Ueber den Ausfluß der Flüssigkeiten aus Oeffnungen in dünner Wand und aus kurzen Ansatzröhren

I. Ueber den Ausfluß der Flüssigkeiten aus Oeffnungen in dünner Wand, und aus kurzen Ansatzröhren;
von Dr. O. v. Feilitzsch.

A. Ueber den Ausfluß aus Oeffnungen in dünner Wand.

1.

Die Grundlage für jede hydraulische Theorie ist die Betrachtung der Bewegung des Wassers durch Oeffnungen in dünner Wand und durch Röhren verschiedener Gestalt. Aber was soll man von einer Theorie erwarten, wenn die Prämissen noch aller theoretischen Begründung derart ermangeln, wie folgende kurze Uebersicht der Bestrebungen in diesem Gebiete darthun wird.

Die Ausflußgeschwindigkeit des Wassers durch Oeffnung in dünner Wand wurde, einiger ausgesprochenen Vermuthungen nicht zu gedenken, bekanntlich zuerst von Torricelli durch die Formel

$v={\sqrt {2\,g\,h}}$

bestimmt, wo $g$ die Geschwindigkeit eines Körpers bedeutet, welcher eine Secunde frei gefallen ist, und $h$ die Höhe der Oberfläche des Wassers über dem Mittelpunkt der Oeffnung. Die Genauigkeit dieser Formel variirt bis auf 0,5, je nach der Niveauhöhe, der Gestalt und Größe der Ausflußöffnung, und der Gestalt des Bodens, in welchem diese Oeffnung angebracht ist. – Newton^[1] spricht zuerst von der Zusammenziehung, welche der Wasserstrahl in einiger Entfernung von der Oeffnung erleidet, und erklärt dieses Phänomen dadurch, daß er annimmt, die Wassertheilchen bewegen sich vor dem Ausfluß nach dem Mittelpunkt der Oeffnung. Seine Theorie führt ihn auf die Aenderung der vorigen Formel in:

$v={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\sqrt {2gh}}=0{,}7{\sqrt {2gh}}.$

Aus seiner Theorie geht ferner hervor, daß der Druck der Flüssigkeit auf den Boden des Gefäßes sogleich aufhört, sobald der Ausfluß beginnt. Die Unrichtigkeit dieser Behauptung wies Samuel Vince^[2] durch mehrfache Versuche nach, ist jedoch auch ohne dieselben augenscheinlich.

Die Versuche der beiden Michelotti^[3] zeigen schon, daß der Querschnitt des zusammengezogenen Strahles bei gleicher Oeffnung geringer wird, sobald die Druckhöhe sich vermehrt, und daß die Form der Oeffnung Einfluß hat, indem sie für quadratische Oeffnungen den Contractionscoëfficienten 0,607925 und für kreisrunde 0,61300 erhalten.

Die ersten durchgeführten Theorien über die Bewegung der Flüssigkeiten geben Daniel Bernoulli^[4] und d’Alembert^[5]. Ersterer betrachtet bloß die Flüssigkeit als Masse, und geht nicht specieller auf die Theorie der Zusammenziehung des Strahles ein. D’Alembert nimmt an^[6], daß sich die Flüssigkeitstheilchen in concentrischen Kanälen bewegen, welche sich nach der Oeffnung hin immer mehr zusammenziehen, läßt aber das Integral, welches von der Gestalt dieser Kanäle abhängt, unentwickelt. Dieselbe Idee faßten Borda^[7] und la Grange^[8] auf, waren aber eben so wenig glücklich in der Darstellung jenes Integrals. Borda beweist (§. 6.) nach dem Princip der Reaction für den speciellen Fall, wo eine cylindrische Röhre mit scharfen Kanten in das Innere des Gefäßes ragt und der Wasserstrahl den Wänden der Röhre nicht folgt, daß der Contractionscoëfficient $={\tfrac {1}{2}}$ gesetzt werden müsse.

Du Buat^[9] erklärt sehr richtig, wie alle Wassertheilchen in schiefer Richtung gegen die Ausflußöffnung strömen, außer denen im mittelsten Faden, und daß nur dieser mit einer Geschwindigkeit $\textstyle ={\sqrt {2gh}}$, die andern mit geringerer die Oeffnung verlassen müssen; er wendet aber den Calcul nicht auf diesen Fall an. Eine empirische Formel für die Ausflußgeschwindigkeit findet sich in §. 240 des ersten Theiles, von der jedoch Gerstner^[10] sagt, daß sie für keinen seiner Versuche passe.

Sehr schätzenswerthe Versuche geben Venturi^[11] und Hachette^[12] über die Gestalt des ausfließenden Strahles. Ersterer ändert die Richtung der Theilchen nahe der Oeffnung innerhalb des Gefäßes durch einen daselbst angebrachten Kegel, und findet entsprechende Aenderungen in der Gestalt des Strahles. Letzterer zeigt durch seine umsichtigen Versuche, daß das Verhältniß der Druckhöhe zum Durchmesser der Oeffnung, die Form der letzteren und die Gestalt des Bodens, in welchem sie angebracht ist, so wie die Natur der Flüssigkeit und das umgebende Mittel von großem Einfluß sind.

Euler und Brandes^[13] geben eine Formel für die verminderte Ausflußgeschwindigkeit durch Oeffnungen in dünner Wand, indem sie annehmen, daß in der Nähe der Oeffnung nicht die ganzen parallelen Schichten sich bewegen, sondern die »bewegte« Wassermasse nach der Oeffnung hin sich zusammenziehe und die in den Ecken sich befindende Flüssigkeit in Ruhe bleibe. Nach Kastner nennen sie diese hypothetische Gestalt der bewegten Wassermasse Strudel. Dagegen hatten aber schon Bernoulli^[14] und Abbé Bossut^[15] durch directe Versuche gezeigt, daß kein Theil der Wassermasse in einem Gefäße in Ruhe bleibe, sondern daß von allen Orten her eine Bewegung nach der Ausflußöffnung wahrnehmbar sey.

In der Neuzeit hat F. Savart in Bezug auf Akustik den ausfließenden Strahl experimentell betrachtet, worauf ich später zurückkommen werde. Die neusten bedeutenden rein hydraulischen Versuche sind von Poncelet und Lesbros mit moderner Genauigkeit angestellt worden.

Dasselbe ist zu sagen von den Versuchen des Hrn. Prof. Weißbach^[16], welche zum Zweck haben, die verschiedene Contraction des Strahles zu finden, je nachdem das Gefäß oder die Ansatzröhre oder die Oeffnung in dünner Wand sich ändert, oder die Flüssigkeit sich in eine gleichartige Flüssigkeit ergießt. Unvollkommenene Contraction nennt der Hr. Verf. denjenigen Minderausfluß nach der torricellischen Formel, welcher sich ergiebt, wenn das Verhältniß der Querschnitte des Gefäßes zu dem der Oeffnung ein endliches ist, und vollkommene Contraction, wenn dieses Verhältniß ein unendliches wird. Aus den Versuchen sind empirische Formeln entwickelt, und dieselben darstellenden Curven mit solchen zusammengestellt, welche willkührlichen Functionen entsprechen.

Von den neusten theoretischen Ansichten sind mir die des Hrn. Prof. Buff und des Hrn. Major Bayer bekannt geworden. Hr. Prof. Buff^[17] erklärt die Zusammenziehung für horizontale Oeffnungen in dünner Wand dadurch, daß der dieser Oeffnung entsprechende und über derselben stehende verticale Wassercylinder von der Höhe des Niveaus über dem Boden, wegen der stetig von oben nach unten zunehmenden Geschwindigkeit der einzelnen Schichten, sich zusammenziehen müsse, wenn er nicht discontinuirlich werden wolle; daß sich also durch die ganze Höhe der Flüssigkeit ein von oben nach unten convergirender abgestumpfter Kegel abtheile, dessen unterste Schicht mit der Geschwindigkeit $\textstyle {\sqrt {2gh}}$ ausfließe, und deshalb einen proportional dieser Größe kleineren Flächeninhalt als die Oeffnung habe. Der noch übrige Theil der Ausflußöffnung werde von bewegten Theilchen erfüllt, welche ihre Bewegung in immer geringerer Höhe beginnen, und somit eine immer geringere Gechwindigkeit haben, je näher sie der Peripherie der Mündung ausströmen, bis an die Peripherie selbst die Geschwindigkeit $=0$ sey. Die auf diese Weise berechnete Ausflußmasse $M$ beträgt für jede Oeffnung $f$ und jede Niveaufläche $h$:

$M=0{,}74f{\sqrt {2gh}},$

und sonach würde die mittlere Geschwindigkeit seyn:

$v=0{,}74{\sqrt {2gh}}.$

Hiernach gestehe ich, durchaus nicht einsehen zu können, wie sich diese Anschauung auf verticale Oeffnungen in verticalen Wänden übertragen würde. Ferner geht aus dieser Formel durchaus nicht hervor, daß mit der Aenderung der Druckhöhe gegen dieselbe Oeffnung ein anderer Contractionscoëfficient entstehen würde, was unzweideutig aus den zahlreichen Versuchen, welche vorliegen, und selbst aus denen des Hrn. Verf. hervorgeht. Eben so geht aus dieser Anschauungsweise keine Aenderung des Contractionscoëfficienten hervor, wenn die Gestalt des Bodens eine andere wird, was u. A. Chev. Borda und Hachette in den oben angeführten Abhandlungen auf’s Bestimmteste aussprechen. Endlich scheint mir diese Anschauung in directem Widerspruch zu stehen mit den oben angeführten Versuchen von D. Bernoulli und Abbé Bossut über die Bewegung der Theilchen innerhalb des Gefäßes.

