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folgenden zwei Fälle, je nachdem ein nichtprimäres oder ein primäres Primideal ist.

Im ersteren Falle erweist sich durch eine ähnliche Betrachtung, wie sie im dritten Teile des Beweises zu Satz 48 (S. 462) angestellt wurde, die Klassenanzahl des Körpers als ungerade und es folgt hieraus mit Hinzuziehung von (8) wie in dem eben genannten Beweise, daß die Relativnorm einer Zahl in ist.

Im zweiten Falle verteilen wir ähnlich wie im zweiten Teile des Beweises zu Satz 48 (S. 460–462) die Komplexe des Körpers in zwei Geschlechter und zeigen dann, wie dort, daß jeder Komplex des Hauptgeschlechtes gleich dem Quadrat eines Komplexes wird. Berücksichtigen wir, daß wegen (8) jedes durch Zerlegung von entstehende Primideal in dem Hauptgeschlechte angehört, so folgt wiederum, daß die Relativnorm einer Zahl in ist.

In beiden vorhin unterschiedenen Fällen erhalten wir mithin

und da die Zahlen und Quadraten von ganzen Zahlen in nach kongruent ausfallen, so folgt auf Grund des Satzes 56 schließlich auch

.

Hiermit ist Satz 57 bewiesen.

Satz 58. (Hilfssatz.) Es sei ein in aufgehendes Primideal in und ferner seien beliebige ganze Zahlen in : wenn dann ausfällt, so ist auch stets .

Beweis. Wir benutzen die in Definition 18 erläuterten Bezeichnungen und bestimmen eine ganze Zahl , welche den Kongruenzen

genügt und nicht zugleich das Quadrat einer ganzen Zahl in ist; dann haben wir nach Satz 56

(9)

Es mögen nun in der Zahl die Primideale , …, bez. genau zur , …, -ten Potenz aufgehen; infolge der Gleichungen (9) gibt es gewisse