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	Hans Heinrich Euler: Über die Streuung von Licht an Licht nach der Diracschen Theorie

Das Matrixelement (5,13) ist eine Summe von Produkten aus Zählern $Z_{\mu }$, welche die zusammengesetzten Matrixelemente (5,15), und reziproken Nennern $1/N_{\mu }$, welche Energiedifferenzen bedeuten (5,14).

Schon in den Zählern kann über die Permutation der Polarisationen (II: $p_{y}\rightarrow p_{z},\ p_{z}\rightarrow p_{y}$) summiert werden, weil die Polarisationsrichtungen $p_{y}$ und $p_{z}$ nur im Zähler und nicht in den Nennern Vorkommen und weil die nachfolgende Mittelung über die Winkel von ${\mathfrak {p}}$ diese beiden Polarisationsrichtungen nicht unterscheidet $\left({\overline {{p_{y}}^{2}{p_{x}}^{n}}}={\overline {{p_{z}}^{2}{p_{x}}^{n}}}\right)$. Man kann also schon im Zähler $p_{y}^{2}=p_{z}^{2}$ setzen (in Ausdrücken 2. Ordnung von $y$).

Über die Permutation der Lichtquantenenergien kann schon im reziproken Nenner $1/N_{\mu }$ (5,14) summiert werden, weil sie im Zähler (5,15) nicht vorkommen, d. h. man kann nach Ausrechnung der reziproken Nenner alle ungeraden Potenzen von $g$ streichen.

Die Permutation der Impulse aber (I: ${\mathfrak {g}}\rightarrow -{\mathfrak {g,}}$) kann erst nach Multiplikation der Zähler mit den reziproken Nennern durchgeführt werden, weil ${\mathfrak {g}}$ in beiden vorkommt, d. h. bei dieser Multiplikation sind alle ungeraden Potenzen von ${\mathfrak {g}}_{x}\dots$ fortzulassen.

Nach diesen Vereinfachungen besteht dann die Summation $\sum \limits _{\textrm {Perm}}$ über die 24 Lichtquantenpermutationen nur noch: in der Summation des Matrixelements über die sechs Reihenfolgen (8,8) und der Multiplikation des Resultate mit dem Faktor 4.

Die reziproken Nenner $1/N_{\mu }$ werden, wie man durch Einsetzen der Spezialisierung (8,8, $\epsilon$) in (5,14), Entwicklung nach Lichtfrequenzen$g/mc$, ${\mathfrak {g}}m/c$ bis zur 4. Ordnung und Streichen der ungeraden Potenzen von $g$ findet:

(Die Zahl der $i$ten Zeile und der $k$ten Spalte der Tabelle bedeutet den Beitrag des Entwicklungsgliedes, das ganz oben in der $k$ten Spalte steht, für den Ausdruck, der ganz links in der $i$ten Zeile steht.)

Vgl. Gl. (8,9).

Für die Zähler des Matrixelements im Fall a) erhält man, indem man zur Spezialisierung auf $\bot$ Polarisationen (8,8, $\beta$) in (5,15) einsetzt, die Spur bildet und in den in $p$ quadratischen Gliedern ${p_{z}}^{2}$ durch ${p_{y}}^{3}$ ersetzt:

Für die Reihenfolge: $g^{1}g^{2}g^{3}g^{4}$ und $g^{1}g^{2}g^{4}g^{3}$

${\begin{aligned}Z_{\mu }&=S_{1}+2{p_{y}}^{2}\left[{\frac {{\lambda _{\mu }}^{3}}{{p_{0}}^{1}{p_{0}}^{2}}}-{\frac {{\lambda _{\mu }}^{2}}{{p_{0}}^{3}{p_{0}}^{4}}}-{\frac {{\lambda _{\mu }}^{2}+{\lambda _{\mu }}^{3}}{{p_{0}}^{1}{p_{0}}^{4}}}+{\frac {1}{{p_{0}}^{2}{p_{0}}^{3}}}-{\frac {2{\lambda _{\mu }}^{2}}{{p_{0}}^{1}{p_{0}}^{3}}}\right]\\&-{\frac {1}{{p_{0}}^{1}{p_{0}}^{2}{p_{0}}^{3}{p_{0}}^{4}}}\left[S_{2}+8{p_{y}}^{2}{p_{z}}^{2}+2{p_{y}}^{2}\left[-\left({\mathfrak {p}}^{1}{\mathfrak {p}}^{2}\right)-\left({\mathfrak {p}}^{3}{\mathfrak {p}}^{4}\right)-\left({\mathfrak {p}}^{2}{\mathfrak {p}}^{3}\right)-\left({\mathfrak {p}}^{1}{\mathfrak {p}}^{4}\right)+2\left({\mathfrak {p}}^{2}{\mathfrak {p}}^{4}\right)-2\left(mc\right)^{2}\right]\right]\end{aligned}}$

Für die Reihenfolge: $g^{1}g^{2}g^{3}g^{4}$ und $g^{1}g^{4}g^{3}g^{2}$

${\begin{aligned}Z_{\mu }&=S_{1}+2{p_{y}}^{2}\left[{\frac {{\lambda _{\mu }}^{3}}{{p_{0}}^{1}{p_{0}}^{2}}}-{\frac {{\lambda _{\mu }}^{2}}{{p_{0}}^{3}{p_{0}}^{4}}}-{\frac {{\lambda _{\mu }}^{2}{\lambda _{\mu }}^{3}}{{p_{0}}^{1}{p_{0}}^{4}}}+{\frac {1}{{p_{0}}^{2}{p_{0}}^{3}}}+{\frac {2{\lambda _{\mu }}^{3}}{{p_{0}}^{2}{p_{0}}^{4}}}\right]\\&-{\frac {1}{{p_{0}}^{1}{p_{0}}^{2}{p_{0}}^{3}{p_{0}}^{4}}}\left[S_{2}+8{p_{y}}^{2}{p_{z}}^{2}+2{p_{y}}^{2}\left[-\left({\mathfrak {p}}^{1}{\mathfrak {p}}^{2}\right)-\left({\mathfrak {p}}^{3}{\mathfrak {p}}^{4}\right)-\left({\mathfrak {p}}^{2}{\mathfrak {p}}^{3}\right)-\left({\mathfrak {p}}^{1}{\mathfrak {p}}^{4}\right)+2\left({\mathfrak {p}}^{1}{\mathfrak {p}}^{3}\right)-2\left(mc\right)^{2}\right]\right]\end{aligned}}$.

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Hans Heinrich Euler: Über die Streuung von Licht an Licht nach der Diracschen Theorie. , 1936, Seite 430. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Hans_Euler_%C3%9Cber_die_Streuung_von_Licht_an_Licht_nach_der_Diracschen_Theorie_1936.pdf/35&oldid=- (Version vom 1.8.2018)