Die Arbeiten des Hrn. Major Bayer über diesen Gegenstand sind mir nur aus einer Notiz^[18] und durch gütige persönliche Mittheilung bekannt geworden. Hr. Verf. nimmt, wenn ich recht verstanden habe, an, daß sich alle Flüssigkeitstheilchen nach dem Mittelpunkt der Oeffnung mit einer Geschwindigkeit bewegen, welche umgekehrt proportional dem Quadrate der Entfernungen von derselben, und daß sie, angekommen in der Kugelfläche, welche die (kreisförmige) Ausflußöffnung zum größten Kreise hat, die daselbst erhaltene lebendige Kraft in zwei Theile zerlegen, von denen der eine, auf der Richtung der Axe senkrechte, verloren geht und nur die Contraction bewirkt, der andere, jener Richtung parallele, die Ausflußgeschwindigkeit dieses Theilchens bedingt. Eine am angeführten Orte aufgestellte Formel für rectanguläre verticale Oeffnungen ist nicht entwickelt. Die Berechnung von sechs Versuchen der HH. Poncelet und Lesbros weicht nur in der vierten (etwa dritten) Decimalstelle ab.

Dennoch scheint mir die Annahme, daß die Theilchen sich in gerader Richtung nach dem Mittelpunkt der Oeffnung bewegen sollen, nicht aus der Natur hervorzugehen. — In der Formel scheint die Adhäsion nicht berücksichtigt zu seyn, und so wäre es möglich, daß die durch dieselbe bedingten Ungenauigkeiten durch der Ausflußgeschwindigkeit günstigere Annahmen zufällig verdeckt wären. Nach diesen Annahmen würde für nach zwei Dimensionen unendlich weite Flüssigkeit, für eine Höhe derselben über dem Mittelpunkt $=h$ und für den Halbmesser der kreisförmigen Ausflußöffnung $=a$: die Druckhöhe für die Geschwindigkeit irgend eines aus der Oeffnung in einer Entfernung $=x$ vom Mittelpunkte derselben austretenden Theilchens, $=y=h\sin \varphi$ seyn, als $\varphi$ die Richtung der Bewegung des Theilchens gegen den Horizont ist. Es wäre aber $\sin \varphi ={\sqrt {\frac {a^{2}-x^{2}}{a^{2}}}}$, folglich:

$y={\frac {h}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$.

Die Ausflußmasse $d\,M$ aus einem unendlich dünnen Ring vom Halbmesser $=x$ und von der Breite $=d\,x$, also vom Flächeninhalte $=2\pi x\,d\,x$ wäre sonach:

${\begin{aligned}dM&=2\pi x\,dx{\sqrt {gy}}\\&=2\pi x\,dx{\sqrt {2g{\frac {h}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}\end{aligned}}$

und sonach:

${\begin{aligned}M&=2\pi {\sqrt {2g{\frac {h}{a}}}}\int _{0}^{a}x\,dx(a^{2}-x^{2})^{\tfrac {1}{4}}\\&={\tfrac {4}{5}}\pi a^{2}{\sqrt {2gh}}=0{,}8\pi a^{2}{\sqrt {2gh}}\end{aligned}}$

Die theoretischen Untersuchungen von Bidone^[19] und Navier^[20] sind mir nicht zugänglich geworden. Von letztern ist mir nur eine Notiz bekannt (aus Dove und Moser Repertorium der Physik, I, S. 122), wonach Navier den Contractionscoëfficienten ${\tfrac {2}{\pi }}=0{,}637$ berechnet.

2.

Wenn nun auch manche der angegebenen Formeln höchst genau mit den Versuchen stimmen, so sind doch alle die mir so bekannt gewordenen Theorien nur auf Annahmen gegründet, und sonach über die Bewegung der einzelnen Wassertheilchen nichts theoretisch festgestellt. In dem Folgenden werde ich versuchen, für allgemeine Fälle diese Bewegung der einzelnen Theilchen aus bekannten Eigenschaften des Tropfbarflüssigen zu entwickeln und vielleicht dem Ziele um einen Schritt näher kommen.

Ueber die Adhäsion und Reibung (?) der Flüssigkeitstheilchen an einander und an den Wänden des Gefäßes ist noch so wenig ausgemacht, daß Inrechnungziehen derselben nur auf unbegründete Formeln führen würde. Wenn es in der Folge Zeit und Verhältnisse erlauben, werde ich diesen noch so unentwickelten Theil der Physik aus einem Gesichtspunkte experimentell zu betrachten suchen, welchen jüngst Hr. E. Waidele^[21] in andern Beziehungen aufstellte.

Der Einfluß der elastischen Compressibilität der Flüssigkeiten bei ihren Bewegungen kann nur höchst unbedeutend seyn, daher diese Eigenschaft, wie vorige, unberücksichtigt bleiben möge.

Es wäre also noch übrig, die Flüssigkeit als einen schweren incompressibeln Körper zu betrachten, dessen Theilchen sowohl vereinzelt als auch unter einander vollkommen beweglich sind.

Denken wir uns nun unter $ABCD$ (Fig. 1 Taf. I) eine verticale Ebene in einer so definirten, nach zwei Richtungen unbegränzten Flüssigkeitsschicht, welche in $AB$ durch den horizontalen Boden und in $CD$ durch die Niveauebene begränzt wird, so wird jedes Theilchen $M$ in dieser Ebene in Ruhe bleiben, so lange keine andere Kraft als die der Schwere darauf einwirkt, denn es wird nach allen Seiten gleichmäßig mit einer Kraft gedrückt, welche dem verticalen Abstande dieses Theilchens, $MN=h-y$, von der Niveauebene proportional ist; wo wir mit $h$ den Abstand $NP$ des Bodens vom Niveau und mit $y$ den Abstand $MP$ des Flüssigkeitstheilchens von dem ersteren bezeichnen. Wird plötzlich aus dem Boden ein Theil $F'F$ weggenommen, so werden alle Theilchen der Kraft der Schwere zu folgen streben, und durch die ganze Flüssigkeitsmasse wird eine Bewegung eintreten. Das Theilchen $M$, vorher nach allen Seiten gleichmäßig gedrückt mit einer Kraft, deren Maaß $h-y$, erfährt jetzt nach der Richtung $F'MF$ keinen Druck mehr, es werden sich also alle Drucke gegenseitig aufheben, außer denen der Flüssigkeitsmasse $HMh$; das Theilchen wird sich also mit der Kraft $h-y$ nach der $HMh$ entgegengesetzten Mittelrichtung bewegen, so daß Winkel $FMt=F'Mt$. Hat sich das Theilchen in dieser Richtung von $M$ etwas fortbewegt, vielleicht bis $M'$, so wird die Richtung $M't'$, nach welcher es sich bewegt, abermals und aus demselben Grunde wie so eben den Winkel $F'M'F$ halbiren u. s. w. Das Theilchen wird also eine Curve beschreiben, die so beschaffen ist, daß je zwei Grade von zwei festen Punkten $F'$ und $F$ an die Tangente derselben in Berührungspunkte gezogen, mit dieser jederzeit gleiche Winkel bilden – d. h. die Theilchen werden sich in »Hyperbeln« bewegen, deren Ebene eine senkrechte ist, und durch den Mittelpunkt $O$ der Oeffnung und den Punkt des zu betrachtenden Theilchens $M$ gelegt ist, und deren Brennpunkte in den Durchschnittspunkten jener Ebene mit dem Rande der Oeffnung liegen.

