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, , …, , ‚ …, , …‚ eine Quadratzahl wird, und sind , , …, , nach Belieben vorgeschriebene Einheiten oder , so gibt es stets unendlich viele rationale Primzahlen , für die

, , …,

ist.

Beweis. Wir haben, solange ist:

Da der Ausdruck , wie in § 50 gezeigt worden ist, für endlich bleibt, so folgt, daß die über alle rationalen Primzahlen erstreckte Summe

(26)

bei Annäherung von an über alle Grenzen wächst. Ist ferner eine beliebige ganze rationale Zahl, so gilt ähnlich für stets:

ist nicht eine Quadratzahl, so bleibt nach Satz 110 für endlich, und da das gleiche von dem Ausdruck gilt, so folgt, daß dann auch die Summe

(27)

für sich einer endlichen Grenze nähert. Wir setzen nun in (27)

ein und geben jedem der Exponenten , …, den Wert oder , jedoch so, daß das Wertsystem , , …, ausgeschlossen bleibt. Wird dann jede so aus (27) herzuleitende Summe noch mit dem entsprechenden Faktor multipliziert, und werden die hervorgehenden Ausdrücke sämtlich zu (26) addiert, so entsteht:

. (28)

Diese Summe wird, ebenso wie (26), bei Annäherung von an über alle

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 183. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/200&oldid=- (Version vom 31.7.2018)