, die dem Punkte $(x,\,y,\,z)\,$ unendlich nahe liegen. Daher haben die Integrale bestimmte, endliche Werthe, und die durch sie ausgedrückten Componenten $X,\;Y,\;Z$ sind endliche Functionen von $x,\;y,\;z$, auch wenn der angezogene Punkt im Innern der anziehenden Masse sich befindet.

 Die Transformation der Coordinaten, welche die Gleichungen (4) und (5) liefert, ist auch dann noch zulässig und führt zu denselben Resultaten, wenn der angezogene Punkt in der Oberfläche des mit Masse erfüllten Körpers liegt. Nur ist zu beachten, dass in diesem Falle das Integrationsgebiet in Beziehung auf $\theta \,$ und $\varphi \,$ sich einschränkt, weil nicht für alle Werthe von $\theta \,$ und $\varphi \,$ die obere Grenze $R\,$ von Null verschieden ist.

 Damit ist bewiesen, dass die Integrale in den Gleichungen (4) und (5) des §. 2 je einen bestimmten, endlichen Werth liefern, wo auch der Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ liegen möge. Die Ausdrücke (4) des §. 2 sind aber die partiellen Differentialquotienten von $\,V$, so lange die unter dem Integralzeichen vorgenommene Differentiation bestimmte, eindeutige Resultate liefert. Da dies, wie jetzt bewiesen, unter allen Umständen der Fall ist, so gelten die Gleichungen (3) des §. 2 ganz allgemein, der angezogene Punkt mag ausserhalb oder innerhalb des anziehenden Körpers oder in seiner Oberfläche liegen.

 Will man die zweiten partiellen Derivirten ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}},\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ dadurch herleiten, dass man in den Ausdrücken [§. 2, (4)] für $X,\,Y,\,Z\,$ die Differentiation unter dem Integralzeichen ausführt, so haben die Resultate nur dann eine bestimmte, klare Bedeutung, wenn der angezogene Punkt ausserhalb des anziehenden Körpers liegt. Denn diese Resultate sind ausgesprochen in den Gleichungen (1) des §. 3. Sie gehen durch Einführung der Kugel-Coordinaten in folgende über

(6)

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=\iiint \rho \,\sin \,\theta \,d\varphi \,d\theta \,dr\left\lbrace {\frac {-1+3\sin \,\theta ^{2}\cos \,\varphi ^{2}}{r}}\right\rbrace ,$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}=\iiint \rho \,\sin \,\theta \,d\varphi \,d\theta \,dr\left\lbrace {\frac {-1+3\sin \,\theta ^{2}\sin \,\varphi ^{2}}{r}}\right\rbrace ,$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=\iiint \rho \,\sin \,\theta \,d\varphi \,d\theta \,dr\left\lbrace {\frac {-1+3\cos \,\theta ^{2}}{r}}\right\rbrace .$

 Die Integration ist zuerst nach $r\,$ auszuführen. Liegt der Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern des anziehenden Körpers oder in seiner Oberfläche, so ist die untere Integrationsgrenze gleich Null. An ihr wird die Function unter dem Integral unendlich gross, und das Integral selbst wird unendlich wie $\lg r\,$ für $r=0\,$.

 Schliessen wir um den Punkt $(x,\,y,\,z)$ herum von dem Gebiete der Integration einen beliebig kleinen Raum aus, dessen Oberfläche den Radius vector $\varepsilon \,$ hat, so bleibt das Integral

(7)	$\int \limits _{\varepsilon }^{R}\rho {\frac {dr}{r}}\,$

vollständig unbestimmt, weil die Oberfläche des ausgeschlossenen Raumes ganz beliebig gewählt werden kann, oder - was dasselbe sagt - in der Gleichung dieser Oberfläche

$\varepsilon =f(\theta ,\varphi )\,$

die Function $f\,$ völlig willkürlich ist. Bezeichnet man mit $\rho _{1}\,$ den grössten, mit $\rho _{2}\,$ den kleinsten Werth, welchen die Dichtigkeit $\rho \,$ überhaupt annimmt, so findet sich

$\rho _{1}(\lg R-\lg \varepsilon )>\int \limits _{\varepsilon }^{R}\rho {\frac {dr}{r}}>\rho _{2}(\lg R-\lg \varepsilon ).$

Der zu grosse und der zu kleine Werth sind unbestimmt, so lange $\varepsilon \,$ endlich bleibt. Fragt man aber nach dem Grenzwerthe für ein unendlich abnehmendes $\varepsilon \,$, so kann von einem solchen nicht die Rede sein, weil $\lim \lg \varepsilon =-\infty$ ist für $\lim \varepsilon =0.\,$

 Die Integrale in (6) haben also gar keine Bedeutung, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern der anziehenden Masse liegt.

