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Die Zahl ist sicher keine ganze Zahl, da ihre Relativnorm in bezug auf , d. h. wegen eine gebrochene Zahl ist, also ist die Zahl nicht durch teilbar; mithin ist das Ideal von verschieden. Andererseits ist auch nicht , da die Relativnorm der Zahl wegen

,  (71)

durch teilbar ist. Da sich erweist, so ist ein ambiges Ideal, und da dasselbe ein Faktor von sein muß, so gehört unter den gegenwärtigen Umständen zur ersten von den drei in § 57 beim Beweise des Satzes 93 unterschiedenen Arten von Primidealen des Unterkörpers, d. h. wir haben , wo ein Primideal und offenbar ersten Grades im Körper bedeutet. Aus der Kongruenz (71) ergibt sich dann .

Nunmehr bestimmen wir zwei ganze rationale positive Zahlen und , so daß wird, und setzen

.

Wegen folgt

,

und wir schließen aus diesem Ausdrucke, daß genau durch die -te Potenz von teilbar ist. Da von jeder Differenz aus irgend zwei zu relativ konjugierten Zahlen das gleiche gilt, so enthält die Relativdiskriminante der Zahl in bezug auf genau die -te Potenz des Ideals . Hieraus folgt, da nur durch die erste Potenz von teilbar ist, nach Hilfssatz 23, daß auch die Relativdiskriminante des Körpers in bezug auf genau durch die angegebene Potenz von teilbar sein muß.

Durch den eben bewiesenen Satz 148 ist die Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers in bezug auf den Körper völlig bestimmt, und nach Satz 39 kann man aus dieser Relativdiskriminante sogleich auch die Diskriminante des Kummerschen Körpers finden.

§ 127. Das Symbol .

Für die weiteren Entwicklungen ist es nötig, das in § 113 eingeführte Symbol in folgender Weise zu verallgemeinern, so daß es auch in den Fällen eine Bedeutung hat, wo in aufgeht, und wo ist.

Es sei ein beliebiges Primideal in und eine beliebige ganze Zahl in , welche nicht -te Potenz einer ganzen Zahl in ist. Wenn dann die