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Dann besteht das Charakterensystem des Ideals in aus den beiden Charakteren

(148)

Da der erste Charakter wegen dem Satze 162 (S.319) gemäß notwendig ebenfalls verschieden von ist, so bestimmen die Ideale , , ⋯, lauter voneinander verschiedene Geschlechter, und es gibt, wie bereits gezeigt worden ist, auch hier nicht mehr als Geschlechter. Wegen ist ein Primideal erster Art; es gilt daher nach dem vorigen einerseits für die Primideale , , andererseits für die Primideale , das Reziprozitätsgesetz, und das Produkt der beiden Charaktere (148) wird folglich

. (149)

Da jedes beliebige Ideal in einem jener Geschlechter angehören muß, so folgt aus (149), daß für jedes Ideal das Produkt seiner beiden Charaktere gleich sein muß. Nun ist das Ideal gleich der -ten Potenz eines Primideals in . Die beiden Charaktere von in diesem Körper sind alsdann

und da ihr Produkt gleich sein soll, so erhalten wir

.

Hiermit ist das Reziprozitätsgesetz für zwei Primideale der zweiten Art bewiesen, und nunmehr ist der Beweis des Reziprozitätsgesetzes für zwei beliebige Primideale vollständig erbracht.

§ 161. Beweis des zweiten Ergänzungssatzes zum Reziprozitätsgesetz.

Es sei zunächst ein Primideal erster Art und eine Primärzahl von . Wir bestimmen eine Einheit in derart, daß wird, und betrachten dann den durch und bestimmten Kummerschen Körper. Wegen ist in diesem Körper weiter zerlegbar; es sei ein Primfaktor von in diesem Körper. Wir erkennen, daß das Charakterensystem des Ideals aus dem