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diese Gruppe erzeugt, und eine solche Substitution, welche die Gruppe des Körpers bez. erzeugt. Setzen wir und , so erzeugen und beide Male diejenigen Untergruppen vom Grade , zu denen als Unterkörper einerseits von , andererseits von bez. gehört. Der aus und bez. zusammengesetzte Körper ist in bezug auf vom Relativgrade und daher überhaupt vom Grade .

Um die Gruppe des Körpers zu ermitteln, bezeichnen wir mit eine den Körper und mit eine den Körper bez. bestimmende Zahl und verstehen unter unbestimmte Parameter. Die Größe genügt einer Gleichung vom -ten Grade, deren Koeffizienten ganzzahlige Funktionen von und sind, und Welche in dem durch die Parameter und bestimmten Rationalitätsbereich irreduzibel ist. Die verschiedenen Wurzeln dieser Gleichung sind von der Gestalt

,

wo gewisse Paare ganzer Zahlen bedeuten. Da einem bekannten Satze zufolge sowohl wie sich als rationale Funktionen von ausdrücken lassen, wobei die Koeffizienten ganzzahlige Funktionen von und werden, so sind auch die Größen ebenso ausdrückbar; wir setzen

wobei eine rationale Funktion von bedeutet, deren Koeffizienten ganzzahlige Funktionen von sind. Es bezeichne nun irgendeine Zahl in oder überhaupt eine rationale Funktion von , deren Koeffizienten in liegen; dann wird gleich einer rationalen Funktion der Größe , deren Koeffizienten ganzzahlige Funktionen von sind. Es drücken sich ferner die zu konjugierten Größen in der Gestalt

aus, und das System der betreffenden Substitutionen bildet die Gruppe des Körpers . Wegen

wird

,

und hieraus folgt leicht:

, (41)

wenn allgemein die Festsetzung getroffen wird, falls und nach ist. Aus (41) folgt die Vertauschbarkeit der Substitutionen der Gruppe , d. h. der Körper ist ein Abelscher Körper.

Es bezeichne eine Primitivzahl nach ; da insbesondere eine zu konjugierte Zahl ist, so muß es jedenfalls eine Substitution in der Gruppe

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 214. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/231&oldid=- (Version vom 31.7.2018)