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Im zweiten Falle sei unter den Primzahlen , …, etwa , die Primzahl . Ist dann , so legen wir die Forderungen

zugrunde, und es folgt nach Satz 111, daß es unendlich viele diesen Gleichungen genügende Primzahlen gibt. Wegen der ersten Gleichung wird und überdies für , …, , …‚ . Ist dagegen ‚ so fordern wir:

und die unendlich vielen, diesen Gleichungen genügenden Primzahlen erfüllen zugleich die Bedingungen:

  und  

für ‚ ...‚ , , ...‚ .

Im dritten Falle endlich suchen wir wieder heraus. Wir stellen die Forderungen:

, ;

es existieren nach Satz 111 unendlich viele Primzahlen , welche ihnen genügen, und für welche dann

und überdies für , …‚‚ …‚ wird.

Es bedeute nun eine beliebige solche rationale Primzahl, daß

gilt. Nach Hilfssatz 14 ist dann

und folglich

;

also findet man im Körper in das Produkt zweier Primideale und zerlegbar. Jedes dieser Primideale und erfüllt die Bedingungen des zu beweisenden Satzes 112.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 185. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/202&oldid=- (Version vom 31.7.2018)