In der Ebene der Oeffnung angekommen, hören alle Drucke von den zur Seite liegenden Theilchen auf, und das betrachtete wird sich, wie leicht ersichtlich ist, in der Tangente dieser Curve und zufolge der erlangten Geschwindigkeit nach den gewöhnlichen Gesetzen des Falles weiter bewegen. Da nun diese Tangente am Scheitelpunkt der Hyperbel gezogen ist, wird das Theilchen nicht in schiefer Richtung, sondern senkrecht auf die Ebene der Oeffnung ausfließen.

3.

Sey nun $MS$, Fig. 2 Taf. I, ein solcher Hyperbelarm, welchen ein Theilchen $M$ vom Beginn seiner Bewegung an der Oberfläche der Flüssigkeit $CDM$, bis zum Ausfluß aus $F'F$ beschriebe, und sey die Tangente an dieser Hyperbel im Punkte des Beginnens der Bewegung $MT$: so ist leicht einzusehen, daß wenn das Theilchen frei auf der schiefen Linie $MT$ fiele, es in $T$ eine Geschwindigkeit

$v={\sqrt {2gh}}$

nach der Richtung $MT$ hin erlangt haben würde. Diese Geschwindigkeit resultirt aus den unendlich vielen, in der Zeit auf einander folgenden Impulsen, welche das Theilchen während des Falles von der Schwerkraft erhält. Werden ihm aber diese Impulse gleichzeitig durch eben so viele gleichartige Theilchen mitgetheilt, so wird der Effect derselben bleiben, und es wird somit in Bezug auf die in $F'F$ austretenden Theilchen gleichgültig seyn, einen wie großen Weg sie vor der Oeffnung zurückgelegt haben^[22]. Das Maaß der Kraft, mit welcher das Theilchen in $T$ nach der Richtung der Linie $MT$ austritt, ist also $h$. In $T$ trifft das Theilchen auf andere senkrecht ausfließende; es wird also diese Kraft sich zerlegen in eine senkrecht auf die Richtung der Axe des ausfließenden Strahles $=h\cos \varphi$ (wenn Winkel $MTF=\varphi$), welche für die Geschwindigkeit verloren geht, und in eine andere parallel dieser Richtung, welche die Ausflußgeschwindigkeit bedingt, $=h\sin \varphi ={\frac {hMP}{MT}}={\frac {h^{2}}{MT}}$.

Für diese letzte Kraft, $h\sin \varphi$, ist es einerlei, ob die erstere, $h\cos \varphi$, mit einem Male in $T$ verloren gehe oder nach und nach auf dem ganzen Wege $MS$, welchen das Theilchen eigentlich beschreibt, und sonach wird es in $S$ mit einer Kraft auszufließen genöthigt, welche

$=h\sin \varphi ={\frac {h^{2}}{MT}}$,

die Ausflußgeschwindigkeit in $S$ wird also seyn:

$v={\sqrt {2g{\frac {h^{2}}{MT}}}}$.

Nehmen wir der Einfachheit wegen die Ausflußöffnung kreisförmig an für den Mittelpunkt $O$, so wird die Ausflußmasse für den Kreisring, welcher $OS=x$ zum Radius und $dx$ zur unendlich geringen Breite hat, dessen Flächeninhalt also $2\pi x\,dx$ ist, für die Zeiteinheit (welche hier wegen $g$ die Secunde ist) seyn:

$dM=2\pi x\,dx\,{\sqrt {2g{\frac {h^{2}}{MT}}}}$

(1)

In dieser Gleichung bleibt noch übrig $MT$ als $f(x,\ h,\ a)$, wo $a=OF=$ dem Radius der kreisförmigen Ausflußöffnung ist, zu bestimmen. Zu dem Ende sey die Gleichung der Hyperbel für den Mittelpunkt als Coordinatenanfangspunkt allgemein:

$A^{2}{\mathfrak {y}}^{2}-B^{2}{\mathfrak {x}}^{2}=-A^{2}B^{2}$,

wo für unsern Fall, wegen $OS=x$ und $OF=a=$ der Excentricität:

$A^{2}=x^{2};\ B^{2}=a^{2}-x^{2}$

(2)

Die Gleichung einer Tangente an einer Curve in einem Punkte, dessen Coordinaten ${\mathfrak {x}}_{1}$ und ${\mathfrak {y}}_{1}$, ist allgemein:

${\mathfrak {y}}-{\mathfrak {y}}_{1}={\frac {dy_{1}}{d{\mathfrak {x}}_{1}}}({\mathfrak {x}}-{\mathfrak {x}}_{1})$

(3)

also wird die Gleichung der Tangente an der Hyperbel erhalten, wenn wir aus deren Differentialgleichung,

$A^{2}{\mathfrak {y}}_{1}\ d{\mathfrak {y}}_{1}-B^{2}{\mathfrak {x}}_{1}\ d{\mathfrak {x}}_{1}=0$,

den Werth von ${\frac {d{\mathfrak {y}}_{1}}{d{\mathfrak {x}}_{1}}}$ substituiren. Sie ist:

${\mathfrak {y}}-{\mathfrak {y}}_{1}={\frac {B^{2}{\mathfrak {x}}_{1}}{A^{2}{\mathfrak {y}}_{1}}}({\mathfrak {x}}-{\mathfrak {x}}_{1})$

und wegen Gleichung (1):

$A^{2}{\mathfrak {y}}{\mathfrak {y}}_{1}-B^{2}{\mathfrak {x}}{\mathfrak {x}}_{1}=-A^{2}B^{2}$

(4)

Für ${\mathfrak {y}}=0$ erhalten wir ${\mathfrak {x}}=OT$ und zwar:

$OT={\frac {A^{2}}{{\mathfrak {x}}_{1}}}$

(5)

Sonach ist die Länge der Tangente an der Hyperbel zwischen dem Berührungspunkte und der Abscissenaxe:

${\begin{aligned}MT^{2}&=({\mathfrak {x}}_{1}-OT)^{2}+{\mathfrak {y_{1}}}^{2}\\&={\frac {{\mathfrak {x_{1}}}^{2}-A^{2})^{2}}{{\mathfrak {x_{1}}}^{2}}}+{\mathfrak {y_{1}}}^{2}\end{aligned}}$

und wegen Gleichung (1):

$={\mathfrak {y_{1}}}^{2}\left\{{\frac {A^{2}{{\mathfrak {y}}_{1}}^{2}+B^{2}({{\mathfrak {y}}_{1}}^{2}+B^{2})}{B^{2}({{\mathfrak {y}}_{1}}^{2}+B^{2})}}\right\}$.

In unserem Falle ist ${\mathfrak {y}}_{1}=h$; setzen wir dieses und die Werthe von $A^{2}$ und $B^{2}$ aus Gleichung (2) ein, so ergiebt sich:

${\begin{aligned}{\frac {MT^{2}}{h^{2}}}&={\frac {h^{2}x^{2}+(a^{2}-x^{2})(h^{2}+a^{2}-x^{2})}{(a^{2}-x^{2})(h^{2}+a^{2}-x^{2})}}\\{\frac {h}{MT}}&={\sqrt {\frac {(a^{2}-x^{2})(h^{2}+a^{2}-x^{2})}{h^{2}a^{2}+(a^{2}-x^{2})^{2}}}}\end{aligned}}$

(6)

Dieses in Gleichung (1) eingesetzt, giebt die Gleichung für das Differential der Ausflußmenge:

$dM=2\pi x\,dx{\sqrt {2gh}}{\sqrt[{4}]{\frac {(a^{2}-x^{2})(h^{2}+a^{2}-x^{2})}{h^{2}a^{2}+(a^{2}-x^{2})^{2}}}}$

(A)

und durch Integration von $x=0$ bis $x=a$ erhält man die Gesammtausflußmasse aus der kreisförmigen horizontalen Oeffnung im ebenen Boden einer nach zwei Richtungen als unbegränzt gedachten Wassermasse:

$M=2\pi {\sqrt {2gh}}\int _{0}^{a}x\,dx{\sqrt[{4}]{\frac {(a^{2}-x^{2})(h^{2}+a^{2}-x^{2})}{h^{2}a^{2}+(a^{2}-x^{2})^{2}}}}$.

(B)

oder für $x=au\;;\;dx=a\,du$:

$M=\pi a^{2}{\sqrt {2gh}}\int _{0}^{1}d(u^{2}){\sqrt[{4}]{\frac {(1-u^{2})(h^{2}-a^{2})(1-u^{2})}{h^{2}+a^{2}(1-u^{2})^{2}}}}$[WS 21]

(C)

Wir erhalten so die torricellische Formel multiplicirt mit einem Integral, dessen Werth den jedesmaligen Contractionscoëfficienten giebt, welcher als Function von $a$ und $h$ zu berechnen ist.

