Schwere, Elektricität und Magnetismus:243

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 229
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Eindeutige Existenz von .


nur unendlich wenig verschieden sind. Das Oberflächen-Integral, welches über die beiden Hüllen einer Unstetigkeitsfläche erstreckt werden soll, ist demnach so zu schreiben:



Als Beitrag zu der Gleichung (5) ist dieses Integral einmal über alle Unstetigkeitsflächen zu erstrecken. Damit es den Werth Null erhalte, hat man für jeden Punkt in allen Unstetigkeitsflächen gleich Null zu setzen, was unter dem letzten Integral mit multiplicirt ist. Dies liefert die Bedingungsgleichung (3) des vorigen Paragraphen.

 Da nun unter allen zulässigen Functionen mindestens eine das Integral (1) zu einem Minimum macht, so erfüllt diese eine Function die Bedingungen (1), (2), (3) des vorigen Paragraphen. Es lässt sich noch zeigen, dass, abgesehen von einer additiven Constanten, diese Function die einzige Lösung der Aufgabe ist. Angenommen, es gäbe ausser noch eine andere Function , welche das Integral (1) ebenfalls zu einem Minimum macht, so würde die Bedingung dafür lauten:


(6)


wenn jetzt unter eine Constante verstanden wird, die unendlich nahe an 1 liegt. Beachtet man aber, dass die Function der Gleichung (4) Genüge leistet, so ergibt sich:



und



Folglich geht die Bedingung (6) in folgende Form über:


(7)


Man darf aber die Constante , welche unendlich nahe an 1 liegen soll, nicht bloss grösser, sondern auch kleiner als 1 nehmen. Die Bedingung (7) lässt sich deshalb nur dadurch erfüllen, dass