Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/290

Fertig. Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle korrekturgelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

ein Vielfaches von ist. Es sei wiederum die in enthaltene Potenz von ; ist dann kein Vielfaches von , so kann also nicht Nonnenrest nach sein; in diesem Falle wird andererseits . Ist dagegen ein Vielfaches von , und bedeutet eine ganze durch , aber nicht durch teilbare Zahl in , so setzen wir und erkennen wie im ersteren Falle als Normenrest nach ; andererseits ist jetzt

.

Damit ist der Satz 151 auch für den zweiten Fall bewiesen.

Wir nehmen jetzt an, es sei die Relativdiskriminante des Körpers durch das Primideal teilbar; soll dabei von verschieden sein. Es gehe in genau zur -ten und in genau zur -ten Potenz auf; dann ist jedenfalls kein Vielfaches von . Die Zahl läßt sich in die Gestalt eines Bruches setzen, dessen Zähler und dessen Nenner zu prim sind. Die Zahl ist eine nicht durch teilbare ganze Zahl; nach dem Beweise des Satzes 150 auf S. 261 ist eine solche ganze Zahl dann und nur dann Normenrest des Körpers nach , wenn sie -ter Potenzrest nach ist, d. i. hier, wenn und also ist; damit ist für den gegenwärtigen Fall wiederum der Satz 151 als richtig erkannt.

Es sei endlich . Wir fassen lediglich den Fall ins Auge, daß nach ist: es ist dies der einzige Fall, für den wir die betreffenden Sätze späterhin brauchen werden; die anderen Fälle gestatten übrigens eine ähnliche Behandlung. Beim Beweise machen wir noch die nicht wesentlich einschränkende Annahme nach . Wegen der Annahme nach kann man laut Satz 150 genau Normenreste des Körpers nach bilden, welche kongruent nach ausfallen und untereinander nach inkongruent sind. Andererseits muß ein jeder Normenrest von nach , für den man nach hat, laut Hilfssatz 26 die Bedingung erfüllen. Wegen

 

ergibt sich nach (82)

. (98)

Es sei nun erstens irgendeine ganze Zahl in mit der Kongruenzeigenschaft

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 273. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/290&oldid=- (Version vom 28.11.2016)