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Die gewonnenen Resultate der Zerlegung der Zahlen in lassen sich übersichtlich zusammenfassen, wenn wir uns eines auch von Dirichlet benutzten Symbols bedienen. Ist nämlich eine beliebige Zahl und eine Primzahl in , so verstehen wir unter die Werte , oder , je nachdem im Zahlengebiete des Körpers quadratischer Rest oder quadratischer Nichtrest von oder durch teilbar ist; doch bedeute insbesondere die Werte , , je nachdem quadratischer Rest oder Nichtrest von oder durch teilbar ist. Es gilt dann der Satz:

Die Primzahl des Körpers ist im Körper in zwei verschiedene Primideale zerlegbar oder unzerlegbar oder gleich dem Quadrat eines Primideale, je nachdem oder ist.

§ 3. Die Einteilung der Idealklassen in Geschlechter.

Wenn eine beliebige ganze oder gebrochene Zahl des Körpers ist, so wird die Partialnorm von genannt. Diese Partialnorm ist offenbar eine Zahl im Körper . Bedeutet nun eine von verschiedene in aufgehende Primzahl des Körpers und ist die Partialnorm eine durch nicht teilbare ganze Zahl oder eine gebrochene Zahl, deren Zähler und Nenner durch nicht teilbar sind, so wird im Gebiet der ganzen imaginären Zahlen ein quadratischer Rest in bezug auf .

Um dies zu erkennen, setzen wir ‚ wo ganze imaginäre Zahlen sind. Dann ist . Enthielte nun den Primfaktor , so müßte wegen der über gemachten Voraussetzung auch durch teilbar sein und folglich enthielten sowohl wie den Faktor ; derselbe ist mithin in Zähler und Nenner des Bruches hebbar. Hätte andererseits den Faktor , so müssen wegen der über gemachten Voraussetzung notwendig auch und durch teilbar sein, und dann ist wiederum der Faktor in Zähler und Nenner des Bruches hebbar. Wir können daher annehmen, daß keine der beiden Zahlen und den Faktor enthält. Dann aber folgt nach , womit die Behauptung bewiesen worden ist.

Wir führen jetzt das neue Symbol ein, wo eine beliebige Zahl in und zunächst eine von verschiedene in aufgehende Primzahl bedeutet. Für den Fall, daß eine durch nicht teilbare ganze Zahl oder ein Bruch ist, dessen Zähler und Nenner durch nicht teilbar sind, wird das Symbol durch die Gleichung

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 28. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/45&oldid=- (Version vom 31.7.2018)