 Wollte man in (4) und (5) bei der Integration nach $r\,$ zunächst $\varepsilon \,$ als untere Grenze nehmen, so fände sich

${\frac {1}{2}}\rho _{1}(R^{2}-\varepsilon ^{2})>\int \limits _{\varepsilon }^{R}\rho \,r\,dr>{\frac {1}{2}}\rho _{2}(R^{2}-\varepsilon ^{2})$

und ferner

$\rho _{1}(R-\varepsilon )>\int \limits _{\varepsilon }^{R}\rho \,dr>\rho _{2}(R-\varepsilon ).$

 Auch hier sind die zu grossen und die zu kleinen Werthe unbestimmt, so lange $\varepsilon \,$ endlich bleibt. Diese Unbestimmtheit fällt aber bei unendlich abnehmendem $\varepsilon \,$ weg, weil das von $\varepsilon \,$ Abhängige den Grenzwerth Null hat.

 Um die zweiten Derivirten von $V\,$ auch für den Fall zu ermitteln, dass der angezogene Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern der anziehenden Masse liegt, wollen wir zunächst die Ausdrücke für ${\frac {\partial V}{\partial x}},{\frac {\partial V}{\partial y}},{\frac {\partial V}{\partial z}}$ transformiren und erst nachher die neue Differentiation vornehmen.

§. 7. Transformation von ${\frac {\partial V}{\partial x}},{\frac {\partial V}{\partial y}},{\frac {\partial V}{\partial z}}$.

 Der Ausdruck für ${\frac {\partial V}{\partial x}}\,$ lautet:

${\frac {\partial V}{\partial x}}=\iiint {\frac {a-x}{r^{3}}}\rho \,da\,db\,dc.$

Nun ist aber, wie man leicht sieht:

${\frac {a-x}{r^{3}}}={\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x}}=-{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial a}}.$

 Folglich kann man schreiben

(1)	${\frac {\partial V}{\partial x}}=\iiint \rho {\frac {\partial \left(-{\frac {1}{r}}\right)}{\partial a}}\,da\,db\,dc.$

 Die dreifache Integration ist über den ganzen mit anziehender Masse erfüllten Raum auszudehnen. Wir bemerken darüber das Folgende. Das Coordinatensystem sei so gelegt, dass für jeden Punkt im Innern und in der Oberfläche der anziehenden Masse die Coordinaten $a,\,b,\,c\,$ positiv sind. Nöthigenfalls lässt sich dies durch parallele Verschiebung der Coordinaten-Ebenen erreichen. In der $yz\,$Ebene zeichnen wir ein unendlich kleines Rechteck, dessen Seiten von der Länge $db\,$ und resp. $dc\,$ den Axen der $y\,$ und resp. der $z\,$ parallel laufen. Der dem Anfangspunkt zunächst gelegene Eckpunkt habe die Coordinaten $0,\,b,\,c$. Ueber diesem Rechteck als Basis soll ein gerades Prisma errichtet werden, dessen Seitenkanten parallel zur Axe der $x\,$ laufen. Die Lage des Punktes $(0,\,b,\,c)$ wird so gewählt, dass dieses Prisma den mit Masse erfüllten Raum durchdringt. Wir bezeichnen mit $a_{1}\,$ und resp. $a_{2}\,$ die auf der $x\,$Axe gezählten Coordinaten der Eintritts- und der Austrittsstelle. Tritt das Prisma öfter ein und aus, so sollen $a_{1},a_{3},....a_{2n-1}\,$ die Abscissen der Eintrittsstellen, $a_{2},a_{4},....a_{2n}\,$ die Abscissen der Austrittsstellen sein, und zwar so, dass

$0<a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{2n-1}<a_{2n}.\,$

Die Bestandtheile des Elementarprisma, welche innerhalb der anziehenden Masse liegen, zerschneiden wir in unendlich viele gerade Parallelepipeda, jedes vom Inhalte $da\,db\,dc\,$. Der Inhalt eines solchen Parallelepipedon werde multiplicirt mit dem Werthe, welchen die Function $\rho {\frac {\partial \left(-{\frac {1}{r}}\right)}{\partial a}}$ in seinem einen Eckpunkte $(a,b,c)\,$ hat.

