Seite:Hans Euler Über die Streuung von Licht an Licht nach der Diracschen Theorie 1936.pdf/28

	Hans Heinrich Euler: Über die Streuung von Licht an Licht nach der Diracschen Theorie

Das Glied nullter Ordnung in der Entwicklung des Matrixelements $H_{in}^{4}$ nach Lichtfrequenzen $g^{i}/mc$ verschwindet, weil der Anteil, der vom Glied der gewöhnlichen Kopplung $V^{1}$ gebildet wird, vom Heisenbergschen Subtraktionsglied $V_{in}^{4}$ aufgehoben wird, wie wir im folgenden zeigen:

In nullter Ordnung sind die Nenner (5,14):

(6,1)

$N_{1}=N_{2}=N_{3}=N_{4}={p_{0}}^{3},\quad N_{5}=N_{6}=2{p_{0}}^{3}$

Die hierdurch dividierten Zähler (5,15):

(6,2)

$\left\{{\begin{aligned}&\sum \limits _{\mathrm {Perm} }\sum \limits _{\mu }{\frac {Z_{\mu }}{N_{\mu }}}=\sum \limits _{\mathrm {Perm} }\sum \limits _{\mu }{\frac {1}{N_{\mu }}}{\frac {\textrm {Spur}}{4}}{\lambda _{\mu }}^{2}{\lambda _{\mu }}^{3}\\\cdot &\left(\alpha {\mathfrak {e}}^{1}\right)\left(1-{\frac {\left(\alpha {\mathfrak {p}}\right)+\beta mc}{p_{0}}}\right)\left(\alpha {\mathfrak {e}}^{2}\right)\left(1-\lambda ^{2}{\frac {\left(\alpha {\mathfrak {p}}\right)+\beta mc}{p_{0}}}\right)\\\cdot &\left(\alpha {\mathfrak {e}}^{3}\right)\left(1-\lambda ^{3}{\frac {\left(\alpha {\mathfrak {p}}\right)+\beta mc}{p_{0}}}\right)\left(\alpha {\mathfrak {e}}^{4}\right)\left(1+{\frac {\left(\alpha {\mathfrak {p}}\right)+\beta mc}{p_{0}}}\right)\end{aligned}}\right.$

werden nach Spurbildung und Summation über die 6 Fälle $\mu$:

(6,3)

$=\sum \limits _{\mathrm {Perm} }{\frac {-8}{{p_{0}}^{3}}}\left[\left({\mathfrak {e}}^{1}{\mathfrak {e}}^{2}\right)\left({\mathfrak {e}}^{3}{\mathfrak {e}}^{4}\right)-6{\frac {\left({\mathfrak {pe}}^{1}\right)\left({\mathfrak {pe}}^{2}\right)\left({\mathfrak {e}}^{3}{\mathfrak {e}}^{4}\right)}{{p_{0}}^{2}}}+5{\frac {\left({\mathfrak {pe}}^{1}\right)\left({\mathfrak {pe}}^{2}\right)\left({\mathfrak {pe}}^{3}\right)\left({\mathfrak {pe}}^{4}\right)}{{p_{0}}^{4}}}\right]$

Um den Vergleich dieses gewöhnlichen Gliedes mit dem Subtraktionsglied (5,9) durchzuführen, formt man es nach Heisenberg um in eine totale Ableitung

(6,4)

$\left\{{\begin{aligned}={\frac {8}{3}}\sum \limits _{\mathrm {Perm} }&\left({\mathfrak {e}}^{1}{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {p}}}}\right)\left({\mathfrak {e}}^{2}{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {p}}}}\right)\left({\mathfrak {e}}^{3}{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {p}}}}\right)\left({\mathfrak {e}}^{4}{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {p}}}}\right)p_{0},\\&\left(\left({\mathfrak {e}}^{1}{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {p}}}}\right)={{\mathfrak {e}}_{x}}^{1}{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {p}}_{x}}}+{{\mathfrak {e}}_{y}}^{1}{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {p}}_{y}}}+{{\mathfrak {e}}_{z}}^{1}{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {p}}_{z}}}\right)\end{aligned}}\right.$

und geht vom Matrixelement (6,4) zur entsprechenden (in $\xi \pm {\mathfrak {r}}$) gemischten Energiedichte über:

${\begin{aligned}&C\int d{\mathfrak {p}}\sum \limits _{\mathrm {Perm} }\sum \limits _{\mu }{\frac {Z_{\mu }}{N_{\mu }}}\rightarrow C\int e^{{\frac {i}{\hbar }}({\mathfrak {pr}})}\sum \limits _{\mathrm {Perm} }\sum \limits _{\mu }{\frac {Z_{\mu }}{N_{\mu }}}d{\mathfrak {p}}\\=&{\frac {8}{3}}C\sum \limits _{\mathrm {Perm} }\int e^{{\frac {i}{\hbar }}({\mathfrak {pr}})}\left({\mathfrak {e}}^{1}{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {p}}}}\right)\left({\mathfrak {e}}^{2}{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {p}}}}\right)\left({\mathfrak {e}}^{3}{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {p}}}}\right){\mathfrak {e}}^{4}\left({\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {p}}}}\right)p_{0}d{\mathfrak {p}}\\=&-{\frac {64\pi }{3}}C\sum \limits _{\mathrm {Perm} }{\frac {\left({\mathfrak {e}}^{1}{\mathfrak {r}}\right)\left({\mathfrak {e}}^{2}{\mathfrak {r}}\right)\left({\mathfrak {e}}^{3}{\mathfrak {r}}\right)\left({\mathfrak {e}}^{4}{\mathfrak {r}}\right)}{|{\mathfrak {r}}|^{4}}}=-\left(g^{1}g^{2}\left|V^{4}\right|-g^{3}-g^{4}\right).\end{aligned}}$

$\left[\int p_{0}e^{{\frac {i}{\hbar }}({\mathfrak {pr}})}d{\mathfrak {p}}=-{\frac {8\pi \hbar ^{4}}{|{\mathfrak {r}}|^{4}}}\right.$ wenn man das Integral künstlich konvergent macht, und für $|{\mathfrak {r}}|\ll {\frac {\hbar }{mc}}$berechnet.${\Bigg ]}$ Damit ist die Behauptung

Empfohlene Zitierweise:
Hans Heinrich Euler: Über die Streuung von Licht an Licht nach der Diracschen Theorie. , 1936, Seite 423. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Hans_Euler_%C3%9Cber_die_Streuung_von_Licht_an_Licht_nach_der_Diracschen_Theorie_1936.pdf/28&oldid=- (Version vom 1.8.2018)