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	Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme

Ableitungen auftreten^[1], hat man also die Existenz von $\varrho$ ersten Integralen. Daß unter diesen nicht-lineare Abhängigkeiten bestehen können, zeigt wieder das obige $f$. Den linear-unabhängigen $\Delta u=\varepsilon _{1}$, $\Delta x=\varepsilon _{2}$ entsprechen die linear-unabhängigen Relationen: $u''={\frac {d}{dx}}u';\ u''\cdot u'={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dx}}(u')^{2}$; während zwischen den ersten Integralen $u'=\mathrm {const.} ;$ $u'^{2}=\mathrm {const.}$ eine nichtlineare Abhängigkeit besteht. Dabei handelt es sich um den elementaren Fall, daß $\Delta u,\ \Delta x$ keine Ableitungen der $u$ enthalten^[2].

§ 4. Umkehrung im Fall der unendlichen Gruppe.

Vorerst sei gezeigt, daß die Annahme der Linearität von $\Delta x$ und $\Delta u$ keine Einschränkung vorstellt, was sich hier schon ohne Umkehrung aus der Tatsache ergibt, daß ${\mathfrak {G}}_{\infty \varrho }$ von $\varrho$ und nur willkürlichen Funktionen formal abhängt. Es zeigt sich nämlich, daß im nichtlinearen Fall bei Zusammensetzung der Transformationen, wobei die Glieder niedrigster Ordnung sich addieren, die Anzahl der willkürlichen Funktionen zunehmen würde. In der Tat, sei etwa

$y=A\left(x,u,{\frac {\partial u}{\partial x}},\dots ;p\right)=x+\sum a(x,u,\dots )p^{\nu }+b(x,u,\dots )p^{\nu -1}{\frac {\partial p}{\partial x}}$

$+cp^{\nu -2}\left({\frac {\partial p}{\partial x}}\right)^{2}+\dots +d\left({\frac {\partial p}{\partial x}}\right)^{\nu }+\dots \ \left(p^{\nu }=\left(p^{(1)}\right)^{\nu _{1}}\dots \left(p^{(\varrho )}\right)^{\nu _{\varrho }}\right);$

und entsprechend $v=B\left(x,u,{\frac {\partial u}{\partial x}},\dots ;p\right)$, so kommt durch Zusammensetzung mit $z=A\left(y,v,{\frac {\partial v}{\partial y}},\dots ;q\right)$ für die Glieder niedrigster Ordnung:

$s=x+\sum a\left(p^{\nu }+q^{\nu }\right)+b\left\{p^{\nu -1}{\frac {\partial p}{\partial x}}+q^{\nu -1}{\frac {\partial q}{\partial x}}\right\}$

$+c\left\{p^{\nu -2}\left({\frac {\partial p}{\partial x}}\right)^{2}+q^{\nu -2}\left({\frac {\partial q}{\partial x}}\right)^{2}\right\}+\dots .$

Ist hier irgend ein von $a$ und $b$ verschiedener Koeffizient von Null verschieden, kommt also ein Term: $p^{\nu -\sigma }\left({\frac {\partial p}{\partial x}}\right)^{\sigma }+q^{\nu -\sigma }\left({\frac {\partial q}{\partial x}}\right)^{\sigma }$ wirklich

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1. Sobald $f$ nichtlinear in den $\varkappa$-ten Ableitungen ist.
2. Sonst hat man noch $u'^{\lambda }=\mathrm {const} .$ für jedes $\lambda$, entsprechend:
   $u''\cdot (u')^{\lambda -1}={\frac {1}{\lambda }}{\frac {d}{dx}}(u')^{\lambda }$

Empfohlene Zitierweise:
Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse, Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1918, Seite 246. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/12&oldid=- (Version vom 1.8.2018)