Einer allgemeinen Auflösung ist dieses Integral nicht fähig. Nach dem Princip der mechanischen Quadratur für fünf Zwischenglieder aufgelöst, giebt es:

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}d(u^{2})&{\sqrt[{4}]{\frac {(1-u^{2})\left(h^{2}+a^{2}(1-u^{2})\right)}{h^{2}+a^{2}(1-u^{2})^{2}}}}\\&=0{,}28444444{\sqrt[{4}]{\frac {0{,}5\left(h^{2}+a^{2}\ .0{,}5\right)}{h^{2}+a^{2}\ .0{,}25}}}\\+0{,}11846344&\left\{{\sqrt[{4}]{\frac {0{,}95308992(h^{2}+a^{2}.0{,}95308992)}{h^{2}+a^{2}(0{,}95308992)^{2}}}}\right.\\&+\left.{\sqrt[{4}]{\frac {0{,}04691008(h^{2}+a^{2}.0{,}04691008)}{h^{2}+a^{2}(0{,}04691008)^{2}}}}\right\}\\+0{,}23931434&\left\{{\sqrt[{4}]{\frac {0{,}76923466(h^{2}+a^{2}.0{,}76923466)}{h^{2}+a^{2}(0{,}76923466)^{2}}}}\right.\\&+\left.{\sqrt[{4}]{\frac {0{,}23076534(h^{2}+a^{2}.0{,}23076534)}{h^{2}+a^{2}(0{,}23076534)^{2}}}}\right\}\end{aligned}}$

(D)

Zusätze.

4.

Discussion der Formel. Nennen wir allgemein den constanten Coëfficienten unter jedem Wurzelzeichen $c$, so erhält die Function unter demselben die Gestalt:

$c{\frac {h^{2}+a^{2}c}{h^{2}+a^{2}c^{2}}}$;

dieses in eine Reihe verwandelt, giebt:

$c\left\{1+{\frac {a^{2}c^{2}}{h^{2}}}(1-c)-{\frac {a^{4}c^{3}}{h^{4}}}(1-c)+{\frac {a^{6}c^{5}}{h^{6}}}-(1-c)-\ldots \right\}$[WS 21]

Hieraus wird ersichtlich, daß, je größer das Verhältniß von ${\frac {a^{2}}{h^{2}}},$ desto größer auch der Coëfficient der Ausflußmasse sey, aber immer $<1$ bleibe.

Für ein unendlich großes $h$ reducirt sich der Ausflußcoëfficient auf eine Größe, für welche nur $c$ unter dem jedesmaligen Wurzelzeichen stehen bleibt, oder das obige Integral (D) auf $\textstyle \int _{0}^{1}d(u^{2}){\sqrt[{4}]{1-u^{2}}}=1$,^{[WS 21]} d. h. für unendlich große Druckhöhe gegen den Durchmesser der Oeffnung, ist die Ausflußmasse die, welche die torricellische Formel ergiebt.

5.

Störungen. Es fragt sich, ob unter den angegebenen Bedingungen die einzelnen Theilchen der Flüssigkeitsmasse in ihrer Bewegung sich nicht gegenseitig stören, und folgende Betrachtungen werden diese Frage mit »nein« beantworten. Jedes Theilchen $M$ bewegt sich auf der Linie $MS$ dergestalt, daß diejenige Kraft, welche es bei jeder Richtungsänderung verliert, gerade durch das im entsprechenden Hyperbelarm sich bewegende Theilchen wieder aufgehoben wird. Es wird also wohl eine Spannung in der Flüssigkeit vorhanden seyn (die Theilchen werden »hydrostatischen« Druck ausüben), aber sie werden sich dadurch in ihrer Bewegung nicht stören. – Da ferner die Geschwindigkeit des Theilchens sich umgekehrt verhält, wie das Quadrat seiner Entfernung von der Oeffnung, und die Flächen der gleichen Geschwindigkeit aller Theilchen, wie leicht zu sehen ist, sich direct verhalten, wie das Quadrat dieser Entfernungen, so werden auch die seitlichen Theilchen sich nicht stören, sondern sich gerade in dem Verhältniß nähern, als ihre Geschwindigkeiten bedeutender werden.

6.

Adhäsion (Reibung). Wohl aber werden die Störungen, welche die Adhäsion bewirkt, sehr bedeutend seyn. Die Wichtigkeit derselben wird man einigermaßen ermessen, wenn man Prof. Gerstner’s^[23] »Versuche über die Flüssigkeit des Wassers bei verschiedenen Temperaturen« in dieser Beziehung betrachtet. Er fand z. B. die Geschwindigkeit des Wassers = 48,7 Par. Zoll in einer Glasröhre von 1,5 Par. Linie Durchmesser und 7,9 Zoll Länge, und bei einer Druckhöhe von 10,7 Zoll, wenn das Wasser eine Temperatur von +40° R. hatte, und = 44 Zoll bei einer Temperatur von +4°.

Ferner ist die Ausflußgeschwindigkeit für verschiedene Flüssigkeiten (Oel, Wasser, Quecksilber, Alkohol u. s. w. – Versuche von Hachette in den §. 1 angeführten Abhandlungen) verschieden je nach ihrer verschiedenen Klebrigkeit (Adhäsion).

Da das Theilchen $M$ (Fig. 2 Taf. I) den ganzen Weg $MS$ zurückzulegen hat und noch nicht einmal dieselbe Endgeschwindigkeit erlangt, welche das Theilchen $N$ auf dem kürzeren Wege $NO$ bekommt, so wird es sich viel langsamer bewegen als dieses. Allgemein wird ein jedes Theilchen, das dem mittleren Faden näher liegt, sich rascher bewegen, als das zunächst entferntere, es wird also diesem mit einer gewissen Geschwindigkeit voraneilen. Nennen wir diese Geschwindigkeit $\psi$, so ist die durch die Adhäsion der Bewegung entgegengesetzte Kraft von der Form:

$f(\psi )=B\psi +B'\psi ^{2}$,

denn es haben sich in gleicher Zeit proportional der Geschwindigkeit mehr Theilchen loszureißen $(B\psi )$, und dieselben Theilchen müssen sich schneller losreißen $(B'\psi ^{2})$; wo also $B$ und $B'$ durch Versuche zu bestimmende Coëfficienten sind^[24]. – Alle diese durch Adhäsion der nächsten Theilchen entstandenen Verzögerungen addiren sich, und dazu kommt noch die Verzögerung, welche die dem Boden zunächst sich bewegende Schicht durch die Adhäsion an dem ruhenden Boden erleidet.

Eine Formel, wie die vorstehende, in welcher dieses wichtige Moment nicht in Betracht gezogen ist, kann für die Praxis durchaus nicht anwendbar seyn, und behält daher nur wissenschaftliches Interesse.

7.

Gestalt des Bodens. Inwiefern die Gestalt des Bodens nach unserer Anschauungsweise von Einfluß seyn kann, ist leicht zu ersehen. Habe z. B. der Boden die Form $ABCDEF$, Fig. 3 Taf. I, und sey $BCDE$ etwa der Durchschnitt eines einspringenden Cylinders (der Fall, für welchen Chev. Borda beweist, daß der Contractionscoëfficient =0,5 sey), so wird ein Theilchen $M$ unterhalb des Horizontes von $CD$ bei ruhendem Wasser von allen Seiten einen Druck auszuhalten haben, welcher $=h+y$, wenn $h=HP=$ der Niveauhöhe über dem Horizont der noch geschlossenen Ausflußöffnung und $PM=y=$ der Entfernung des Theilchens unterhalb dieses Horizontes. Wird $CD$ geöffnet, so erfährt $M$ nach $MD$ hin einen geringeren Druck, als nach den übrigen Richtungen, wird sich also mit einer bestimmten Kraft gegen $CD$ bewegen, deren Maaß einstweilen $DM$ seyn mag, und wird, in $D$ angekommen, mit einer Kraft $GD$ (wenn $MGD$ ein rechter Winkel) der allgemeinen verticalen Bewegung nach der Oeffnung hin entgegenwirken.

Jedoch in welchen Linien sich die Theilchen in diesem und ähnlichen Fällen bewegen, ist mir nicht klar, obschon es einleuchtet, daß der Druck in dem ganzen Winkel (Kegel) $DMC$ ein anderer geworden ist, und das Theilchen, wegen der festen Wand $ED$, nur in $D$ ankommen kann.

Im Allgemeinen müssen wir den Begriff des Bodens auf alle diejenigen Theile der von uns angenommenen festen Begränzungen in der einen Dimension ausdehnen, welche auf die Aenderung der Richtung der einzelnen Flüssigkeitstheilchen, auch abgesehen von aller Adhäsion, Einfluß haben würden. Es gehören dazu vornehmlich die konisch convergirenden Ansatzröhren, so weit ihr kleinster Querschnitt kleiner ist, als der kleinste Querschnitt des Strahles, welcher in §. 9 abgehandelt werden wird.

