Schwere, Elektricität und Magnetismus:270

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 256
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Sechster Abschnitt. §. 70.


§. 70.
Herstellung der Function .


 Der Satz von Green (§. 20) lässt sich hier folgendermaassen verwerthen.

 Wir setzen



und


(1)


 Der Raum , welcher für uns in Betracht kommt, wird begrenzt von den beiden Seiten der Fläche und von zwei Kugelflächen, von denen die eine mit dem Radius , die andere mit dem Radius um den Punkt als Mittelpunkt construirt ist, und zwar für und .

 Hier treffen alle Voraussetzungen des §. 21 zu mit der einen Modification, dass in der Oberfläche des Raumes nicht überall Null ist. Durch Wiederholung des dort angewandten Verfahrens gelangt man demnach zu der Gleichung


(2)


und es bezeichnet den Werth von im Punkte . Das Raumintegral ist Null vermöge der Gleichung (4) des vorigen Paragraphen. Das Oberflächen-Integral ist auszudehnen über die Kugel vom Radius und über die beiden Seiten der Fläche .

 Für die Kugelfläche fällt die nach dem Innern des Raumes gezogene Normale in die Richtung der abnehmenden . Folglich kann das über diese Kugelfläche erstreckte Integral geschrieben werden:



wobei das Element einer Kugelfläche vom Radius 1 bezeichnet. Nun steht für sowohl als in endlichem Verhältnis zu . Folglich wird