Seite:Relativitaetsprinzip (Lorentz).djvu/46

	Hendrik Antoon Lorentz: Das Relativitätsprinzip

mit den entsprechenden Größen mit Strich vertauscht, und umgekehrt, und dabei zugleich b mit -b. Dabei ist

$\omega '=a+{\frac {b\mathbf {v} '_{z}}{c}}={\frac {1}{\omega }}.\,$

3. Anwendung des Relativitätsprinzips auf zwei einander anziehende materielle Punkte.

Falls die Wirkung des zweiten Punktes auf den ersten durch das in (45) und (46) gegebene Gesetz bestimmt wird, so sind die Komponenten der auf 1 wirkenden Kraft, wenn 2 sich in dem Koordinatenursprung befindet, und x, y, z die Koordinaten von 1 sind,

(19)

${\begin{cases}\mathbf {F} _{x}=-{\frac {x}{r}}\left[R+{\frac {1}{c^{2}}}\left\{{\frac {1}{2}}v_{2}^{2}R+{\frac {1}{2}}\mathbf {v} _{2r}^{2}\left(r{\frac {dR}{dr}}-R\right)-v_{1}v_{2}\cos(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})R\right\}\right]\\\qquad +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} _{1r}R\mathbf {v} _{2x},\ \mathrm {usw} .\end{cases}}$

Wir werden nun zeigen, daß, falls diese Beziehungen gelten im System x, y, z, t, aus ihnen Gleichungen derselben Gestalt in dem durch (6) bestimmten System x’, y’, z’, t’ abgeleitet werden können, wenn man nämlich dabei Glieder, welche mit Bezug auf die Geschwindigkeiten von höherer als der zweiten Größenordnung sind, vernachlässigt, und ebenso Glieder, in denen die zweiten Potenzen oder Produkte von Geschwindigkeiten mit Beschleunigungen oder höheren Differentialquotienten nach der Zeit multipliziert sind.

Wir können sogar zeigen, daß die Formeln (19) „invariant“ sind nicht nur bei der durch (6) bestimmten Transformation, sondern auch bei einer mehr allgemeinen, welche wir die „allgemeine Relativitätstransformation“ nennen werden. Der Transformation (6) geben wir den Namen „spezielle Relativitätstransformation“.

Schreiben wir einfachheitshalber statt $x,\ y,\ z,\ ct:\ x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4}\,$ und ebenso statt $x',\ y',\ z',\ ct':\ x'_{1},\ x'_{2},\ x'_{3},\ x'_{4}\,$, so wird die allgemeine Relativitätstransformation bestimmt durch

(20)

${\begin{cases}x'_{1}=\alpha _{11}x_{1}+\alpha _{12}x_{2}+\alpha _{13}x_{3}+\alpha _{14}x_{4},\\x'_{2}=\alpha _{21}x_{1}+\alpha _{22}x_{2}+\alpha _{23}x_{3}+\alpha _{24}x_{4},\\x'_{3}=\alpha _{31}x_{1}+\alpha _{32}x_{2}+\alpha _{33}x_{3}+\alpha _{34}x_{4},\\x'_{4}=\alpha _{41}x_{1}+\alpha _{42}x_{2}+\alpha _{43}x_{3}+\alpha _{44}x_{4},\end{cases}}$

wo die konstanten Koeffizienten solche Werte haben, daß identisch

$x_{1}^{'2}+x_{2}^{'2}+x_{3}^{'2}-x_{4}^{'2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}\,$

ist, und daß die Determinante der Koeffizienten den Wert +1 hat. Außerdem sei $\alpha _{44}\,$ positiv.

Man sieht leicht ein, daß die Transformation (6) als spezieller Fall in (20) enthalten ist, und daß das nämliche gilt für Transformationen, die sich auf die x- oder die y-Achse in derselben Weise beziehen wie (6) auf die z-Achse. Bei all jenen speziellen Relativitätstransformationen

Empfohlene Zitierweise:
Hendrik Antoon Lorentz: Das Relativitätsprinzip. B.G. Teubner, Leipzig und Berlin 1914, Seite 44. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Relativitaetsprinzip_(Lorentz).djvu/46&oldid=- (Version vom 1.8.2018)