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der Norm einer ganzen oder gebrochenen Zahl im Körper . Dabei kann so gewählt werden, daß es eine zu prime ganze rationale Zahl gibt, so daß ganz wird. Das Ideal besitzt die Basiszahlen

wo , , , ganze rationale Zahlen bedeuten. Wegen ist die Determinante und daher besitzen die vier Zahlen , , , , die im Satze behauptete Eigenschaft.

§ 73. Die ambigen Ideale.

Im quadratischen Körper werde ein Ideal ein ambiges Ideal genannt, wenn es nach Anwendung der Operation ungeändert bleibt, und wenn es außerdem keine ganze rationale Zahl als Faktor enthält. (Vgl. § 57.) Es gilt die Tatsache:

Satz 105. Die in der Diskriminante des Körpers aufgehenden, voneinander verschiedenen Primideale , …, , und nur diese, sind ambige Primideale in . Die Ideale , , , …, , …, machen die Gesamtheit aller ambigen Ideale des Körpers aus.

Beweis. Daß die Primideale , …, , und nur diese, ambig sind, folgt aus Satz 96. Ist nun ein beliebiges, in Primideale zerlegtes ambiges Ideal, so müssen wegen die zu den Primidealen , , …, konjugierten Primideale , , …,, von der Reihenfolge abgesehen, mit , , …, übereinstimmen. Wenn etwa sich herausstellen würde, so besäße den Faktor , welcher gleich einer ganzen rationalen Zahl ist; da dieser Umstand der Erklärung des ambigen Ideals zuwider wäre, so muß notwendig sein und ebenso , …, , d. h. die einzelnen Primideale , , …, sind sämtlich ambig. Da die Quadrate der Ideale , …, gleich ganzen rationalen Zahlen werden, so schließen wir ebenso, daß die Ideale , , …, notwendig untereinander verschieden sind; damit ist auch der letzte Teil des Satzes 105 bewiesen.

§ 74. Die ambigen Idealklassen.

Wenn ein Ideal der Klasse ist, so werde diejenige Idealklasse, der das Ideal angehört, mit bezeichnet. Ist insbesondere , so heißt die Idealklasse eine ambige Idealklasse. Da das Produkt ist, so wird ; und folglich ist das Quadrat einer jeden ambigen Klasse gleich der Hauptklasse 1. Umgekehrt, wenn das Quadrat einer Klasse gleich ist, so wird , und folglich ist eine ambige Klasse.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 176. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/193&oldid=- (Version vom 31.7.2018)