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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

Die zu berechnende Arbeit (1.) drückt sich daher aus durch:

(6.)	$\left(dT_{A}^{B}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=\Sigma \Sigma \left(R{\frac {\partial r}{\partial \tau _{0}}}dt\right)=dt\cdot \Sigma \Sigma \left(R{\frac {\partial r}{\partial \tau _{0}}}\right),$

wo $R$ diejenige ponderomotorische Kraft eldy. Us repräsentirt, welche ${\mathsf {Dv}}_{1}$ auf ${\mathsf {Dv}}_{0}$ ausübt, und die Summation sich ausdehnt über sämmtliche Volumelemente von $B$ und $A$.

Um zunächst $R$ zu bestimmen, mögen die unendlich kleinen Volumina ${\mathsf {Dv}}_{0}$ und ${\mathsf {Dv}}_{1}$ zerlegt werden in Elemente zweiter Ordnung, und zwar in lauter prismatische Elemente, parallel zu $s_{0}$ und $s_{1}$, d. i. zu $i_{0}$ und $i_{1}$. Die ponderomotorische Kraft eldy. Us, mit welcher zwei solche Prismata auf einander einwirken, hat nach dem Ampère’schen Gesetz (pag. 44) den Werth:

(7.)	$J_{0}{\mathsf {D}}s_{0}\cdot J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}\cdot {\mathsf {P}},\quad \mathrm {wo} \quad {\mathsf {P}}=8A^{2}{\frac {d\psi }{dr}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial s_{0}\partial s_{1}}},$

wo ${\mathsf {D}}s_{0}$, ${\mathsf {D}}s_{1}$ die Längen der beiden Prismata und $J_{0},J_{1}$ ihre Stromstärken vorstellen. Nun ist aber, falls man die Querschnitte dieser Prismata mit $q_{0},q_{1}$ bezeichnet, $J_{0}=i_{0}q_{0}$, $J_{1}=i_{1}q_{1}$. Somit kann der Ausdruck (7.) auch so dargestellt werden:

$i_{0}q_{0}{\mathsf {D}}s_{0}\cdot i_{1}q_{1}{\mathsf {D}}s_{1}\cdot {\mathsf {P}}.$

Die eigentlich gesuchte von ${\mathsf {Dv}}_{1}$ auf ${\mathsf {Dv}}_{0}$ ausgeübte Kraft $R$ ergiebt sich hieraus durch Summation über sämmtliche in ${\mathsf {Dv}}_{1}$ und ${\mathsf {Dv}}_{0}$ enthaltenen Prismata. Die Volumina ${\mathsf {Dv}}_{0}$ und ${\mathsf {Dv}}_{1}$ sind aber unendlich klein; und es haben daher $i_{0}$ und $i_{1}$, und ebenso auch ${\mathsf {P}}$ für all’ jene Prismata einerlei Werthe. Somit folgt:

$R=i_{0}\left(\Sigma \ q_{0}{\mathsf {D}}s_{0}\right)\cdot i_{1}\left(\Sigma \ q_{1}{\mathsf {D}}s_{1}\right)\cdot {\mathsf {P}},$

d. i.

(8.)	$R=i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot {\mathsf {P}}=i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot 8A^{2}{\frac {d\psi }{dr}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial s_{0}\partial s_{1}}}.$

Durch Substitution dieses Werthes in (6.) erhält man sofort:

(9.)	$\left(dT_{A}^{B}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=dt\cdot \Sigma \Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left(i_{0}i_{1}{\mathsf {P}}{\frac {\partial r}{\partial \tau _{0}}}\right)=dt\cdot 4A^{2}{\mathsf {K}},$

wo ${\mathsf {K}}$ die Bedeutung hat:

(10.)

${\mathsf {K}}=\Sigma \Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left(i_{0}i_{1}\cdot 2{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial s_{0}\partial s_{1}}}\right).$

Es handelt sich nun um die Berechnung dieses Doppelintegrals ${\mathsf {K}}$.

Für die Function $\psi$ oder $\psi (r)$ ergeben sich, mit Rücksicht auf (4.), die Formeln:

(11.a)

$i_{0}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}={\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}{\mathfrak {u}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}{\mathfrak {v}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}{\mathfrak {w}}_{0},$

(11.b)

$i_{1}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}={\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}{\mathfrak {u}}_{1}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{1}}}{\mathfrak {v}}_{1}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{1}}}{\mathfrak {w}}_{1}.$

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte. B. G. Teubner, Leipzig 1873, Seite 160. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_178.jpg&oldid=- (Version vom 31.7.2018)