Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/161

Fertig. Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle korrekturgelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

Aus diesen Ungleichungen folgt, daß sich für einer endlichen Grenze nähert. Nach Satz 56 hat auch der Ausdruck für einen endlichen Grenzwert, und daher gilt das Nämliche auch von dem Ausdruck

,

d. h. es ist

,

woraus unter Benutzung der Formel (19) die Behauptung folgt.

Für einen Galoisschen Körper vom -ten Grade ist , , …, , und daher folgt aus Satz 83:

Satz 84. In einem Galoisschen Körper -ten Grades besitzen die in lauter Primideale ersten Grades zerfallenden Primzahlen eine Dichtigkeit, und diese Dichtigkeit ist .

Ist ein beliebiger Körper und derjenige Galoissche Körper -ten Grades, welcher aus und den zu konjugierten Körpern , …, zusammengesetzt ist, so stimmen, wie man leicht erkennt, die Primzahlen in mit den Primzahlen in überein, und daher besitzen die Primzahlen in eine Dichtigkeit, und diese ist gleich , d. h. gleich dem reziproken Wert des Grades seiner Galoisschen Resolvente [Kronecker (14[1])].

13. Die Zusammensetzung der Zahlkörper.

§ 51. Der aus einem Körper und dessen konjugierten Körpern zusammengesetzte Galoissche Körper.

Satz 85. Wird aus den beiden Körpern und ein Körper zusammengesetzt, so enthält die Diskriminante des zusammengesetzten Körpers alle und nur diejenigen rationalen Primzahlen als Faktoren, welche in der Diskriminante von oder in derjenigen von oder in beiden aufgehen.

Der erste Teil dieses Satzes folgt unmittelbar aus Satz 39; der zweite Teil ergibt sich mit Hilfe von Satz 41 wie folgt:

Seien , …, bez. , …, eine Basis von bez. , dann läßt sich in der Form

mit ganzen rationalen , …, , darstellen. Sind ferner , …, die


  1. [359] Über die Irreduktibilität von Gleichungen. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1880.[WS 1]

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Kronecker, Leopold: Über die Irreductibilität von Gleichungen, in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1880, S. 155–162 Berlin-Brandenburgische Akademie
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 144. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/161&oldid=- (Version vom 31.7.2018)