8.

Verticale Ausflußöffnungen in ebener Wand. Ungleich einfacher und zwar ganz auf die ursprüngliche Betrachtung zurückzuführen, ist die Bewegung der Flüssigkeitstheilchen, bevor sie aus einer verticalen (beispielsweise wiederum kreisförmigen) Oeffnung in ebener Wand ausfließen. Betrachten wir wiederum, Fig. 4 Taf. I, die Flüssigkeitsmasse als^{[WS 27]} nach zwei Richtungen hin (nach $AB$ und $AC$) als unbegränzt. Sey $AC$ das Niveau, $AB$ der Durchschnitt einer ebenen verticalen Wand, $FF'$ die größte verticale Gerade der kreisförmigen Ausflußöffnung, $O$ der Mittelpunkt derselben, $OA=h$ gleich der Niveauhöhe über demselben. Betrachten wir nun zwei Flüssigkeitstheilchen $M'$ und $M$, von denen das eine gerade so weit unter dem Horizont des Mittelpunktes $O$ der Ausflußöffnung liegt, als das andere darüber, so wird, wenn $PM=PM'=y$ das eine mit einer Kraft nach der Mittelrichtung des Kegels $FMF'$ bewegt, deren Maaß $h-y$, das andere, mit einer Kraft nach der Mittelrichtung von $FM'F'$ deren Maaß $h+y$. Da nun die Bewegung von $M$ in dem Maaße durch die Schwerkraft befördert wird, als dieselbe die von $M'$ benachtheiligt, so wird das jedesmalige $y$ für beide Theilchen auf dem ganzen Wege gleich bleiben. Und ist das letzte, das $y$ in der Oeffnung selbst gegen $h$ nicht sehr beträchtlich, so wird die halbe Summe der Ausflußgeschwindigkeit (abgesehen von dem Verlust wegen der schiefen Richtung):

${\frac {V+V'}{2}}={\frac {{\sqrt {2g(h+y)}}+{\sqrt {2g(h-y)}}}{2}}$

merklich gleich der Ausflußgeschwindigkeit für das Mittel aus den Druckhöhen seyn^[25].

$={\sqrt {2gh}}$.

Der Unterschied wird immer geringer, je kleiner das letzte $y$ in der Ausflußöffnung wird, und für den mittelsten Faden ergiebt sich, wie sich von selbst versteht, die Ausflußgeschwindigkeit $={\sqrt {2gh}}$.

Da für die horizontal neben einander liegenden Theilchen die Druckhöhe dieselbe bleibt, fällt ihre Betrachtung ohne weiteres mit der ursprünglich in §. 2 und §. 3 gepflogenen zusammen, und wir sind gerechtfertigt, wenn wir auch für verticale Oeffnungen in ebener Wand obige Grundformel $B,\ C,\ D$ in §. 3 für die Ausflußmenge in einer Secunde gelten lassen.

Abweichungen der Fläche, in welcher die Ausflußöffnung angebracht ist, von der Ebene, sind ganz wie oben zu betrachten.

Vena contracta. Sind nun die Theilchen mit der vor der Oeffnung erlangten Geschwindigkeit ausgetreten, so werden sie, wenn sie nicht an einander adhäriren, mit dieser Geschwindigkeit behaftet den allgemeinen Gesetzen der Schwere folgen. Der Mittelstrahl wird sich mit einer Anfangsgeschwindigkeit $={\sqrt {2gh}}$ bewegen, jeder concentrische Hohlcylinder von der Breite $dx$ mit einer geringeren, und der letzte mit einer Anfangsgeschwindigkeit $=0$. Der Gesammtstrahl wird also, wenn er eine kurze Zeit geflossen hat, die Gestalt eines Cylinders haben, dessen Basis die Ausflußöffnung ist.

Da aber die Flüssigkeitstheilchen des Strahles nicht ohne Adhäsion sind, wird der Strahl ein Phänomen zeigen, welchem man den Namen Vena contracta (veine fluide contractée, Zusammenziehung des Strahles) beigelegt hat, und welche allein in der gegenseitigen Anziehung der einzelnen Flüssigkeitstheilchen ihren Grund hat. Da nämlich die verschiedenen concentrischen Cylinderschichten des Strahles vom Mittelpunkt nach der Peripherie beim Austritt aus der Oeffnung eine stetig von $\textstyle {\sqrt {2gh}}$ bis $0$ abnehmende Geschwindigkeit haben, so werden sie, da die Theilchen an einander adhäriren, diese Geschwindigkeitsverschiedenheit möglichst auszugleichen suchen. Wäre diese Ausgleichung bis zu einer gewissen Entfernung vollständig zu Stande gekommen, so würde der Querschnitt der Ausflußsöffnung, multiplicirt mit der mittleren Geschwindigkeit, gleich dem engsten Querschnitt des Strahles multiplicirt mit der größten Geschwindigkeit seyn. Da diese Ausgleichung jedoch nur annäherungsweise stattfinden kann, so wird jenes Verhältniß auch nur ein angenähertes seyn; und wirklich haben die genausten neueren Messungen herausgestellt, daß das Verhältniß des kleinsten Querschnittes des Strahles zur Oeffnung, nicht das der reellen Ausflußmenge zu der nach der torricellischen Formel berechneten ist. Das erstere ist, conform unsern Betrachtungen, stets größer gefunden worden als das letztere.

Daraus, daß man diese Verhältnisse als identisch ansah, da sie wirklich ziemlich nahe kommen (etwa wie 0,660 zu 0,621), sind mannichfaltige Verwirrungen entstanden. In älteren Werken finden sich vielfach Schlüsse, welche auf eines dieser Verhältnisse passen, auf das andere übertragen, und unstreitig ist daraus eine sehr gewöhnliche Ansicht hervorgegangen, zufolge welcher die Zusammenziehung des Strahles durch eine noch außerhalb des Gefäßes fortdauernde Schwerewirkung der in dem Gefäße enthaltenen Flüssigkeitsmasse erklärt wird.

Eine geringe Abweichung von der allgemeinen Form des zusammengezogenen Strahles wird sich herausstellen, wenn er aus verticaler oder gegen den Horizont geneigter Oeffnung hervorgeht. Es wird dann jedes Theilchen eine Parabel beschreiben, deren Parameter proportional dem Quadrate seiner Geschwindigkeit ist. Wie wir nun in §. 8 sahen, treten die Theilchen unterhalb des Mittelpunktes der Oeffnung mit größerer Geschwindigkeit aus, als die respective^{[WS 28]} gleich weit nach oben davon entfernten; während die in horizontaler Richtung gleich weit von dem Mittelpunkt entfernten Theilchen auch mit gleicher Geschwindigkeit austreten. Daraus folgt nothwendig, daß, nachdem die Geschwindigkeitsdifferenzen sich nahezu ausgeglichen haben (im kleinsten Querschnitt), der horizontale Durchmesser dieses Querschnitts etwas größer seyn muß als der verticale^[26].

Ferner werden die Querschnitte des zusammengezogenen Strahles sehr verschiedene Gestalten annehmen, je nachdem die Oeffnungen verschieden gestaltet sind. Im Allgemeinen werden die Theilchen das Bestreben haben, sich, wie bei der Tropfenbildung, um ein Centrum gleichförmig zu gruppiren. Dieses Bestreben wird sich hier dadurch äußern, daß der Strahl, was für eine Form er beim Austritt aus der Oeffnung auch haben mag, der cylindrischen sich zu nähern sucht. Ist die ursprüngliche Form eine prismatische, so werden die Ecken mit der größten lebendigen Kraft nach dem Centralstrahl streben, in der mittleren Entfernung von demselben angekommen, in Folge der erlangten Geschwindigkeit diese Gränze überschreiten, und so ein Ausweichen der Theilchen nach der um 90° entfernten Richtung bewirken. So wird ein Pendeln aller Theilchen um diese mittlere Entfernung vom Centralstrahle im Verlauf des Falles stattfinden, und es wird erklärlich, warum z. B. bei quadratischen Oeffnungen bald die Ecken der Querschnitte des Strahles den Mitten der Seiten der Oeffnung entsprechen und bald wiederum deren Ecken; und warum dieses immer in regelmäßigen Entfernungen von einander stattfindet, so jedoch, daß sich die Ecken immer mehr abstumpfen. Versuche darüber finden sich bei Venturi, Hachette und Poncelet und Lesbros^[27].

10.

