Schwere, Elektricität und Magnetismus:356

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Neunter Abschnitt. §. 106.



(3)


und es ist


(4)


Fig. 50.
Die Integration in (3) ist über die ganze Erdoberfläche zu erstrecken. Der Winkel wird auf der Hülfskugel vom Radius 1 gemessen durch den Bogen eines grössten Kreises. Dieser Bogen (Fig. 50) ist die dritte Seite eines sphärischen Dreiecks, dessen beide andere Seiten und den Winkel einschliessen. Folglich gilt für die Formel:



(5)


Die Dichtigkeit ist eine Function von und . Wir haben variabel von bis und variabel von bis zu nehmen. Die Function


(6)


ist nun freilich a priori nicht bekannt. Folglich geben uns die Gleichungen (3) und (4) auch nicht ohne weiteres die Werthe von im ganzen unendlichen Raume. Sie machen uns aber darauf aufmerksam, dass sich nach ganzen Potenzen von entwickeln lässt. Die Coefficienten der Entwicklung sind Functionen von und , deren Form wir aus den Bedingungen zu bestimmen haben, dass im äusseren Raume sowohl wie im Innern der Erdkugel der Gleichung von Laplace Genüge leisten muss und beim Durchgange durch die Erdoberfläche nicht unstetig werden darf [§. 79 (1), §. 80 (1) und (2)]. Ist hiernach die Entwicklung von vollständig durchgeführt, so treten darin unendlich viele constante Coefficienten auf, die vorläufig unbestimmt sind. Sie erhalten dadurch bestimmte Werthe, dass die so entwickelte Function an jeder Stelle der Erdoberfläche mit der dort gegebenen Potentialfunction übereinstimmen soll.