Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/389

Fertig. Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle korrekturgelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

Satz 1 Wenn ein beliebiges nicht in aufgehendes Primideal des Körpers und eine zu prime ganze Zahl in ist, so gilt nach dem Modul die Kongruenz

,

worin die Norm des Primideals im Körper bedeutet.

Beweis. Ist nach , wo wieder eine ganze Zahl in bedeutet, so folgt nach dem Fermatschen Satze[1] sofort

.

Wir nehmen andererseits an, es sei quadratischer Nichtrest nach ; bezeichnen wir dann mit eine Primitivzahl nach im Körper und setzen nach , so muß hierin offenbar der Exponent eine ungerade Zahl sein. Nach dem Fermatschen Satze ist aber

,

und folglich

.

(1)

Da in der Reihe der Potenzen die Potenz die erste sein soll, welche nach wird, so gilt notwendig auf der rechten Seite der Kongruenz das negative Vorzeichen und demzufolge wird

.

Aus dem eben bewiesenen Satze 1 folgen leicht die weiteren Tatsachen:

Satz 2 Wenn irgend zwei zu dem Primideal prime ganze Zahlen in sind, so gilt stets die Gleichung

.

Ein vollständiges System von zu primen und einander nach inkongruenten Zahlen zerfällt in zwei Teilsysteme, von denen das eine aus den quadratischen Resten nach , das andere aus den quadratischen Nichtresten nach besteht.

§ 2. Die Begriffe Relativnorm, Relativdifferente und Relativdiskriminante.

Definition 2. Jede Zahl des Körpers kann in die Gestalt

gebracht werden, wo ganze oder gebrochene Zahlen des Körpers sind;


  1. Vgl. meinen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung erstatteten Bericht „Die Theorie der algebraischen Zahlkörper“. 1897, Satz 22 (dieser Band S. 82) und Satz 24 (dieser Band S. 82). Ich werde in der vorliegenden Abhandlung diesen Berioht von mir kurz mit „Algebraische Zahlkörper“ zitieren. (Dieser Band Abh. 7, S. 63-363.)
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 372. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/389&oldid=- (Version vom 11.2.2020)