Weitere Zusammenziehung des Strahles. Die eben betrachtete Zusammenziehung findet in geringer Entfernung von der Oeffnung statt, welche etwa 1½ Mal so groß ist, als der Halbmesser derselben (Venturi nimmt 11 : 9 an). Sie ist aber wohl zu unterscheiden von einer andern Zusammenziehung, welche nach den allgemeinen Gesetzen des Falles geschieht.

Hätten nämlich die Theilchen eines cylindrischen, vertical von oben nach unten oder aus horizontaler Oeffnung sich bewegenden Flüssigkeitsstrahles keine Adhäsion zu einander, so würden die einzelnen horizontalen Schichten sich trennen, weil die von der Oeffnung entfernteren, wegen des längeren Falles eine größere Geschwindigkeit haben, als die näheren. Nehmen wir (bei diesen Fragen genau genug) an, daß die Geschwindigkeit in der Contractio venae $\textstyle ={\sqrt {2gh}}$ sey, und daß alle Theilchen einer auf die Richtung des Strahles senkrechten Schicht gleiche Geschwindigkeit haben, so wird die Geschwindigkeit einer solchen Schicht, deren Verticalabstand von jener Einschnürung $=x$ ist, ausgedrückt seyn durch:

$V={\sqrt {2g(x+h)}}$

und es ist ersichtlich, daß, je größer $x$, desto bedeutender die Geschwindigkeit dieser Schicht ist. Da aber die einzelnen Flüssigkeitstheilchen an einander mehr adhäriren, als im Allgemeinen am umgebenden Mittel, so werden sie so lange als möglich die sich bilden wollenden Zwischenräume ausfüllen, und somit eine immer größere Zusammenziehung des Strahls effectuiren. Doch bleibt den Schichten immer das Bestreben der Trennung, und somit Tropfenbildung, inwohnen; es wird also die Außenseite des Strahles kein vollkommenes, nach unten sich verengendes Konoid seyn, sondern es werden sich in ziemlicher Entfernung von der Oeffnung ringförmige Anschwellungen bilden, welche die mißglückten Versuche zur Tropfenbildung und immer wieder Zurückführung zu einem continuirlichen Konoid andeuten.

Doch mit größerer Zunahme von $x$ nehmen die Querschnitte des Strahles mehr und mehr ab, so daß doch endlich der Strahl gezwungen wird discontinuirlich zu werden; und zwar werden die Schichten da zerreißen, wo der Querschnitt des zusammenhängenden Konoids zwischen je zwei Anschwellungen am geringsten ist. Aus jeder sich ablösenden Schicht wird sich ein Tropfen bilden, welcher, immer nach der Kugelgestalt strebend, eine Reihe von Schwankungen zu bestehen hat, während welcher er abwechselnd ein Ellipsoïd bilden wird, dessen Verticalaxe größer ist, als die beiden gleichen horizontalen, und abwechselnd ein solches, dessen Verticalaxe kleiner ist. Die auf solche Weise rasch auf einander folgende Tropfenreihe wird dem Auge als ein Continuum erscheinen, doch anders als der in Wahrheit continuirliche Strahl. Dieser wird nämlich durchsichtig seyn, während der erste trübe erscheint. – Ferner wird, wegen der elliptoïdischen Aenderungen der aufeinanderfolgenden Tropfen, der trübe Strahltheil Ausbauchungen und Einschnürungen haben, welche, wenn das Abreißen der Tropfen immer an derselben Stelle geschieht, ganz regelmäßig aufeinanderfolgen, und deren Länge von einer Einschnürung zur andern wegen $\textstyle V={\sqrt {2g(h+x)}}$ desto größer seyn wird, je weiter diese Strahltheile von der Oeffnung des Gefäßes entfernt sind.

Mag aber das Abreißen der Tropfen immer an derselben Stelle geschehen oder nicht, stets wird die Trennung der Tropfen vom continuirlichen Strahle in der Zeitfolge eine ganz regelmäßige seyn, da sie schon durch verschiedene isochrone Versuche zur Tropfenbildung im continuirlichen Strahltheile vorbereitet ist. Die Tropfen werden also in ganz regelmäßigen Intervallen aufeinanderfolgen, wenn auch die Phase ihrer elliptoïdischen eine andere ist. Daraus geht hervor, daß dieselben einen Ton^{[WS 30]} erzeugen müssen, welcher vernehmbar wird, wenn die Tropfen auf eine elastische Membran (u. drgl.) fallen. Ein so regelmäßiger Ton wird nun auch seinerseits mittelst dieser Membran und der festen (elastischen) ununterbrochenen Leitung bis zum Gefäße, dem letzteren regelmäßige Erzitterungen – Stöße – mittheilen; diese werden durch das Gefäß dem continuirlichen Theile des Strahles wiederum mitgetheilt, so daß auf diese Weise das Losreißen der Tropfen noch ungleich geordneter geschehen muß, als ohne solche Tonerregung. Es ist durchaus kein Sprung in der Schlußfolge, wenn man annimmt, daß dieses Losreißen der Tropfen auch immer in derselben Entfernung von der Oeffnung geschieht, und sicher wird es in immer geringerer geschehen, je energischer diese Stöße, d. h. je kräftiger der Ton ist, welcher sie hervorbringt.

Was eine ausgespannte Membran thut, wird auch ein gleicher Ton in der Nähe des Strahles, auf einem Saiteninstrument, oder an einer Glocke oder Stimmgabel erregt, zu bewerkstelligen im Stande seyn. Und eben so wird der Act des Losreißens jener Schichten sich noch nach gering differirenden Amplituden jener mitgetheilten Erzitterungen richten, ganz wie sich dieses Phänomen in akustischen Versuchen unendlich oft wiederholt.

Ohne Mühe ist hieraus erklärlich, daß der Ton derselbe bleibt, mag man die Membran näher oder entfernter von der Oeffnung dem Strahl entgegenstellen, denn immer wird in gleicher Zeit eine gleiche Anzahl von Tropfen die Membran treffen, nur wird der Ton stärker seyn, wenn die Membran entfernter von der Oeffnung den Strahl durchschneidet, weil die Tropfen dann mit größerer lebendiger Kraft auffallen.

Eine Aenderung von $h$ bewirkt eine größere Geschwindigkeit im ganzen Strahl, daher die respectiven Längen von einer Einschnürung des trüben Strahltheiles zur andern, eben so wie die durch die Tropfen erregte Tonhöhe, sich verhalten werden wie die Quadratwurzeln aus $f(h)$, wenn man verschiedene Strahle bei verschiedener Niveauhöhe der Flüssigkeit im Gefäße betrachtet. Die Tonhöhe wird gleich bleiben, und die Entfernungen der ersten Einschnürung von der zweiten, der zweiten von der dritten u. s. f. werden sich wie die Quadratwurzeln aus $f(x)$ verhalten, wenn man ein und denselben Strahltheil betrachtet.

Die Ausflußmenge wird sich nicht ändern, mag die Gestalt des Strahles ein Ansehen haben, welches es will, auch wird sich die früher discutirte, unter dem Namen Vena contracta bekannte Eigenschaft, wie leicht zu sehen, nicht ändern.

Ich finde diese Ansicht über das Verhalten des Strahles so natürlich, daß ich sie kaum erwähnt haben würde, wenn nicht eine große Autorität, Felix Savart^[28], welcher zuerst auf dieses Verhalten aufmerksam machte, diese Erscheinungen der Elasticität des Wassers zugeschrieben hätte. Felix Savart war ein zu großer Akustiker, als daß er nicht alle solche Erscheinungen hätte auf elastische Schwingungen zurückführen wollen; er giebt jedoch die Elemente zu dieser meiner Discussion so ausführlich, daß ich sie fast aus den citirten Aufsätzen abgeschrieben habe, und nur die subjectiven Ansichten des großen Physikers wegließ. – Wie sehr er mit seinen niedergelegten Ansichten in Zwiespalt gerieth, beweisen seine Versuche mit aufsteigenden Strahlen. Dieselben lassen sich durch die hier ausgesprochenen Ansichten gleich ungezwungen erklären, während Hr. Savart die Discussion nicht durchführt. Ich füge einige der Figuren aus den erwähnten Aufsätzen bei, an welchen man das Gesagte buchstäblich verfolgen kann, und zwar stellen Fig. 5 und 6 Taf. I Wasserstrahlen aus resp. horizontalen und verticalen Oeffnungen dar, wie sie dem bloßen Auge erscheinen, und Fig. 7 wie der erstere Strahl erscheint bei momentaner Beleuchtung.

11.

Elasticität. Wir nahmen an, das Wasser sey unelastisch, was in Wahrheit nicht der Fall ist, doch ist die Elasticität so gering, daß sie bei unseren gewöhnlichen Druckhöhen, sogar bei denen der beiden Michelotti (20 Fuß), nicht von Einfluß auf die Form des Strahles seyn kann, wie auch schon im vorigen §. behauptet wurde.

