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	Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln

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Wir beschränken die Untersuchung auf ein Glied dieser Reihe, und sei also:

$Y_{n}=A_{ni}\cos i\omega \ P_{ni}.\,$

Dann haben wir:

${\begin{aligned}{\mathit {\Omega _{i}}}=&A_{ni}\left({\frac {\varrho }{R}}\right)^{n}P_{ni}\left\lbrace {\frac {4\pi R\omega i}{(2n+1)k}}\sin i\omega -\left({\frac {4\pi R\omega i}{(2n+1)k}}\right)^{2}\cos i\omega \right.\\&-\left.\left({\frac {4\pi R\omega i}{(2n+1)k}}\right)^{3}\sin i\omega +\left({\frac {4\pi R\omega i}{(2n+1)k}}\right)^{4}\cos i\omega +\ldots \right\rbrace .\end{aligned}}\,$

Setzen wir zur Abkürzung

${\frac {4\pi R\omega i}{(2n+1)k}}=h,(h\,$ ist eine reine Zahl$)\,$

so wird jetzt:

${\begin{aligned}{\mathit {\Omega _{i}}}=&A_{ni}\left({\frac {\varrho }{R}}\right)^{n}P_{ni}(\sin i\omega -h\cos i\omega )\\&\times (1-h^{2}+h^{4}-h^{6}+\ldots )h.\end{aligned}}\,$

Ist $h\,$ ein ächter Bruch, so convergirt die in $\Omega \,$ enthaltene Reihe und wir erhalten:

${\begin{aligned}{\mathit {\Omega _{i}}}&=A_{ni}\left({\frac {\varrho }{R}}\right)^{n}{\frac {h}{1+h^{2}}}(\sin i\omega -h\cos i\omega )P_{ni}\\{\mathit {\Omega _{a}}}&=-{\frac {n}{n+1}}A_{ni}\left({\frac {R}{\varrho }}\right)^{n+1}{\frac {h}{1+h^{2}}}(\sin i\omega -h\cos i\omega )P_{ni}\\\psi &=-{\frac {2n+1}{4\pi (n+1)}}{\frac {h}{1+h^{2}}}(\sin i\omega -h\cos i\omega )P_{ni}.\end{aligned}}\,$

Ist $h>1\,$^[1], so divergirt die in $\Omega \,$ vorkommende Reihe, und die Auffassung des Phänomens als einer Reihe successiver Inductionen ist nicht mehr zulässig, da jede folgende grösser als die vorhergehende werden würde.

Nichtsdestoweniger gelten die aufgestellten Formeln für jedes $h,\,$ wie man leicht a posteriori verificirt und auch durch dieselben Schlüsse ableiten kann, welche wir bei Hohlkugeln

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1. Eine kupferne Hohlkugel von 50 mm Radius, 2mm Wandstärke, muss beiläufig ca. 87 Umdrehungen in der Sekunde machen, damit für $i=1,n=1,h=1\,$ werde.

Empfohlene Zitierweise:
Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln, Berlin 1880, Seite 19. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:De_Induction_in_rotirenden_Kugeln_(Hertz)_020.png&oldid=- (Version vom 31.7.2018)