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dann folgt, daß es stets ganze rationale Zahlen , …‚ gibt, welche nicht sämtlich durch teilbar sind, und für welche wird. In der Tat, wären in einer Gleichung von der letzteren Gestalt die Exponenten , …, sämtlich durch teilbar, so müßte eine -te Einheitswurzel und demnach infolge der Voraussetzung sein; hieraus ergibt sich durch Wiederholung des Verfahrens das Gesagte. Nehmen wir nun , …, gleich den Relativnormen von , …, , wo , …‚ ein System von relativen Grundeinheiten in sind, und setzen dann , so folgt und daher nach dem Satz 90: ; da , …‚ relative Grundeinheiten sind, so ist die Zahl keine Einheit.

Um den Satz 92 allgemein zu beweisen, werde angenommen, daß die primitive -te Einheitswurzel , aber nicht die primitive -te Einheitswurzel enthielte. Durch ein ähnliches Verfahren, wie das oben angewandte, wird erkannt, daß, wenn , …‚ irgendwelche Einheiten in sind, stets eine ganze rationale Zahl und ferner ganze rationale, nicht sämtlich durch teilbare Zahlen , …‚ von der Art gefunden werden können, daß

ist.

Andererseits bedenke man, daß die Relativnorm

wird und daher nach Satz 90 eine -te symbolische Potenz werden muß. Gäbe es nun keine Einheit in , so daß ist, so wäre bereits eine Zahl von der gewünschten Beschaffenheit. Im anderen Falle folgt , d. h. , und daher stellt eine Einheit in dar, während selbst gewiß nicht in liegt. Wegen ergibt sich . Es sei , …, ein System von relativen Grundeinheiten in ; wir setzen nun:

wo , , …, die vorhin bestimmten Zahlen sind und die -te Wurzel aus einer Einheit des Körpers bedeutet; dann wird . Die Zahlen , …, können nicht sämtlich durch teilbar sein. Denn aus

würde dann

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 153. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/170&oldid=- (Version vom 31.7.2018)