12.

Ausfluß aus Gefäßen. Bis jetzt betrachteten wir den Ausfluß aus Oeffnungen in dünner Wand für eine Wassermasse, welche wir als nach zwei Dimensionen unendlich ausgedehnt annahmen. Anders verhält es sich bei unseren Versuchen, wo die ausfließende Wassermasse nach jenen Richtungen durch starre Wände begränzt ist. Wiederholen wir die Figur No. 2 Taf. I und denken uns in $IK$, Fig. 8 Taf. I eine senkrechte Scheidewand eingeschoben. Das Theilchen $S$ trat aus der Oeffnung $F'F$ mit einer Geschwindigkeit aus, als wenn es den Weg $MS$ zurückgelegt hätte; die Kraft, welche es auf den Punkt $L$ ausübt, oder, was dasselbe ist: die Kraft, mit welcher das später einmal in $S$ austretende, jetzt sich in $L$ befindende und nach der Richtung $L\,t$ augenblicklich strebende Theilchen getrieben wird, d. h. $LQ=IL$, wird sich in zwei Theile zerlegen, von denen der eine gegen die Wand senkrechte, $QR$, durch diese aufgehoben wird, und der andere ihr parallele, $LR$, für die Bewegung des Theilchens übrig bleibt. Früher ersetzte sich das Theilchen von $M$ her, mit einer Kraft $IL$, jetzt aus der Richtung $IL$ her, mit einer Kraft $RL$; die Curve der Bewegung wird sonach eine ganz andere werden, wird sich überdem noch dadurch ändern, daß die bewegenden Kräfte derjenigen Theilchen, deren Bewegungsanfangspunkt noch frei ist, gegen die der gestörten Theilchen das Uebergewicht bekommen, – und wir erhalten so eine Complication von Elementen, deren formulare Anordnung noch mancher Ueberlegung bedarf. Soviel ist aber augenscheinlich, daß die Curven der Bewegung der einzelnen Theilchen eine Gestalt haben, ähnlich der, welche d’Alembert, Borda und Lagrange^[29] in die Gleichung einzuführen wünschten, und welche sie etwa wie in Fig. 9 Taf. I verzeichneten, an deren analytischer Bestimmung jedoch ihr scharfer Calcul scheiterte.

Ferner leuchtet ein, daß mit Aenderung der Dimensionen des Gefäßes ein Maximum der Beeinträchtigung erreicht werden muß; denn ist dasselbe von gleicher Weite als die Oeffnung, so wird, auf den ersten Blick ersichtlich ist, die Ausflußmenge diejenige seyn, welche der torricellischen Formel entspricht.

Da es nicht gut thunlich seyn würde mit Wassermengen zu experimentiren, deren zwei Dimensionen gegen die Höhe unverhältnißmäßig groß sind, so wäre es wohl möglich in der Art experimentell meine ausgesprochenen Ansichten zu bestätigen oder zu widerlegen, daß man dem Gefäße die Gestalt eines Systems zum Ausfluß strebender Wasserfäden gebe. Es wäre dazu die Gestalt eines halben Rotationshyperboloïds um die imaginäre Axe in der Art von Fig. 10 Taf. I erforderlich, wo $abcd$ die Wände des Gefäßes und $ab$ die Ausflußöffnung wäre. Es müßte dann, wie leicht zu sehen ist, die Ausflußmenge der Größe:

$M=2\pi {\sqrt {2gh}}\int _{x=0}^{x=Oa}x\,dx{\sqrt[{4}]{\frac {(a^{2}-x^{2})(h^{2}+a^{2}-x^{2})}{h^{2}a^{2}+(a^{2}-x^{2})^{2}}}}$

wo $Oa$ der Halbmesser der Ausflußöffnung ist, nahe kommen.

Die Betrachtung des Ausflusses aus Gefäßen giebt außer dem in der Formel liegenden und in §. 4 discutirten noch einen andern Grund ab, warum der Contractionscoëfficient kleiner wird, wenn die Druckhöhe sich vermehrt (Hachette^[30] fand bei $h=16^{\mathrm {mm} }$ den Coëfficienten $=0{,}69$ und bei $=15^{\mathrm {cm} }$ denselben $=0{,}60$ ). Ein Blick auf Fig. 8 Taf. I macht es nämlich deutlich, daß verhältnißmäßig immer mehr Theilchen in ihrer natürlichen hyperbolischen Bewegung gestört werden, je höher das Niveau in ein und demselben Gefäße über der Oeffnung ist; daß also auch in dem Maaße mehr Kraft verloren geht, und somit auch verhältnißmäßig desto weniger ausfließt.

(Schluß im nächsten Heft.)

1. Principia Math. phil. nat. Lib. II Sect. VII prop. 36 probl. 8.^{[WS 1]}
2. Phil. Transact. 1795, p. 24–45, und 1798, p. 1–14. – Auszug in Gren’s und Gilbert’s Ann. 1799, Bd. II S. 401.^{[WS 2]}
3. Franz Dan. Michelotti’s hydraulische Versuche, nebst einem Anhange, welcher die Versuche von Joh. Terese Michelotti enthält. Uebersetzt von Zimmermann, mit Anm. von Eytelwein. Berlin 1808. 4º. S. 236 ff. und 241.^{[WS 3]}
4. Hydrodynamica. Argenti 1738. 4. p. 42.^{[WS 4]}
5. Traité de l’equilibre et du mouvement des fluides. 1744, 4º. – Essais sur la résistance des fluides. 1752, 4º. – Opuscules mathématiques, T. VI, 1773, et T. VIII, 1780. 4º.^{[WS 5]}
6. Opusc. math. VIII, p. 63–73.^{[WS 6]}
7. Mémoire sur l’écoulement des fluides par les orifices des vases, par Chev. Borda. Histoire de l’Acad. des sc. 1766. Paris 1769. p. 579 sq.^{[WS 7]}
8. Acad. de Turin 1762.^{[WS 8]}
9. Principes d’hydraulique, par M. le Chev. du Buat. Nouv. ed. Paris 1786. 2. Vol. 8º. Vol. I S. 1 §. 5.^{[WS 9]}
10. Versuche über die Flüssigkeit des Wassers bei verschiedenen Temperaturen; von Ph. Gerstner. Gilb. Ann. (1800), Bd. V S. 160.^{[WS 10]}
11. Sur le principe de la communication laterale du mouvement dans les fluides, par J. B. Venturi. Paris an VI (1797). 8º. Addition.^{[WS 11]}
12. … Relatif à l’ecoulem. des fluides etc., par Hachette. Ann. de chimie et physique, I (1816) p. 202, et III (1816) p. 78.^{[WS 12]}
13. Die Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung flüssiger Körper, von L. Euler, mit Anmerkungen und Zusätzen von Brandes. Leipzig 1806. 8º. 2 Bände, 2r Th. 2e Abth. 2r Abschn. §. 296.^{[WS 13]}
14. Hydrodyn. Sect. 4, §. 3.
15. Traité theorique et experimental d’Hydrodynamique, par Ch. Bossut. Nouv. ed. Paris an IV (1795). 2 T. 8º. T. II Chap. I.^{[WS 14]}
16. Versuche über die unvollkommene Contraction des Wassers beim Ausfluß desselben aus Röhren und Gefäßen, angestellt von J. Weißbach, Leipzig 1843. 4º.^{[WS 15]}
17. Ueber das Phänomen der Contraction bei der Bewegung flüssiger Körper durch enge Oeffnungen der Gefäße, von H. Buff. Poggendorf’s Annalen (1839), Bd. XXXXVI S. 227.^{[WS 16]}
18. Comptes rendus, XVIII, p. 85. 1844.^{[WS 17]}
19. Turiner Memoiren (?).^{[WS 18]}
20. Leçons lithographiées de l’école des ponts et chaussées. 1829.^{[WS 19]}
21. Versuche und Beobachtungen über Prof. Moser’s unsichtbares Licht, von E. Waidele. Poggendorff’s Ann. Bd. LIX (1843) S. 255.^{[WS 20]}
22. Nur die erste Schicht, diejenige nämlich, welche beim Oeffnen des Bodens gerade in der Ebene der Oeffnung befindlich ist, wird senkrecht mit einer Geschwindigkeit $\textstyle {\sqrt {2gh}}$ ausfließen, da für jedes ihrer Theilchen der Winkel $\textstyle F'MF=2$ Rechten, mithin die durch diesen bestimmte Mittelrichtung die senkrechte ist. Aus Bernoulli’s Theorie geht hervor, daß das Maximum der Geschwindigkeit nach unendlich kleiner Zeit eintrete. (Vergleiche Hydrodyn. Sect. IV §. 15 ff.)
23. Gilbert’s Annalen, Bd. V (1800) S. 160^{[WS 22]}, und: Neue Abhandlungen der Königl. böhmischen Gesellschaft d. W., III, Prag 1798; physikalisch-mathematischer Theil, S. 141 bis 160.^{[WS 23]}
24. Vergl. Sur le mouvement de l’eau, en ayant égard à la contraction etc. et à la résistance etc., par Eytelwein (Ann. des mines, Ser. I T. XI (1825), p. 417,^{[WS 24]} oder Abhandlungen der Berliner Acad. d. W. 1814 bis 1815, S. 137 und 178^{[WS 25]}. – Coulomb’s Adhäsionsversuche. Mém. l’Inst. sc. math. et. phys. T. III. Paris 1800. p. 246 und 305^{[WS 26]}.
25. Der Unterschied beträgt nahezu $\textstyle -{\sqrt {2g}}{\frac {y^{2}}{8h^{3/2}}}$, also eine sehr kleine Größe.
26. Bossut, Hydrodynamique, T. II p. 16.
27. In dem oben §. 1 angeführten Werke.^{[WS 29]}
28. Ueber die Beschaffenheit der durch kreisrunde Oeffnungen aus dünner Wand strömenden Flüssigkeitsstrahlen; von Felix Savart. Poggendorff’s Annalen, Bd. XXXIII (1834) S. 451 und 520.^{[WS 31]} Figuren in Bd. XXXI.^{[WS 32]} – Ann. de chim. et de phys. T. LIII p. 337.^{[WS 33]}
29. Die §. 1 angeführten Stellen.
30. In den angeführten Schriften.

