Schwere, Elektricität und Magnetismus:115

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Anziehung eines homogenen elliptischen Cylinders.


als Potentialfunction für den Fall, dass im Innern des Cylinders die Dichtigkeit ist von bis und von bis , dagegen von bis . Dieser Fall ist der unserer Aufgabe.

 Wir setzen



und sehen als Unbekannte an sowohl in der Gleichung


(2)


als auch in der Gleichung


(3)


 Beide Gleichungen sind vom dritten Grade. Dass sie lauter reelle Wurzeln haben, beweist man auf demselben Wege wie für die Gleichung in §. 24.

 So lange von Null verschieden ist, hat die Gleichung (2) dieselben Wurzeln wie die Gleichung . Nimmt man also als Abscisse und als Ordinate einer Curve (Fig. 15), so sieht man, dass bei stetig wachsendem die Ordinate von

Fig. 15.

auf springt an den drei Stellen . Ist , so schneidet die Curve die Abscissenaxe je einmal zwischen und , zwischen und , und zwischen und . Die grösste Wurzel der Gleichung (2) ist also positiv. Wir bezeichnen sie mit .

 Die Gleichung (3) hat eine Wurzel . Die beiden anderen finden sich, wenn man