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Beweis. Es mögen , , , … für die Bedeutung wie im vorigen Hilfssatz 41 haben; wir nehmen in Satz 152 (S. 276)

die Zahlen , , , , , . . . genügen wiederum, wie man leicht einsieht, der Voraussetzung des Satzes 152; es führt die entsprechende Schlußweise wie in Hilfssatz 41 zu einem Primideal von der hier verlangten Beschaffenheit.

§ 159. Beweis des ersten Ergänzungssatzes zum Reziprozitätsgesetz.

Um den ersten Ergänzungssatz für ein Primideal der ersten Art zu beweisen, wenden wir den Hilfssatz 41 an; diesem zufolge läßt sich ein Primideal bestimmen, für welches

 und 

wird, und das also gewiß ein Primideal erster Art ist. Nach Gleichung (145) haben wir für das Primideal die Gleichung

,

wo eine Primärzahl von bedeuten soll. Da ausfällt, so besteht nach Hilfssatz 38 (S. 316) auch für jede andere Einheit in die Gleichung

und demnach treffen die sämtlichen Bedingungen des Hilfssatzes 40 (S. 319) zu, wenn wir an Stelle der dort mit bez. bezeichneten Primideale die beiden Primideale bez. nehmen. Nach jenem Hilfssatze gibt es somit eine Einheit in derart, daß wird, wobei eine Primärzahl von bedeuten soll. Infolge dieser Tatsache ist nach Hilfssatz 38 (S. 316) auch für jede andere Einheit in die Gleichung erfüllt, wie es der erste Ergänzungssatz behauptet.

Des weiteren bedeute ein Primideal zweiter Art in . Dann ist nach der Definition eines solchen Primideals für jede Einheit in stets , und wenn eine Primärzahl von bezeichnet, so ist nach Hilfssatz 37 (S. 314) stets auch . Es gilt daher in der Tat wiederum der erste Ergänzungssatz .