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	Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln

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Führen wir die Bezeichnungen ${\mathit {\Omega }}\,$ und ${\mathit {\Theta }}\,$ ein für die Strömungen längs der Breiten- und Meridiankreise in Richtung der wachsenden $\theta \,$ und $\omega ,\,$ so haben wir:

${\begin{aligned}{\mathit {\Omega }}&=-{\frac {1}{R}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\\{\mathit {\Theta }}&=-{\frac {1}{R\ \sin \theta }}{\frac {d\psi }{\partial \omega }}\end{aligned}}\,$

${\begin{aligned}u&={\mathit {\Theta }}\ \cos \theta \ \cos \omega +\Omega \ \sin \omega \\v&={\mathit {\Theta }}\ \cos \theta \ \sin \omega -\Omega \ \cos \omega \\w&=-{\mathit {\Theta }}\ \sin \theta .\end{aligned}}\,$

Setzt man hierin den angeführten Werth von $\psi _{ni}\,$ ein, so erhält man:

${\begin{aligned}u&={\frac {A}{R}}\lbrace -\cos i\omega \ \cos \omega (iP_{ni}\ {\text{cotg }}\theta )+\sin i\omega \ \sin \omega P'_{ni}\rbrace \\v&={\frac {A}{R}}\lbrace -\cos i\omega \ \sin \omega (iP_{ni}\ {\text{cotg }}\theta )-\sin i\omega \ \cos \omega P'_{ni}\rbrace \\w&={\frac {A}{R}}i\ \cos i\omega \ P_{ni}.\end{aligned}}\,$

Nun ist aber:

${\begin{aligned}iP_{ni}\ {\text{cotg }}\theta &={\tfrac {1}{2}}(P_{n,i+1}+(n+i)(n-i+1)P_{n,i-1}\\P'_{ni}&={\tfrac {1}{2}}(-P_{n,i+1}+(n+i)(n-i+1)P_{n,i-1}).\end{aligned}}\,$

Durch Einsetzung dieser Werthe in $u\ v\ w\,$ folgt:

${\begin{aligned}u&=-{\frac {A}{2R}}\lbrace \cos(i+1)\omega \ P_{n,i+1}+(n+1)(n-i+1)\ \cos(i-1)\omega \ P_{n,i+1}\rbrace \\v&=-{\frac {A}{2R}}\lbrace \sin(i+1)\omega \ P_{n,i+1}-(n+1)(n-i+1)\ \sin(i-1)\omega \ P_{n,i+1}\rbrace \\w&=\quad {\frac {A}{R}}i\cos i\omega \ P_{ni}.\end{aligned}}\,$

Hierdurch sind die $u\ v\ w\,$ nach Kugelflächenfunktionen entwickelt. In gleicher Form denken wir uns die $u\ v\ w\,$ für alle Glieder bestimmt, und den Ausdruck

$\int (u^{2}+v^{2}+w^{2})\ ds\,$

Empfohlene Zitierweise:
Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln, Berlin 1880, Seite 59. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:De_Induction_in_rotirenden_Kugeln_(Hertz)_060.png&oldid=- (Version vom 31.7.2018)