Das Product

$\rho {\frac {\partial \left(-{\frac {1}{r}}\right)}{\partial a}}da\,db\,dc$

ist das Element des Integrals. Die Integration nach $a\,$ wird ausgeführt, indem man dieses Product fur alle parallelepipedischen Bestandtheile des Elementarprisma bildet, welche innerhalb der anziehenden Masse liegen, und sämmtliche Producte addirt. Die Integration nach $b\,$ und nach $c\,$ besteht darin, dass man die eben besprochene Summe von Producten für alle Elementarprismen herstellt, welche die anziehende Masse überhaupt treffen, und alle diese Summen wiederum durch Addition verbindet.

 Wir wollen zunächst die Integration nach $a\,$ ausführen. Das unbestimmte Integral

$\int \rho {\frac {\partial \left(-{\frac {1}{r}}\right)}{\partial a}}da.$

lässt sich umformen durch Integration nach Theilen, nemlich

(2)	$\int \rho {\frac {\partial \left(-{\frac {1}{r}}\right)}{\partial a}}da\ =-{\frac {\rho }{r}}+\int {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial a}}da$

Diese Formel ist zur Umgestaltung des bestimmten Integrals leicht zu benutzen, wenn die Function ${\frac {\rho }{r}}$ innerhalb der Integrationsgrenzen überall endlich und stetig ist. Die Integrale auf der linken und auf der rechten Seite der Gleichung (2) sind dann zwischen denselben Grenzen zu nehmen und von dem freien Gliede $-{\frac {\rho }{r}}$ hat man die Summe aller Werthe an den oberen Grenzen der Integration zu vermindern um die Summe aller Werthe an den unteren Grenzen. Wir bezeichnen die Werthe von $\rho \,$ und $r\,$ an den Grenzen der Reihe nach durch Anhängung der betreffenden Indices. Für die Integration nach $b\,$ und nach $c\,$ erhält man demnach das Element

$db\;dc\left\lbrace {\frac {\rho _{1}}{r_{1}}}-{\frac {\rho _{2}}{r_{2}}}+{\frac {\rho _{3}}{r_{3}}}-+\ldots -{\frac {\rho _{2n}}{r_{2n}}}\right\rbrace +db\;dc\int {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial a}}da.$

Das Integral $\int {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial a}}da$ ist über alle die Theile des Elementarprisma zu erstrecken, welche innerhalb der anziehenden Masse liegen. Wir bezeichnen nun mit $d\sigma _{1},\;d\sigma _{2},\ldots d\sigma _{2n}$ die unendlich kleinen Flächenstücke, welche das Elementarprisma aus der Oberfläche des mit Masse erfüllten Raumes bei seinem Ein- und Austritt herausschneidet und mit $\alpha _{1},\;\alpha _{2},\ldots \alpha _{2n}$ die Winkel, welche die nach dem Innern dieses Raumes zu auf $d\sigma _{1},\;d\sigma _{2},\ldots d\sigma _{2n}$ errichteten Normalen mit der Axe der positiven $x\,$ einschliessen.

Fig. 4.

Es ist zu bemerken, dass die Cosinus dieser Winkel an den Eintrittsstellen positiv, an den Austrittsstellen negativ sind. (Fig. 4.) Demnach findet sich

$db\;dc=\cos \alpha _{1}\,d\sigma _{1}=\cos \alpha _{3}\,d\sigma _{3}=\ldots =\cos \alpha _{2n-1}\,d\sigma _{2n-1}$ $=-\cos \alpha _{2}\,d\sigma _{2}=\cos \alpha _{4}\,d\sigma _{4}=\ldots =\cos \alpha _{2n}\,d\sigma _{2n},$

und das Element der Integration nach $b\,$ und nach $c\,$ lautet jetzt

$\sum {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \;d\sigma +db\;dc\int {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial a}}.$

Die Summe $\sum {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \;d\sigma$ bezieht sich auf alle die Stellen, an

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