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Zähler und Nenner keinen der Primfaktoren , , , … enthalten und daher zu prim sind; das gleiche gilt somit von der Zahl . Wir setzen , wo eine ganze algebraische zu prime Zahl und eine ganze rationale Zahl bedeutet. Der Körper wird mithin auch durch die beiden Zahlen und bestimmt. Die Partialdiskriminante der Zahl ist in bezug auf , und da zu prim ist, so ist mithin die Partialdiskriminante von in bezug auf prim zu . Da andrerseits die Diskriminante von nicht durch teilbar ist, so ist auch die Diskriminante von und folglich auch die Diskriminante des Körpers prim zu , was unserer Annahme widerspricht.

In ähnlicher Weise schließen wir die Richtigkeit unseres Satzes bei ungeradem , wenn der Exponent beliebig angenommen wird. Wir setzen unter Beibehaltung der in Satz 1 angewandten Bezeichnungsweise und , wo eine Primitivzahl nach bedeuten möge. Es sei ein idealer Primfaktor der in der Diskriminante von , aufgehenden Primzahl in . Nehmen wir nach an, so liegt, wie die Theorie des Kreiskörpers lehrt, das Primideal jedenfalls auch in dem Unterkörper , d. h. es ist und ebenso gelten für die zu in konjugierten Primideale , … die Gleichungen , …. Da Primitivzahl nach ist, so wird nach und mithin lassen sich 3 ganze ganzzahlige Funktionen , , der Variablen derart bestimmen, daß

ist; hieraus folgt insbesondere, wenn die in Satz 1 bestimmte Zahl bedeutet

,

wo eine Zahl in bedeutet. Wegen der vorhin bewiesenen Eigenschaft der Primideale , , … ist und folglich auch eine Zahl, deren Zähler und Nenner zu prim ausfallen. Wir können daher die letztere Zahl setzen, wo eine ganze algebraische zu prime Zahl und eine ganze rationale Zahl bedeutet. Es ist folglich , und daraus ergibt sich , wo ebenfalls in liegt. Da der durch und bestimmte Körper mit demjenigen Körper identisch ist, welcher durch Zusammensetzung aus und entsteht, und da die Partialdiskriminante der Zahl in bezug auf den zu primen Wert besitzt, so ist die Partialdiskriminante des Körpers in bezug auf prim zu . Andererseits ist die Diskriminante von ebenfalls nicht durch teilbar, und folglich gilt das gleiche auch von den Diskriminanten des Körpers

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 57. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/74&oldid=- (Version vom 18.8.2016)