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in welcher

, …, (4)

wird. Da die Kugel bei Anwendung dieser Substitution (3) unverändert bleibt, so geht das Integral der Formel (1) nach Einführung der Integrationsvariabeln , …, über in

;

hierin ist offenbar das 5-fache Integral eine von , …, unabhängige positive Zahl; setzen wir dieselbe gleich , so folgt die Formel (1) des Satzes I.

Satz II. Es sei wiederum eine beliebige positive ganze Zahl, dann gilt identisch in den 5 Variabeln , …, eine Formel von der Gestalt

; (5)

dabei ist zur Abkürzung

gesetzt, ferner bedeuten , …, gewisse positive rationale, durch bestimmte Zahlen und , …, gewisse ganze, ebenfalls nur durch bestimmte Zahlen.

Der Beweis gründet sich auf die in Satz I aufgestellte Integralformel; von der letzteren ausgehend werden wir durch eine Reihe von Schritten schließlich zu der in Satz II behaupteten arithmetischen Identität gelangen.

Der erste Schritt besteht in der Approximation des 5-fachen Integrales

durch eine endliche Summe. Wir denken uns zu dem Zwecke den 5-dimensionalen Raum der Variabeln in 5-dimensionale Würfel von der Kantenlänge zerlegt. Da der Bereich ganz im Endlichen gelegen ist, so fällt nur eine endliche Anzahl dieser Würfel ins Innere von . Bilden wir sodann für den Mittelpunkt eines jeden dieser Würfel den linearen Ausdruck

,

multiplizieren denselben mit dem Inhalt des Würfels sowie mit dem positiven Werte von , so entsteht aus dem Integral eine Summe von der Gestalt

, (6)

wo die gewisse lineare Funktionen von , …, bedeuten, deren Koeffizienten noch von abhängen; zugleich gilt die Limesgleichung

.
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 512. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/529&oldid=- (Version vom 20.2.2017)