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lineare homogene Formen von mit beliebigen reellen Koeffizienten und der Determinante , so kann man stets als ganze rationale Zahlen, die nicht sämtlich sind, so bestimmen, daß die Werte jener Formen absolut genommen, sämtlich werden.

Dieser Satz erhält durch eine leichte Umformung die Gestalt:

Hilfssatz 7. Sind lineare homogene Formen von mit beliebigen reellen Koeffizienten und der positiven Determinante , und bedeuten beliebige positive Konstante, deren Produkt gleich A ist, so kann man stets als ganze rationale Zahlen, die nicht sämtlich sind, so bestimmen, daß die absoluten Werte jener Formen den Bedingungen

genügen.

Es sei bemerkt, daß in diesem Kapitel, abweichend von dem Früheren, der Körper und die zu konjugierten Körper bezüglich mit und dem entsprechend allgemein die in liegenden, zu konjugierten Basiszahlen mit bezeichnet werden.

Den Hilfssatz 7 verwenden wir zum Beweise der folgenden Tatsache:

Satz 42. Sind beliebige reelle positive Konstante, deren Produkt gleich ist, und die den Bedingungen genügen, falls und konjugiert imaginäre Körper sind, so gibt es im Körper immer eine ganze von verschiedene Zahl so, daß

wird.

Beweis: Wir ordnen den Körpern gewisse Linearformen zu, und zwar nach folgendem Gesichtspunkte: Ist ein reeller Körper, so ordnen wir demselben die Linearform

zu; ist dagegen ein imaginärer Körper und der zu demselben konjugiert imaginäre Körper, so ordnen wir den beiden Körpern und die beiden Linearformen

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zu, deren Koeffizienten wiederum reell sind. Die Determinante der Formen ist, absolut genommen, . Der Hilfssatz 7 liefert dann unmittelbar die Behauptung, wenn man berücksichtigt, daß für die Paare imaginärer Körper

ist.