Anmerkungen (Wikisource)

1. Mathematische Principien der Naturlehre, dt. Übersetzung von Wolfers (1872) S. 326
2. Samuel Vince: Observations on the Theory of the Motion and Resistance of Fluids. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Bd. 85 (1795), S. 24 Google – Experiments upon the Resistance of Bodies moving in Fluids. In: Philosophical Transactions, of the Royal Society of London. Bd. 88 (1798), S. 1 Google – Bemerkungen über die Bewegung und den Widerstand flüssiger Körper. In: Annalen der Physik. Band 2, Rengersche Buchhandlung, Halle 1799, S. 401 Quellen, Internet Archive
3. Franciscus Dominicus Michelotti’s Hydraulische Versuche zur Begründung und Beförderung der Theorie und Practik. Aus dem Italienischen von C. G. Zimmermann. Realschulbuchhandlung, Berlin 1808 Google
4. Daniel Bernoulli: Hydrodynamica, sive de viribus et motibus fluidorum commentarii. Argentorati 1738 Google
5. d’Alembert: Traité de l’équilibre et du mouvement des fluides. David, Paris 1744 Google
6. d’Alembert: Opuscules mathématiques, ou Mémoires sur différens Sujets de Géométrie, de Méchanique, d’Optique, d’Astronomie, &c. Jombert, Paris 1780, Bd. 8, S. 63 Google
7. de Borda: Mémoire sur l’écoulement des fluides par les orifices des vases. In: Histoire de l’Academie royale des sciences. Paris 1766, S. 579 Gallica
8. de la Grange: Solution de différens problêmes de calcul intégral. In: Mélanges de philosophie et de mathématique de la Société royale de Turin. 1762–1765 (Bd. 3), S. 179 Google
9. du Buat: Principes d’hydraulique, vérifiés par un grand nobre d’expériences faites par ordre du Gouvernement. Paris 1786, Bd. 1, S. 1 Google
10. Gerstner: Versuche über die Flüssigkeit des Wassers bei verschiedenen Temperaturen. In: Annalen der Physik. Band 5, Rengersche Buchhandlung, Halle 1800, S. 160 Quellen
11. J. B. Venturi: Recherches expérimentales sur le principe de la communication latérale du mouvement dans les fluides. Houel et Ducros / Théophile Barrois, Paris 1797 Google
12. Annales de chimie et de physique. Crochard, Paris 1816, Bd. 1, S. 202 Oxford
13. Leonhard Euler, H. W. BrandesADB: Die Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung flüssiger Körper. Siegfried Lebrecht Crusius, Leipzig 1806 MPIWG Berlin
14. Charles Bossut: Traité théorique et expérimental d’hydrodynamique. Bd. 2. Neue Ausgabe. Laran, Paris 1796 Google
15. Julius Weisbach: Versuche über die unvollkommene Contraction des Wassers beim Ausfluss desselben aus Röhren und Gefässen (= Untersuchungen in dem Gebiete der Mechanik und Hydraulik auf eigene Beobachtungen und Versuche gegründet. 2. Abt.). Weidmann’sche Buchhandlung, Leipzig 1843 Google
16. H. Buff: Ueber das Phänomen der Contraction bei der Bewegung flüssiger Körper durch enge Oeffnungen der Gefäße. In: Annalen der Physik und Chemie. Band 122, Joh. Ambr. Barth, Leipzig 1839, S. 227 Quellen
17. Baeyer: Aperçu général d’une théorie de la contraction des veines d’eau lancées par des orifices en minces parois planes. In: Compte rendu des séances de l’Académie des sciences. Bd. 18 (1844), S. 85 Gallica
18. George Bidone: Expériences sur divers cas de la contraction de la veine fluide, et remarque sur la manière d’avoir égard à la contraction dans le calcul de la dépense des orifices. In: Memorie della reale Accademia delle scienze di Torino. Bd. 27 (1823), S. 83 Biodiversity Heritage Library
19. die Notiz befindet sich auf S. 122 in: Repertorium der Physik. 1. Band. Herausgegeben von Heinrich Wilhelm Dove und Ludwig Moser. Veit & Comp., Berlin 1837 Google
20. Erwin Waidele: Versuche und Beobachtungen über Prof. Moser’s unsichtbares Licht. In: Annalen der Physik und Chemie. Band 135, Joh. Ambr. Barth, Leipzig 1843, S. 255 Quellen
21. Diese Zeile betreffend gibt es im folgenden Band 64 eine Berichtigung. Gallica
22. Franz Josef von Gerstner: Versuche über die Flüssigkeit des Wassers bei verschiedenen Temperaturen. In: Annalen der Physik. Band 5, Rengersche Buchhandlung, Halle 1800, S. 160 Quellen
23. Versuche über die Flüssigkeit des Wassers bey verschiedenen Temperaturen. In: Neuere Abhandlungen der königlichen Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. Bd. 3 (1798), S. 141 Google
24. Eytelwein: Sur le mouvement de l’eau, en ayant égard à la contraction qui a lieu au passage par divers orifices, et à la résistance qui retarde le mouvement le long des parois des vases. In: Annales des mines, ou Recueil de mémoires sur l’exploitation des mines, et sur les sciences qui s’y rapportent. Bd. 11 (1825), S. 417 MINES ParisTech
25. Untersuchungen über die Bewegung des Wassers, wenn auf die Contraction, welche beim Durchgange durch verschiedene Oeffnungen statt findet und auf den Widerstand, welcher die Bewegung des Wassers längs den Wänden der Behältnisse verzögert, Rücksicht genommen wird. In: Abhandlungen der mathematischen Klasse der Königlich-Preußischen Akademie der Wissenschaften aus den Jahren 1814–1815. (1818) S. 137 Biodiversity Heritage Library
26. Coulomb: Expériences Destinées à déterminer la cohérence des fluides et les lois de leur résistance dans les mouvemens très-lents. In: Mémoires de l’Institut national des sciences et arts. Sciences mathématiques et physiques. Bd. 3 (1800), S. 246 Madrid
27. „als“ ist zu streichen laut Berichtigung im folgenden Band 64. Gallica
28. Vorlage: respecitve
29. dort nicht angeführt: Poncelet, Lesbros: Expériences hydrauliques sur les lois de l’écoulement de l’eau à travers les orifices rectangulaires verticaux à grandes dimensions. Imprimerie Royale, Paris 1832 e-rara.ch
30. Vorlage: Tou
31. Felix Savart: Ueber die Beschaffenheit der durch kreisrunde Oeffnungen aus dünner Wand strömenden Flüssigkeitsstrahlen. In: Annalen der Physik und Chemie. Band 109, Joh. Ambr. Barth, Leipzig 1834, S. 451 Quellen
32. Bd. 107 (1834), Tafel III Gallica
33. Félix Savart: Mémoire sur la Constitution des Veines liquides lancées par des orifices circulaires en mince paroi. In: Annales de chimie et de physique. Bd. 53 (1833), S. 337 Gallica