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Man erkennt leicht, daß der Satz 102 auch in der Abänderung zutrifft, daß die Erfüllung der Bedingung nur für alle ungeraden Primzahlen verlangt, dann aber die Bedingung hinzugefügt wird, daß wenigstens eine der beiden Zahlen , positiv ist [Lagrange (1[1]), Legendre (1[2]), Gauss (1[3])]; in der Tat ist nach Hilfssatz 14 die Gleichung dann von selbst miterfüllt.

§ 72. Die Klassen des Hauptgeschlechtes.

Am Schlusse des § 66 haben wir gezeigt, daß das Quadrat einer Idealklasse stets dem Hauptgeschlechte angehört. Durch den Satz 102 des § 71 haben wir ein Mittel, die umgekehrte Tatsache einzusehen.

Satz 103. In einem quadratischen Körper ist jede Klasse des Hauptgeschlechtes stets gleich dem Quadrat einer Klasse [Gauss (1[3])].

Beweis. Es sei im Körper eine Klasse des Hauptgeschlechts, ein solches Ideal aus der Klasse , welches zur Diskriminante des Körpers prim ausfällt, und sei die mit dem bezüglichen Vorzeichen gemäß § 65 versehene Norm des Ideals . Diese Zahl erfüllt dann für jede beliebige Primzahl die Bedingung , und es ist mithin dem Satze 102 zufolge , wo eine ganze oder gebrochene Zahl des Körpers bedeutet. Setzen wir‚ wo und zueinander prime Ideale seien, so folgt , und mithin ist notwendigerweise . Da ist, so folgt .

Die eben bewiesene charakteristische Eigenschaft der Ideale des Hauptgeschlechts steht in engem Zusammenhange mit einer anderen gleichfalls charakteristischen Eigenschaft dieser Ideale, welche in folgendem Satze ihren Ausdruck findet:

Satz 104. Sind , Basiszahlen des quadratischen Körpers und , Basiszahlen eines zum Hauptgeschlecht von gehörigen Ideals , und ist endlich eine beliebig gegebene ganze rationale Zahl, so lassen sich stets vier rationale Zahlen , , , finden, deren Nenner zu prim sind, für welche die Determinante den Wert hat, und vermittelst derer

wird.

Beweis. Man bestimme ein zu äquivalentes Ideal ‚ welches zu prim ist. Wie in dem Beweise zum Satz 103 bereits benutzt wurde, ist , wenn das Vorzeichen gemäß § 65 gewählt wird, stets gleich


  1. [360] Sur la solution des problèmes indéterminés du second degré. Werke 2, 375 (1868).
  2. [360] Essai sur la théorie des nombres 1798.
  3. a b [358] Disquisitiones arithmeticae. Werke 1 (1801).
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 175. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/192&oldid=- (Version vom 31.7.2018)